Two-scale modeling of solute dispersion in unsaturated double-porosity media: Homogenization and experimental validation

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Submitted on 7 Jun 2013

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double-porosity media: Homogenization and experimental validation

Tien Dung Tran Ngoc, Jolanta Lewandowska, Michel Vauclin, Henri Bertin

To cite this version:

Tien Dung Tran Ngoc, Jolanta Lewandowska, Michel Vauclin, Henri Bertin. Two-scale modeling of solute dispersion in unsaturated double-porosity media: Homogenization and experimental validation.

International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Wiley, 2010, 35 (14),

pp.1536-1559. �10.1002/nag.967�. �insu-00564724�

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^{F F F F}

)

F

F

⋅ 7 ∇ − 6

∇

∂ =

∂ θ

ε 5245 Ω

_F

55555555555555555555 ;C=

( )

(

)

F

⋅ ∇

∇

∂ =

−

∂ θ 7

ε 5245 Ω

55555555555555555555 ;F=

( ⁷

^F

^∇

^F

^{− 6}

^F

^F

) ^{⋅ 5 = ε}

( ⁷

^∇

) ^{⋅ 5 545 Γ} 555555555555555 5;=

F

= 545 Γ 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 ;&=

D

35!4542!35"352)3/34!35152-3)/51 5ε 2451)4515/0353)0/52458724/5;C=.;=5 -"2!"5!03/51)05"352"4/2!5!4/2'3)24/55%45/3!245&5"352)3305;C=.;&=5-25335

"0834273' 5 5 '3)263 5 "3 5 0!)/!22! 5 0'3 5 34 5 7/248 5 "3 5 /4022! 5 "083427245 03"'5K&+5&BL54'5KGL5535/)5345)3!2485"350245)3/7/515"08342724515-3)5 1-52)3305"5-3)3582634524552)3627/5223) 5KNL550350'212!24/5-3)350'35245 )'3)55>35245!!745"35/3'4./35!/35!4/2'3)3'5245"2/5223)5

(D DCB%ZA1%DB5

1"35"0834272452)!3//52/73/5"5574>4-4/5 ψ 55!453353:2)3//3'5245"351)0515 -./!35/4022!5'3632034/57/2485"35/052)033)5 ε 55K&+5&BL?

555

=

;

=

;

=

;

=

; 3 2

= ψ

^;C=

3 2

+ ε ψ

^;F=

3 2

+ ε

ψ

^;=

3 2

+

ψ ;+=

-"3)35 5 ψ

^;=

; 3 2

= )35/224523)2'2!5-2"5)3/23!55"356)233 525567355;=5-35

"635"35)3245 ^{3 = ε 2} 5"50>3/5"35'3)2624523))5335)4/1)03'524

'

∇ + ∇

∇ 1 ε 5 ;B=

1"35"0834272452)!3//52/5!//2!54'51-/5"3503"'8452)2/3'5345A7)275 KGL55

1)$ 7EEAB>EB6E66DA69E+FA6E666?A966FE?6B6B&9A 6 E+FA6E9E&6A 1"35"08342724515"35-3)51-52)33058724/5;&=.;M=5-/52)3/343'5245'32/5245 KNL55B35"5"2/52)33052/5"28"45445243)5 51"353243'5)3/7/5-253357/3'5245"35

"08342724515"35)4/2)52)33055

1"35/724515"352)3305;C=.;F=5826345245KNL52)62'3'55"350!)/!22!56)2335-"2!"5 2/524'3234'34515"35!56)23352

=

;

=

;

^;C=

= C

; F

= C

;

F

D D

D = 3 = 3 ;M=

-"3)35 D

_F^;C=

2/5"350!)/!22!5!22)452)3//7)35"3'5

1"3543:5)'3)52)3305;+=.;B=.;N=5'36323'524 5KNL5 -3'553245"35/72451)5

= F

;

D

F

245"351)051

( ) ^{; =}

=

;

_F^;C= _{& F}^;F=

= F

;

F

D A D

D = 8 2 ∇

_'

+ 2 + 3

;N=

-"3)35 8 ; 2 = 2/5"35!")!3)2/2!563!)25174!2454'5 D

_F^;F=

; 3

= 52/545)32))45174!245 9244 5 1)05 ;&C=.;&F= 5 82634 5 24 5 KNL5 4' 5 1) 5 "3 5/3'4./3 5 )38203 5 3/32/"3' 5 24 5 5 6E5 03'2705"350!)/!22!5387245)3'/5/?

( )

[

³¹¹

^;

^;C=

^{= ∇}

^;C=

⁺

^&

] ^{= C}

⋅

∇

_'

4 D

_'

D ' ;D=

G

-"3)3

(

^{;C= &}

)

= C

;

;C= 311 F

;C=

= 6 = 4 ; D = 1

_'

D + '

6 5 ;G=

2/ 5 "3 5 0!)/!22! 5 -3) 5 1- 5 63!24 5 K1

^.F

L 5 4' 54

³¹¹5

K1

^.F

L 5 2/ 5 "3 5 3113!263 5 "4')72!5

!4'7!2624534/)515"35'733.2)/24503'2705'31243'534

( ⁺ ) ^Ω

= Ω ∫

Ω

D

F

F 1

=

;

^;C= _F^;C=

311

4 8 9

4 5 ;&C=

-"3)3A9A52/5"352'342450)2:5

1)@ 7EEAB>EB6E66DA69E+FA6E666&EFA69B&E96B6B&9A 6 E+FA=E9E& 6 A

1"2/5/3!2452)3/34/5"35"0834272452)!3//515"35)4/2)52)33058724/5;C=.

;&=5 5 %4)'7!248 5 "3 5 /4022! 5 '36322034/ 5 ;+= 5 >248 5 24 5 !!74 5 ;B= 5 4'5 )38)722485"353)0/55"35/0352-3)/515 ε 53'5?

( ) ( )

[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ⁵⁵⁵

555

= C

; F

= F

; F

= F

; F

= C

; F

= C

; F

= F

; F F

= C

; F

=

; F

= F

; F

= F

; F

=

; F

= C

; F

= F

; F F

=

; F F

= C

; F

= C

; F

= C

; F F

= C

; F

= F

; F

= F

; F

= C

; F

= C

; F F

= F

; F F

= C

; F

= C

; F

= C

; F F

= F

; F F

= C

; F F

 +







 





+

⋅

∇

−

−

∇ +

∇

⋅

∇ + +

+

⋅

∇

−

∇ +

∇

⋅ + ∇

+

⋅

∇

−

∇

⋅

∇

− +

⋅

∇

−

∇ +

∇

⋅

∇ +

+

−

∇

⋅

∇

=

∂ + + ∂

∂

∂

'

'

'

'

'

'

'

6 6

7 6

6 6

7 7

6 7

6 6

7 7

6 7

ε ε

ε θ ε θ

5

245 Ω

_F

55555555555555555 ;&F=

( ) ( ) ( )

( ) [ ( ) ( ) ( ) ] ⁵⁵⁵

555

= C

;

= C

;

= F

; F

= C

;

=

;

= F

; C

= C

; F

+

∇

⋅

∇ +

∇

⋅

∇ +

∇

⋅

∇ +

∇

⋅

∇

=

∂ + + ∂

∂ + ∂

∂

−

∂

'

'

7 ε 7 7 7

ε θ ε θ

ε θ

5245 Ω

5

;&=

( )

( )

[ ]

( )

[

^{F F;= F F;C= F;C= F;= F;F= F;F= F;= F;C=}

] ⁵⁵⁵

(

^;C=

) ⁵⁵⁵

= C

; F

= F

; F

= F

; F

= C

; F

= C

; F F

= F

; F F

= C

; F

= C

; F

= C

; F F

+

⋅

∇

= +

⋅

−

−

−

∇ +

∇ +

+

⋅

−

−

∇ +

∇ +

⋅

−

∇

5 7

5 6

6 6

7 7

5 6

6 7

7

5 6

7

'

ε ε

ε

45 Γ 555555555555555 5;&&=

(

^F;C=

^{+ ε}

^F;F=

^{+ ε}

^F;=

^{+ 555} ) ( ⁼

^;C=

^{+ ε}

^;F=

^{+ ε}

^;=

^{+ 555} ) ^{545 Γ} 55555555555555555555555555555555555555555 ;&+=5

FC

87248 5 "3 5 3)0/ 5 1 5 "3 5 /03 5 )'3) 5 1 5 ε 5 24 5 ;&F=.;&+= 5 423'/ 5 /7!!3//263 5 374')4 5 6735 2)330/55335/63'5-2"245"3523)2'5'02455%45"351-2485"3/352)330/5 4'5"32)5 /724/5)35'')3//3'5

763563D6A7D789

A5"35)'3)5 ε

^C

58724/5;&F=54'5;&&=5)35-)2345/?

(

^F

^∇

^F;C=

⁻

^{F;C= F;C=}

) ^{= C}

⋅

∇

7

6 5245 Ω

_F

555555555555555555 ;&B=

( ⁷

^F

^∇

^F;C=

^{− 6}

^F;C=

^F;C=

) ^{⋅ 5 = C 545 Γ} 555555555555555 5;&M=

-"3)35

_F^;C=

52/552.23)2'2!55%5!45335/"-45"5"35/724515"352)3305;&B=54'5;&M=52/

=

;

=

;

^;C=

= C

; F

= C

;

F

= 3 = 3 5 ;&N=

%5034/5"

_F^;C=

5 2/5"350!)/!22!56)233545'3234'248545"35!5/2!356)233 52A 4'5252/5'343'

^;C=

55

99BDE7D3EA3A

_F^;F=

67ECA9A83678A3EC7A789A389B

357/544/3587245;&F=55"35)'3) 5%7 ε

^F

=551>2485245!!745"35/7245;&N=5-35 324

(

) [

^F

(

^{F;F= F;C=}

) (

^{F;C= F;F= F;F= F;C=}

) ] (

^{F;C= F;C=}

)

= C

; F

F

' '

⋅ 7 ∇ + ∇ − 6 + 6 − ∇ ⋅ 6

∇

∂ =

∂ θ

5245 Ω

_F

55555555;&D=

9)05"35243)1!35!4'2245;&&=5-358365"35)'3)5%;A

^F

=?

(

F^;C=

) ^C

= F

; F

= F

; F

= C

; F

= C

; F F

= F

; F

F

∇ + 7 ∇ − 6 − 6 ⋅ 5 =

7

_'

545 Γ 555555555555 ;&G=

92)/45-352438)3587245;&D=563)5"35'0245U

F

54'5'262'3525345[U[551"345-3523)1)05

")335)4/1)024/515"3512)/53)05245"35)5"5/55/51-/?5;2=52245"35C7//.D/)8)'/>25

"3)3055)4/1)05"35670352438)55"35/7)1!352438)@5;22=52245"3523)2'2!245

!4'224 5 4' 5 "3 5 374')4 5 !4'224 5 ;&G=@ 5 ;222= 5 224 5 4!3 5 824 5 "3 5 C7//.D/)8)'/>25

"3)30552//51)05"35/7)1!355"35670352438)563)5"35'0245U

553512445324

 

 ⋅

− ∇

∂ =

∂

;C=

F

= C

; F

= C

; F F

'

6

θ 5 5;+C=

B35"5"356703563)835245;+C=52/5'31243'534

∫

^Ω

^{⋅ Ω}

= Ω

⋅

F

F

5 ;+F=

FF

*3!7/3515;&N=54'5"351!5"5 θ

_F

2/52.24'3234'345-35!45-)23

( )

 

 ⋅

∇

−

∂ =

∂

_;C=

F

= C

; F F

= C

; F

F

F

'

6

φ

θ 5;+=

-"3)35 φ

_F

= Ω

_F

X Ω 5

9)05;+=525!45335/3345"5"35!463!263533"627)515

^;C=

52/53243'55"3512)/5)'3)5 1522):20245

B-524)'7!248587245;+=53!>524587245;&D=53'/5?

( )

[ ^{∇ + ∇} ] ^{− ∇ ⋅} ( ⁺ ) ( ^{− ∇ ⋅} ) ^{= − ∇} _ ^⋅ _ ^

⋅

∇

_F^;C= _F^;C=

F

= C

; F

= C

; F

= C

; F

= F

; F

= F

; F

= C

; F

= C

; F

= F

; F F

F

_{' ' '}

7 6 6 6 6

φ 5

24 Ω

_F

55555555555555555555 ;+&=

1"352)3305;+&=54'5;&G=5'31243/5

_F^;F=

55B35"5252/5"35/0352)3305/53243'5245K&ML5 1)5"35!/3515'2/23)/2452455/7)3'5/2023.2)/245;E=503'270551"35/724515"2/5 2)3305!45335275245"351)05

=

;

=

;

_F^;C= _F^;F=

= F

;

F

= B 2 ∇

_'

+ 3 ;++=

-"3)35"3523)2'2!563!)25174!24 5 B ; 2 = 5 !")!3)273/5"3502!)/)7!7)3515"3503'2705 4'5

_F^;F=

; 3

= 2/545)32))45174!245

%45)'3)553245"35!5374')4567352)3305-24855!!735 B ; 2 = 5-35)32!35

;++=5245;+&=54'5-3544735"353)0/5245"355"5/55*382442485345"3512)/53)05-35324

( ) [ ( ) ]

F^;C=

F

= C

; F F

= F

; F

F

_'

_'

⋅ ∇ + ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ∇

∇ 7 7 7 B 9 555555555555555 5;+B=

1"35/3!4'53)05!45335-)234

(

^F;C=

^{F;F= F;F=}

^F;C=

)

^{F;F= F;C= F;C=}

^F;F=

^{F;C= F;F= F;F=}

^F;C=

⋅ + = ∇ ⋅ + ∇ + ∇ ⋅ + ∇

∇ 6 6 6 6 6 6 55555555555555 5;+M=

24!35-35"635 ∇

⋅ 6

_F^;C=

= C 5;87245;D=5245KNL=554'5

_F^;C=

'3/545'3234'54525;87245

;&N=5245"352)3/345223)=587245;+M=533!03/5

( ⁶

^{F;C= F;F=}

^{+ 6}

^{F;F= F;C=}

) ^{= 6}

^F;C=

^{∇ ⋅} ( ^{B ∇}

^F;C=

) ⁺

^F;C=

^{∇ ⋅ 6}

^F;F=

⋅

∇

_'

555555555555555 5;+N=

1"35"2)'53)05245;+&=52/

( )

F^;C=

= C

; F

= C

; F

= C

; F

= C

; F

= C

;

F

_{' '}

'

⋅ = ∇ ⋅ + ∇

∇ 6 6 6 555555555555555 5;+D=

924457/24858724/5;+B=.;+D=587245;+&=52/5-)2345245"351-24851)0

F

( )

[ ] ( ) ( )

(

^{F;C= F;C= F;C= F;C=}

)

^{F;C= F;C=}

F

= C

; F

= F

; F

= C

; F

= C

; F

= C

; F

= C

; F

F

F

' '

'

'

' '

∇ +

∇ +

⋅

∇

−

=

⋅

∇ +

⋅

∇

−

∇

⋅

∇

−

∇ +

∇

⋅

∇

6 6

6

6 6

B 6

9 B 7 φ

5555555555555555555524 Ω

_F

55

;+G=

1"35"2)'53)05245"355"5/551587245;+G=5642/"3/533!7/351587245;&=5245KNL5245"35 /3'4./35!4'22454'5"3512)/53)05245"353)!>3/5245"35)5"5/55642/"3/533!7/3515;D=55 (34!3587245;+G=52/5-)2345/51-/?

( )

[ ] ( )

F^;C=

= C

; F F

= C

; F

= C

; F

= C

; F

= C

; F

F

F

_{' '}

'

∇

 

  −

=

∇

⋅

∇

−

∇ +

∇

⋅

∇ 7 B 9 6 B 6 6

φ ;BC=

%02/2485/7!!3/26345"3574250!)/!22!58)'234 ∇

_'

_F^;C=

24587245;BC=51)5"35'2)3!24/5 F554'5&5-353245"35!52)33051)5 B ; 2 =

( )

[ ]

^F;C=

F

= C

; F

= C

; F

F

F 6 6

B 6

B

7 ^{∇ + − ∇ = −} φ

⋅

∇

8

_{5 ;BF=}

1>2485245!!7458724/5;B=54'5;&&=5245KNL51)5"35!4'224/515/3'4./35-3)5 1-5/5-35/5"35/72453243'51)5

_F^;F=

;87245;++==587245;&G=52/5)3.-)234

( )

[ ⁷

^F

¹

^{B + 9} ] ^{⋅ 5 = C 545 Γ 5555555555 ;B=}

-"3)35 B 524587245;BF=5\5;B=52/54.23)2'2!5-2"5"351-2485''2245!4'224?

F C

F

= Ω Ω

= ∫

Ω

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B 5 5;B&=

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