HAL Id: insu-00564724
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Submitted on 7 Jun 2013
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double-porosity media: Homogenization and experimental validation
Tien Dung Tran Ngoc, Jolanta Lewandowska, Michel Vauclin, Henri Bertin
To cite this version:
Tien Dung Tran Ngoc, Jolanta Lewandowska, Michel Vauclin, Henri Bertin. Two-scale modeling of solute dispersion in unsaturated double-porosity media: Homogenization and experimental validation.
International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics, Wiley, 2010, 35 (14),
pp.1536-1559. �10.1002/nag.967�. �insu-00564724�
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F F F F F
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C C C C C
C
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F
F
C
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C C
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F
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∇
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(
)
F
⋅ ∇
∇
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∂ θ 7
ε 5245 Ω
55555555555555555555 ;F=
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F
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) ⋅ 5 545 Γ 555555555555555 5;=
F
= 545 Γ 5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 ;&=
D
35!4542!35"352)3/34!35152-3)/51 5ε 2451)4515/0353)0/52458724/5;C=.;=5 -"2!"5!03/51)05"352"4/2!5!4/2'3)24/55%45/3!245&5"352)3305;C=.;&=5-25335
"0834273' 5 5 '3)263 5 "3 5 0!)/!22! 5 0'3 5 34 5 7/248 5 "3 5 /4022! 5 "083427245 03"'5K&+5&BL54'5KGL5535/)5345)3!2485"350245)3/7/515"08342724515-3)5 1-52)3305"5-3)3582634524552)3627/5223) 5KNL550350'212!24/5-3)350'35245 )'3)55>35245!!745"35/3'4./35!/35!4/2'3)3'5245"2/5223)5
(D DCB%ZA1%DB5
1"35"0834272452)!3//52/73/5"5574>4-4/5 ψ 55!453353:2)3//3'5245"351)0515 -./!35/4022!5'3632034/57/2485"35/052)033)5 ε 55K&+5&BL?
555
=
;
=
;
=
;
=
; 3 2
= ψ
;C=3 2
+ ε ψ
;F=3 2
+ ε
ψ
;=3 2
+
ψ ;+=
-"3)35 5 ψ
;=; 3 2
= )35/224523)2'2!5-2"5)3/23!55"356)233 525567355;=5-35
"635"35)3245 3 = ε 2 5"50>3/5"35'3)2624523))5335)4/1)03'524
'
∇ + ∇
∇ 1 ε 5 ;B=
1"35"0834272452)!3//52/5!//2!54'51-/5"3503"'8452)2/3'5345A7)275 KGL55
1)$ 7EEAB>EB6E66DA69E+FA6E666?A966FE?6B6B&9A 6 E+FA6E9E&6A 1"35"08342724515"35-3)51-52)33058724/5;&=.;M=5-/52)3/343'5245'32/5245 KNL55B35"5"2/52)33052/5"28"45445243)5 51"353243'5)3/7/5-253357/3'5245"35
"08342724515"35)4/2)52)33055
1"35/724515"352)3305;C=.;F=5826345245KNL52)62'3'55"350!)/!22!56)2335-"2!"5 2/524'3234'34515"35!56)23352
=
;
=
;
;C== C
; F
= C
;
F
D D
D = 3 = 3 ;M=
-"3)35 D
F;C=2/5"350!)/!22!5!22)452)3//7)35"3'5
1"3543:5)'3)52)3305;+=.;B=.;N=5'36323'524 5KNL5 -3'553245"35/72451)5
= F
;
D
F245"351)051
( ) ; =
=
;
F;C= & F;F== F
;
F
D A D
D = 8 2 ∇
'+ 2 + 3
;N=
-"3)35 8 ; 2 = 2/5"35!")!3)2/2!563!)25174!2454'5 D
F;F=; 3
= 52/545)32))45174!245 9244 5 1)05 ;&C=.;&F= 5 82634 5 24 5 KNL5 4' 5 1) 5 "3 5/3'4./3 5 )38203 5 3/32/"3' 5 24 5 5 6E5 03'2705"350!)/!22!5387245)3'/5/?
( )
[
311;
;C== ∇
;C=+
&] = C
⋅
∇
'4 D
'D ' ;D=
G
-"3)3
(
;C= &)
= C
;
;C= 311 F
;C=
= 6 = 4 ; D = 1
'D + '
6 5 ;G=
2/ 5 "3 5 0!)/!22! 5 -3) 5 1- 5 63!24 5 K1
.FL 5 4' 54
3115K1
.FL 5 2/ 5 "3 5 3113!263 5 "4')72!5
!4'7!2624534/)515"35'733.2)/24503'2705'31243'534
( + ) Ω
= Ω ∫
ΩD
F
F 1
=
;
;C= F;C=311
4 8 9
4 5 ;&C=
-"3)3A9A52/5"352'342450)2:5
1)@ 7EEAB>EB6E66DA69E+FA6E666&EFA69B&E96B6B&9A 6 E+FA=E9E& 6 A
1"2/5/3!2452)3/34/5"35"0834272452)!3//515"35)4/2)52)33058724/5;C=.
;&=5 5 %4)'7!248 5 "3 5 /4022! 5 '36322034/ 5 ;+= 5 >248 5 24 5 !!74 5 ;B= 5 4'5 )38)722485"353)0/55"35/0352-3)/515 ε 53'5?
( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
( ) ( ) ( )
( ) 555
555
= C
; F
= F
; F
= F
; F
= C
; F
= C
; F
= F
; F F
= C
; F
=
; F
= F
; F
= F
; F
=
; F
= C
; F
= F
; F F
=
; F F
= C
; F
= C
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= C
; F F
= C
; F
= F
; F
= F
; F
= C
; F
= C
; F F
= F
; F F
= C
; F
= C
; F
= C
; F F
= F
; F F
= C
; F F
+
+
⋅
∇
−
−
∇ +
∇
⋅
∇ + +
+
⋅
∇
−
∇ +
∇
⋅ + ∇
+
⋅
∇
−
∇
⋅
∇
− +
⋅
∇
−
∇ +
∇
⋅
∇ +
+
−
∇
⋅
∇
=
∂ + + ∂
∂
∂
'
'
'
'
'
'
'
6 6
7 6
6 6
7 7
6 7
6 6
7 7
6 7
ε ε
ε θ ε θ
5
245 Ω
F55555555555555555 ;&F=
( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( ) ( ) ] 555
555
= C
;
= C
;
= F
; F
= C
;
=
;
= F
; C
= C
; F
+
∇
⋅
∇ +
∇
⋅
∇ +
∇
⋅
∇ +
∇
⋅
∇
=
∂ + + ∂
∂ + ∂
∂
−
∂
'
'
7 ε 7 7 7
ε θ ε θ
ε θ
5245 Ω
5
;&=
( )
( )
[ ]
( )
[
F F;= F F;C= F;C= F;= F;F= F;F= F;= F;C=] 555
(
;C=) 555
= C
; F
= F
; F
= F
; F
= C
; F
= C
; F F
= F
; F F
= C
; F
= C
; F
= C
; F F
+
⋅
∇
= +
⋅
−
−
−
∇ +
∇ +
+
⋅
−
−
∇ +
∇ +
⋅
−
∇
5 7
5 6
6 6
7 7
5 6
6 7
7
5 6
7
'
ε ε
ε
45 Γ 555555555555555 5;&&=
(
F;C=+ ε
F;F=+ ε
F;=
+ 555 ) ( =
;C=+ ε
;F=+ ε
;=
+ 555 ) 545 Γ 55555555555555555555555555555555555555555 ;&+=5
FC
87248 5 "3 5 3)0/ 5 1 5 "3 5 /03 5 )'3) 5 1 5 ε 5 24 5 ;&F=.;&+= 5 423'/ 5 /7!!3//263 5 374')4 5 6735 2)330/55335/63'5-2"245"3523)2'5'02455%45"351-2485"3/352)330/5 4'5"32)5 /724/5)35'')3//3'5
763563D6A7D789
A5"35)'3)5 ε
C58724/5;&F=54'5;&&=5)35-)2345/?
(
F∇
F;C=−
F;C= F;C=) = C
⋅
∇
7
6 5245 Ω
F555555555555555555 ;&B=
( 7
F∇
F;C=
− 6
F;C=F;C=
) ⋅ 5 = C 545 Γ 555555555555555 5;&M=
-"3)35
F;C=52/552.23)2'2!55%5!45335/"-45"5"35/724515"352)3305;&B=54'5;&M=52/
=
;
=
;
;C== C
; F
= C
;
F
= 3 = 3 5 ;&N=
%5034/5"
F;C=5 2/5"350!)/!22!56)233545'3234'248545"35!5/2!356)233 52A 4'5252/5'343'
;C=55
99BDE7D3EA3A
F;F=67ECA9A83678A3EC7A789A389B
357/544/3587245;&F=55"35)'3) 5%7 ε
F=551>2485245!!745"35/7245;&N=5-35 324
(
) [
F(
F;F= F;C=) (
F;C= F;F= F;F= F;C=) ] (
F;C= F;C=)
= C
; F
F
' '
⋅ 7 ∇ + ∇ − 6 + 6 − ∇ ⋅ 6
∇
∂ =
∂ θ
5245 Ω
F55555555;&D=
9)05"35243)1!35!4'2245;&&=5-358365"35)'3)5%;A
F=?
(
F;C=) C
= F
; F
= F
; F
= C
; F
= C
; F F
= F
; F
F
∇ + 7 ∇ − 6 − 6 ⋅ 5 =
7
'
545 Γ 555555555555 ;&G=
92)/45-352438)3587245;&D=563)5"35'0245U
F54'5'262'3525345[U[551"345-3523)1)05
")335)4/1)024/515"3512)/53)05245"35)5"5/55/51-/?5;2=52245"35C7//.D/)8)'/>25
"3)3055)4/1)05"35670352438)55"35/7)1!352438)@5;22=52245"3523)2'2!245
!4'224 5 4' 5 "3 5 374')4 5 !4'224 5 ;&G=@ 5 ;222= 5 224 5 4!3 5 824 5 "3 5 C7//.D/)8)'/>25
"3)30552//51)05"35/7)1!355"35670352438)563)5"35'0245U
553512445324
⋅
− ∇
∂ =
∂
;C=F
= C
; F
= C
; F F
'
6
θ 5 5;+C=
B35"5"356703563)835245;+C=52/5'31243'534
∫
Ω⋅ Ω
= Ω
⋅
F
F
5 ;+F=
FF
*3!7/3515;&N=54'5"351!5"5 θ
F2/52.24'3234'345-35!45-)23
( )
⋅
∇
−
∂ =
∂
;C=F
= C
; F F
= C
; F
F
F
'
6
φ
θ 5;+=
-"3)35 φ
F= Ω
FX Ω 5
9)05;+=525!45335/3345"5"35!463!263533"627)515
;C=52/53243'55"3512)/5)'3)5 1522):20245
B-524)'7!248587245;+=53!>524587245;&D=53'/5?
( )
[ ∇ + ∇ ] − ∇ ⋅ ( + ) ( − ∇ ⋅ ) = − ∇ ⋅
⋅
∇
F;C= F;C=F
= C
; F
= C
; F
= C
; F
= F
; F
= F
; F
= C
; F
= C
; F
= F
; F F
F
' ' '
7 6 6 6 6
φ 5
24 Ω
F55555555555555555555 ;+&=
1"352)3305;+&=54'5;&G=5'31243/5
F;F=55B35"5252/5"35/0352)3305/53243'5245K&ML5 1)5"35!/3515'2/23)/2452455/7)3'5/2023.2)/245;E=503'270551"35/724515"2/5 2)3305!45335275245"351)05
=
;
=
;
F;C= F;F== F
;
F
= B 2 ∇
'+ 3 ;++=
-"3)35"3523)2'2!563!)25174!24 5 B ; 2 = 5 !")!3)273/5"3502!)/)7!7)3515"3503'2705 4'5
F;F=; 3
= 2/545)32))45174!245
%45)'3)553245"35!5374')4567352)3305-24855!!735 B ; 2 = 5-35)32!35
;++=5245;+&=54'5-3544735"353)0/5245"355"5/55*382442485345"3512)/53)05-35324
( ) [ ( ) ]
F;C=F
= C
; F F
= F
; F
F
'
'
⋅ ∇ + ∇ = ∇ ⋅ ∇ + ∇
∇ 7 7 7 B 9 555555555555555 5;+B=
1"35/3!4'53)05!45335-)234
(
F;C=F;F= F;F=
F;C=
)
F;F= F;C= F;C=F;F=
F;C= F;F= F;F=
F;C=
⋅ + = ∇ ⋅ + ∇ + ∇ ⋅ + ∇
∇ 6 6 6 6 6 6 55555555555555 5;+M=
24!35-35"635 ∇
⋅ 6
F;C== C 5;87245;D=5245KNL=554'5
F;C='3/545'3234'54525;87245
;&N=5245"352)3/345223)=587245;+M=533!03/5
( 6
F;C= F;F=+ 6
F;F= F;C=) = 6
F;C=∇ ⋅ ( B ∇
F;C=) +
F;C=∇ ⋅ 6
F;F=⋅
∇
'
555555555555555 5;+N=
1"35"2)'53)05245;+&=52/
( )
F;C== C
; F
= C
; F
= C
; F
= C
; F
= C
;
F
' '
'
⋅ = ∇ ⋅ + ∇
∇ 6 6 6 555555555555555 5;+D=
924457/24858724/5;+B=.;+D=587245;+&=52/5-)2345245"351-24851)0
F
( )
[ ] ( ) ( )
(
F;C= F;C= F;C= F;C=)
F;C= F;C=F
= C
; F
= F
; F
= C
; F
= C
; F
= C
; F
= C
; F
F
F
' '
'
'
' '
∇ +
∇ +
⋅
∇
−
=
⋅
∇ +
⋅
∇
−
∇
⋅
∇
−
∇ +
∇
⋅
∇
6 6
6
6 6
B 6
9 B 7 φ
5555555555555555555524 Ω
F55
;+G=
1"35"2)'53)05245"355"5/551587245;+G=5642/"3/533!7/351587245;&=5245KNL5245"35 /3'4./35!4'22454'5"3512)/53)05245"353)!>3/5245"35)5"5/55642/"3/533!7/3515;D=55 (34!3587245;+G=52/5-)2345/51-/?
( )
[ ] ( )
F;C== C
; F F
= C
; F
= C
; F
= C
; F
= C
; F
F
F
' '
'
∇
−
=
∇
⋅
∇
−
∇ +
∇
⋅
∇ 7 B 9 6 B 6 6
φ ;BC=
%02/2485/7!!3/26345"3574250!)/!22!58)'234 ∇
'F;C=
24587245;BC=51)5"35'2)3!24/5 F554'5&5-353245"35!52)33051)5 B ; 2 =
( )
[ ]
F;C=F
= C
; F
= C
; F
F
F 6 6
B 6
B
7 ∇ + − ∇ = − φ
⋅
∇
8
5 ;BF=
1>2485245!!7458724/5;B=54'5;&&=5245KNL51)5"35!4'224/515/3'4./35-3)5 1-5/5-35/5"35/72453243'51)5
F;F=;87245;++==587245;&G=52/5)3.-)234
( )
[ 7
F1
B + 9 ] ⋅ 5 = C 545 Γ 5555555555 ;B=
-"3)35 B 524587245;BF=5\5;B=52/54.23)2'2!5-2"5"351-2485''2245!4'224?
F C
F
= Ω Ω
= ∫
ΩB
B 5 5;B&=
1"35!5374')4567352)3305;BF=5\5;B&=5'31243/5"35!")!3)2/2!5174!24 B 551"2/5!5 374')4567352)33052//3//3/5"35/0351)05/5"53243'5345A7)2754'5A'3)5K&NL5 4'5A7)2754'53-4'-/>5K&ML51)5'2/23)/245245/7)3'5!4'224/52455E503'27055 (3)35 7
F2/5"35!5'2/23)/24534/)5-"2!"5'3234'/545"35!563!245
1). 5C9E&CEC6E AF
1"350!)/!22!50'352/53243'53454472485"352)3305;&F=54'5;&&=55"35)'3)5%; ε
=5
( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( )
(
F;F= F;F=) (
F;= F;C=) (
F;C= F;F=) (
F;F= F;C=)
=
; F
= C
; F
= C
; F
= F
; F F
= F
; F
=
; F F
= F
; F F
' '
'
'
'