Problème de Lehmer relatif dans un tore : cas des hypersurfaces

HAL Id: hal-00008558

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00008558

Preprint submitted on 8 Sep 2005

HAL

is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or

L’archive ouverte pluridisciplinaire

destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires

Problème de Lehmer relatif dans un tore : cas des hypersurfaces

Emmanuel Delsinne

To cite this version:

Emmanuel Delsinne. Problème de Lehmer relatif dans un tore : cas des hypersurfaces. 2005. �hal-

00008558�

ccsd-00008558, version 1 - 8 Sep 2005

as des hypersurfaes

Emmanuel DELSINNE

∗

Abstrat

WetakletherelativeLehmerproblemonalgebraisubvarietiesofa

multipliative torus.Generalizing atheoremofF.Amoroso andU.Zan-

nier, we give a lower bound for the normalized height of a non torsion

hypersurfae in terms of its obstrution index over Q^{ab, the maximal}

abelian extension of Q^{. We prove up to} ε the sharpest onjeture that anbeformulated.

Résumé

NousabordonsleproblèmedeLehmerrelatifpourlessous-variétés

algébriquesd'untoremultipliatif.GénéralisantunthéorèmedeF.Amoroso

etU.Zannier,nousmontronsquelahauteurnormaliséed'unehypersur-

fae quin'estpas detorsionest minoréeenfontiondeson indied'ob-

strution surQ^ab,l'extension abélienne maximale de Q^{. La minoration}

ainsiobtenueorrespond àun ε-prèsà laonjeturelapluspréise que l'onpeutformulerdanseadre.

1 Introdution

Nousnousproposonsiidepoursuivrel'étudedesminorationsdelahauteur

normaliséedes sous-variétésd'un toreamorée parF. Amoroso et S. David

dans[AD99℄,[AD00℄,[AD03℄et[AD04℄.Soitn^{unentiernaturelnonnul.Nous}

onsidérons leplongementnaturel de Gⁿ_m ^dans Pn^{. La hauteur} (normalisée) d'unpointα = (α1, . . . , αn)∈Gⁿ_m ^{est donlahauteur deWeil}logarithmique et absolue (ave la norme du sup aux plaes arhimédiennes) ˆh(α) ^{du point}

projetif (1 :α1 : . . . : αn)^{. P. Philippon} ([Phi91℄,[Phi94℄,[Phi95℄) dénit la hauteurnormaliséed'unesous-variétéV ^deGⁿ_m^par:

h(Vˆ ) = lim

m→+∞

h([m]V) deg(V) mdeg([m]V) ,

oùh(V) (respetivement deg(V)^{) est lahauteur projetive} (respetivementle degré)del'adhérenedeZariskideV ^dansPn^{.L.Szpiroaégalementintroduit}

leminimumessentieldeV^,not鵈ess(V)^{,ommelaborneinférieuredesnombres}

∗

UMR6139(CNRS),LaboratoiredeMathématiquesNiolasOresme,UniversitédeCaen,

BP5186,14032CaenCedex (delsinnemath.uniaen.fr)

réels θ > 0 ^{tels que l'ensemble des points} P ∈ V(Q) ^{de hauteur normalisée}

bornéeparθ^soitZariski-densedansV^.SiV ^estQ-irrédutible,ondisposealors delarelationsuivante,montréedans[Zha95a℄ et[Zha95b℄:

h(Vˆ )

(dim(V) + 1) deg(V) ≤µˆess(V)≤ ˆh(V) deg(V) ,

Le minimum essentiel et la hauteur normalisée ont la propriété remarquable

suivante,montréenoreparS. Zhang(onfer[Zha92℄) :µˆess(V) = 0^(etdon ˆh(V) = 0^{)si et seulementsi} V ^{est une variétéde torsion (i.e. une réunionde}

translatésdesous-toresdeGⁿ_m^{pardespointsdetorsion).}

Ilestdonnatureldeherheràminorerleminimumessentiel(oulahauteur

normalisée)d'unevariétéquin'estpasdetorsion(oubienimposerdesonditions

géométriquesportantsurladimensiondustabilisateurdeV^).

Une telle minoration va dépendre des aratéristiques géométriques de la

variété,par exemple sondegré. Cependant, si l'on n'impose auune ondition

géométriquesur la variété, il faudra également tenir ompte de son orps de

dénition.Eneet,soitH ^unsous-groupedeGⁿ_m^etsoitαi^{unesuitedepoints}

denon-torsiondontlahauteurtendvers0 ^(parexempleαi= (2^1/i, . . . ,2^1/i)^).

AlorslesvariétésVi:=Hαi ^{onttoutesmêmedegré}deg(H)^{maisleurminimum}

essentielµˆess(Vi)≤h(αi)^onvergevers0^.

Le problème onsistant àtrouverles meilleures bornes inférieures pour le

minimumessentieldessous-variétésdeG^m_n ^{est une}généralisationd'uneélèbre question de D. H. Lehmer : existe-t-il un onstante c > 0 ^{telle que pour}

toutnombrealgébrique α^dedegréd^{qui n'estpasune rainede l'unité onait} h(α)≥c/d^{?Sil'onnesupposeriendeplussur}α^{,'estlameilleureminoration}

possible,étantdonné queh(2^1/d) = (log 2)/d^{. Dansette diretion,lemeilleur}

résultatàejour estunrésultatdeE. Dobrowolski:

Théorème 1.1. Il existe une onstante c > 0 ^{tel que pour tout nombre al-}

gébriqueα^{de degré}d(≥2) ^{quin'estpasune raine de l'unité:} h(α)≥ c

d

log logd logd

3

.

CependantF.AmorosoetU.Zannierontmontrédans[AZ00℄quel'onale

mêmetypedeminorationenremplaçantledegrétotaldeα^(i.e.d= [Q(α) :Q]⁾

parledegrénonabéliendeα^(i.e.[Q^ab(α) :Q^ab] ^oùQ^abdésignel'extension abéliennemaximaledeQ^{).Notrebutestde}généralisererésultatendimension supérieure.

Dans les problèmes de minoration en dimension supérieure, l'invariant le

plusnqui puisse tenir omptede lanature arithmétique d'une variétéest

l'indied'obstrution.Quelquesnotationssontnéessairesavantd'introduireet

invariant.NousxonsdonQ^{unelotûrealgébriquede}Q^{etnousnoterons}Gⁿ_m

pourGⁿ_m(Q)^.SoitV ^unesous-variétédeGⁿ_m^etsoitK^{unsous-orpsde}Q^.Nous

utiliseronslesnotationssuivantes :Q(V)^{désigneraleorpsdedénitionde}V^,

K(V)^leorpsK·Q(V)^etV^{K lavariétédéniepar:} V^K := [

σ∈Gal(Q/K)

σV.

RemarquonsquedegV^K= [K(V) :K] degV^.

Dénition 1.2. On appelle indie d'obstrution de V ^sur K ^l'entier ωK(V)

dénipar:

ωK(V) = min

Z⊇V codimZ=1

{deg(Z^K)}.

Parexemple,siV ^estunehypersurfaedeGⁿ_m^, ωK(V) = [K(V) :K] degV.

F. Amoroso et S. David énonent alors une onjeture généralisant le

problème de Lehmer en dimension supérieure et obtiennent dans ette dire-

tionlerésultatsuivant,analogueduthéorèmedeDobrowolskiendimension

supérieure:

Théorème 1.3. Soit n ^{un entier naturel non nul. Soit} W ^une sous-variété géométriquementirrédutiblede Gⁿ_m ^{de odimension} k ^{qui n'est ontenue dans}

auunesous-variétéde torsion. Alors

ˆ

µess(W)≥ c(n)

ωQ(W)log(3ωQ(W))^−λ(k)

oùc(n)^et λ(k) ^{sont desonstantes stritement positives ne dépendant respe-}

tivementquede n^etk^.

Nouspouvonsainsiénonerlaonjetureabélienneanalogue:

Conjeture 1.4. Soit n ^{un entier naturel non nul. Soit} W ^une sous-variété géométriquementirrédutibledeGⁿ_m^{quin'estontenuedansauune}sous-variété de torsion.SoitL^{une extensionabéliennede} Q^.Alors

ˆ

µess(W)≥ c(n) ωL(W)

oùc(n)^{estune onstantestritement positive nedépendantquede} n^.

Dans ette diretion, en ombinant lestehniques de [AD00℄ et [AZ00℄,

nousobtenonslerésultatsuivantonernantlesvariétésdeodimension1:

Théorème 1.5. Soit n ^{un entier naturel non nul. Soit} W ^une hypersurfae géométriquementirrédutiblede Gⁿm^{qui n'estpasdetorsion. Soit}L^{une exten-}

sionabélienne de Q^.Alors ˆ

µess(W)≥ c(n) ωL(W)

log 2ωL(W) log log 5ωL(W)

−(1+6(n+1))

oùc(n)^{estune onstantestritement positive nedépendantquede} n^.

Remarquons également que pour les hypersurfaes, on peut attaquer e

problèmed'un pointde vue diérent. En eet, dans [AD03℄, F. Amoroso et

S.Davidobtiennent,enintroduisantdeshypothèsessupplémentaires,une mi-

norationuniquementdenaturegéométrique.

Théorème 1.6. Soit n ^{un entier naturel non nul. Soit} W ^une sous-variété géométriquementirrédutiblede Gⁿ_m ^{de odimension} k ^{qui n'est ontenue dans}

auuntranslatéde sous-tore.Alors

ˆ

µess(W)≥ c(n)

ω_Q(W)log(3ω_Q(W))^−λ(k)

oùc(n)^et λ(k) ^{sont desonstantes stritement positives ne dépendant respe-}

tivementquede n^etk^.

Ce résultat, appliqué aux hypersurfaes, nous indique que si W ^{est une}

hypersurfaegéométriquementirrédutiblequi n'estpasletranslatéd'unsous-

torealors:

ˆ

µess(W)≥ c(n)

degW log(3 degW)^{−81 (1.1)}

PourobtenirunrésultatdutypeThéorème1.5,il sutdondenes'intéresser

qu'auxhypersurfaesquisontdestranslatésdesous-torespardespointsd'ordre

inni. Mais dans e as on peut failement se ramener au as du théorème

prinipalde[AZ00℄et obtenir:

Théorème 1.7. Soit n ^{un entier naturel non nul. Soit} W ^une hypersurfae géométriquement irrédutible de Gⁿ_m ^{qui est letranslaté d'unsous-tore par un}

pointd'ordreinni. Alors

ˆ

µess(W)≥ c n·ωL(W)

log(2[L(W) :L]) log log(5[L(W) :L])

−13

oùc^{est uneonstantestritementpositive.}

Démonstration. Soient H ^{un sous-tore} géométriquement irrédutible de odimension 1 et α ^{un point d'ordre inni tels que} W = αH^{. En tant que}

sous-tore de Gⁿ_m ^{de odimension 1,} H ^{est donné par une équation du type} X^λ= 1 ^ave λ∈Z^{n.Si onpose}µ= (µ1, . . . , µn)∈N^{n ave}µi= max(0,−λi)

et α=α^λ ∈Q^{,alors lepolynme}F(X) = X^µ(X^λ−α)^{est une équationde} W ^{etilestlairque}L(W) =L(α)^{.D'unepart,ommeWestune}hypersurfae, onaˆh(W) = ˆh(F)^{. D'autrepart,un simplehangement devariables dansles}

aluls de la mesure de Mahler de F ^{nous donne} h(Fˆ ) = ˆh(X −α) = ˆh(α)

(pour les liens entre la hauteur normalisée des hypersurfaes et la mesure de

Mahlerdeleurséquations,voirparexemple,[Phi91℄,setion2,partieB).Ainsi

enappliquantlethéorèmede[AZ00℄,onobtient:

ˆh(W)≥ c [L(W) :L]

log(2[L(W) :L]) log log(5[L(W) :L])

⁻¹³

Ononlutalorsenutilisantl'inégalitédeZhang.

En utilisant l'inégalité (1.1) et le théorème 1.7 on peut don obtenir un

résultatdutypethéorème1.5 aveune onstante absolueommeexposant du

terme en log^{. Cependant, ette approhe du problème ne fontionne plus}

enodimensionsupérieure et il faudrasans douteprivilégierunraisonnement

ombinantlestehniquesde[AZ00℄et[AD99℄.L'objetdeepapierestdonde

démontrerlethéorème1.5parettevoie.

Soit n ^{un entier naturel non nul. Soient} x, y ∈ Gⁿ_m ^{et soit} m ∈ N^{∗. On}

notera:

xy= (x1y1,· · ·, xnyn) ^et [m]x= (x^m₁,· · ·, x^m_n).

Ondésigneraparker[m] ^{lenoyaudumorphismede} multipliationparm^dans Gⁿ_m^{,i.e.l'ensembledespointsdontlesoordonnéessontdesraines}m^-ièmesde

l'unité.Si V ^estunesous-variétédeGⁿ_m^{, onnotera}GV ^sonstabilisateur:

GV ={x∈Gⁿ_m, xV =V}= \

y∈V

y⁻¹V

etG⁰_V ^{laomposanteneutrede}GV^.LestabilisateurdeV ^{possèdelespropriétés}

suivantes:

dim(GV)≤dim(V) ^et deg(GV)≤deg(V)^dim(V)+1.

Parailleurs,siW ^estunesous-variétéstriteetgéométriquementirrédutiblede

Gⁿ_m^{,ledegrédesonimageparlemorphismede}multipliationparm ^vérie:

deg([m]W) = m^dim(W)deg(W)

|ker[m]∩GW| = m^{dim(W)−dimGW}deg(W)

|ker[m]∩(GW/G⁰_W)| .

oùl'onaenorenotéker[m]^lenoyaudelamultipliationparm^dansGⁿ_m/G⁰_W^.

Onpourratrouverune démonstrationdees résultatsdans[AD99℄et [Hin88℄.

Enn,nousauronsbesoindulemmesuivant:

Lemme 2.1. Soit W ^une sous-variété de Gⁿ_m géométriquement irrédutible.

SoientK^{unorpsdenombres,} p^{unnombrepremieret}ζp ^{une raine primitive}

p^{-ièmede l'unité.Alors}l'extension

K([p]W, ζp)⊆K(W, ζp)

estabélienne de degré une puissanede p^{. De plus, si}K(W, ζp) = K([p]W, ζp)^,

ilexiste ζ∈ker[p] ^telqueK(ζW) =K([p]W)^.

Démonstration. Soit τ ∈ Gal(Q/K([p]W, ζp))^{. Montrons que} K(W, ζp) ^est

globalementstable sous-l'ationdeτ^{. Pourela,il sut demontrerque}τ(W)

estdéniesurK(W, ζp)^{. Ona:}

[p]τ(W) =τ([p]W) = [p]W.

Ilexiste donξ∈ker[p] ^telque τ(W) =ξW ^et τ(W)^{est dénie sur}K(W, ζp)^.

L'extensionK([p]W, ζp) ⊆ K(W, ζp) ^{est don} galoisienne. D'autrepart, si l'on onsidèrel'appliation:

φ: Gal(K(W, ζp)/K([p]W, ζp)) −→ ^ker[p]/ker[p]∩GW

τ 7−→ ¯ξ

on vérie aisémentque φ ^{est bien dénie et que 'est un morphisme injetif.}

AinsiGal(K(W, ζp)/K([p]W, ζp)) ^{est isomorpheà sonimage par} φ ^{et don est}

abélien.Lapremièrepartiedulemmeetdondémontrée,passonsàlaseonde.

Remarquonsd'abordque,parhypothèse,

K([p]W)⊆K(W)⊆K(W, ζp) =K([p]W, ζp).

Si K(W) = K([p]W) ^{le résultat est trivial. Supposons don que} K([p]W) ( K(W)^.Soitσ^{ungénérateurdugroupeylique}

G= Gal(K([p]W, ζp)/K([p]W))

etnotons σ˜ ^undesesprolongementsàQ^{. Comme}˜σ^xeK([p]W)^{eta fortiori} Q([p]W)^,ona:

[p]˜σ(W) = ˜σ([p]W) = [p]W.

Ilexistedonξ∈ker[p]^telqueσ(W˜ ) =ξW^.

Montrons que σ(ξ) 6= ξ^{. Si} ξ = (1, . . . ,1) ^alors σ(W˜ ) = W ^et Q(W) ^est

stable sousl'ation deG^{; on en déduit que}K(W) =K([p]W)^{. Parailleurs,si} ξ6= (1, . . . ,1) ^et σξ=ξ^{, alors}K(ξ) = K(ζp) ^{est stable sous l'ation de} G^{; il}

s'ensuitqueG^{estréduit àl'identité et}K([p]W) =K([p]W, ζp)^{; afortiori ona}

enoreK(W) =K([p]W)^{. Danslesdeux as,onobtientune}ontraditionave l'hypothèseK(W)6=K([p]W)^.

Onadonσ(ξ) =ξ^λ,aveλ∈Z^et λ6≡1 modp^.Soitu^{une solutiondela}

ongruene

(λ−1)u+ 1≡0 modp

etsoitζ:=ξ^u.Ona:

˜

σ(ζW) =σ(ζ)˜σ(W) =ξ^λu+1W =ζW,

equimontrequeQ(ζW)^(donK(ζW)^{)eststable sousl'ationde}G^,etainsi K(ζW) ⊆K([p]W)^{. D'autre part,}[p](ζW) = [p]W^{, dones deux orps sont}

égaux,e quiahèveladémonstration.

3 Rédutions

Soit L ^{une extension abélienne de} Q^{. D'après le théorème de Kroneker-}

Weber, L ^{est ontenu dans une extension ylotomique de} Q^{. Soit} m ∈ N^∗

minimal tel que L ⊆ Q(ζm)^{. Si} p ^{est un nombre premier, on note} ep(L) ^son

indiederamiation dansL ^ete˜p(L)^{lapuissanemaximalede}p^divisantm^.

Ondénitégalement

˜

e(L) = X

p^premier

( ˜ep(L)−1).

Remarquonsquesi L^′⊆L^{sontdeux extensionsabéliennesde}Q^alorse(L˜ ^′)≤

˜ e(L)^.

qu'ilexisteL^{uneextensionabéliennede}Q^etW ^unehypersurfaegéométrique- mentirrédutibledeGⁿ_m^{nondetorsiontelsquelethéorème1.5soitfaux:}

ˆ

µess(W)< c(n) ωL(W)

log 2ωL(W) log log 5ωL(W)

−(1+6(n+1))

. ^(3.1)

Nous pouvons supposer de plus que ledegré δ := [L(W) : L] ^{est minimal}

dans (3.1), i.e. pour toute hypersurfae géométriquementirrédutible W^{′ qui}

n'estpasdetorsionettellequ'ilexisteuneextensionabélienneL^{′ de}Q^vériant [L^′(W^′) :L^′]< δ^,ona:

ˆ

µess(W^′)≥ c(n) ωL^′(W^′)

log 2ωL^′(W^′) log log 5ωL^′(W^′)

−(1+6(n+1))

. ^(3.2)

Remarquonsensuitequelafontion

t7→t·

log(2(degW)t) log log(5(degW)t)

1+6(n+1)

est roissante sur [1; +∞[^{. Deplus, pour tout} ζ∈ (Gⁿ_m)tors

, onadeg(ζW) = deg(W) ^et µˆess(ζW) = ˆµess(W)^{. En} partiulier, (3.1)et (3.2) impliquentque pourtoutζ∈(Gⁿ_m)^{tors ettouteextensionabélienne}L^{′ de}Q^,ona:

[L^′(ζW) :L^′]≥δ. ^(3.3)

Enn,soitA^{l'ensembledesextensionsabéliennes}L^{′ de}Q^{tellesqu'ilexiste} ζ∈(Gⁿ_m)^{tors vériant}[L^′(ζW) :L^′] =δ^.Soit

˜ e:= min

L∈Ae(L).˜

Quitte àremplaerW ^parζW ^{pour unertain}ζ ∈(Gⁿ_m)^{tors et} L ^parL^′ ∈ A

nouspouvonssupposerqueL^{vérielesdeuxonditionssuivantes:}

[L(W) :L] =δ ^(3.4)

˜

e(L) = ˜e ^(3.5)

Deplus,parunargumentgaloisien,nousavonslediagrammesuivant:

L(W)

δ

vvvvvvvvvv

KK KK KK KK KK

L

HH HH HH HH

HH Q(W)

δ

ssssssssss L∩Q(W)

Q

ÉtantdonnéqueL∩Q(W)^{estuneextensionabéliennede}Q^etque

˜

e(L∩Q(W))≤˜e(L) = ˜e,

onae(L˜ ∩Q(W)) = ˜e^{.Celanouspermetdesupposer,quitteàremplaer}L^par L∩Q(W)^queL⊆Q(W)^,i.e:

Q(W) =L(W). ^(3.6)

Remarquonsennquel'onpeutégalementsupposerque:

∀ζ∈(Gⁿ_m)^tors, Q(ζW)⊆Q(W)⇒Q(ζW) =Q(W). ^(3.7)

En eet,s'il existeζ ^telqueQ(ζW)( Q(W)^{, nousavons}L(ζW)⊆L(W)^{, e}

qui implique néessairement (par 3.3) L(ζW) = L(W) = Q(W)^{. Nous avons}

ainsilediagrammesuivant:

Q(W)

δ

uuuuuuuuuu

MM MM MM MM MM

L

II II II II

II Q(ζW)

δ

qqqqqqqqqq L∩Q(ζW)

Q

Par le même argument, nous pouvons don remplaer W ^par ζW ^et L ^par L∩Q(ζW)^{. Nous pouvons itérer e proédé, jusqu'à obtenir (3.7) (nombre}

d'itérationsniarledegrédéroitstritementàhaqueétape).

Ainsi, nous onsidéronsdésormais une hypersurfae géométriquement irré-

dutibleW ^{quin'estpasdetorsionetuneextensionabélienne}L^deQ^ontenue

dansQ(W)^{quisatisfont(3.1),(3.2),(3.3),(3.4),(3.5),(3.6)et (3.7).}

Notations.Soitm∈N^{∗.Danstoutelasuite,nousnoteronspar}Vm ^lavariété

déniepar:

Vm= [

σ∈Gal(Q/L)

[m]σ(W) = [m]W^L. ^(3.8)

Ondénitégalementunensembledepremiersexeptionnels :

E^ex(V1) ={p^premiers, p| |GV1/G⁰_V1|},

etonnoteP ^sonomplémentairedansl'ensembledesnombrespremiers.Enn, nousnoteronss^{ladimensiondu}stabilisateurdeW^.

Lemme3.1. Soitp∈ P^.Alors:

i) p^{nedivise pas} |GW/G⁰_W|, ii) L([p]W) =L(W),

iii) deg(Vp) =p^n−1−sωL(W).

Démonstration.i)^{Onmontrefailementque}GW ⊆GV1 ^etG⁰_W =G⁰_V1^.Ainsi GW/G⁰_W ^estunsous-groupedeGV1/G⁰_V1 ^etp^nedivisepas|GW/G⁰_W|^.

ii)^{Ilsutdemontrerque}L([p]W, ζp) =L(W, ζp)^{:lelemme2.1nousindique}

alorsl'existenedeζ∈^ker([p])^telqueL(ζW) =L([p]W)^{.Lesonditions(3.3)}

et(3.4)faitesurW ^{nousdonnentainsi:}

δ= [L(W) :L]≥[L([p]W) :L] = [L(ζW) :L]≥δ.

OnendéduitqueL([p]W) =L(W)^.

Considéronsl'extensionabélienne

L([p]W, ζp)⊆L(W, ζp)

et supposonsqu'ilexiste unélémentσ6=^IddansGal(L(W, ζp)/L([p]W, ζp))^et

notonsσ˜ ^undesesprolongementsàQ^.Ona [p]˜σW = ˜σ[p]W = [p]W

donil existe ξ ∈ ker[p] ^{diérent de} (1, . . . ,1) ^telque σ(W˜ ) = ξW^{. Soit} τ ∈ Gal(Q/L)^{;il existe}l∈Z^telquequeτ⁻¹ξ=ξ^{l.Onaalors,omme}σ(ξ) =ξ^:

ξτ(W) =τ(ξ^lW) = (τ◦σ˜^l)(W).

Don ξ ∈ GV1^{. Mais omme} G⁰_V1 = G⁰_W ^et σ 6= ^{Id, on a} ξ 6∈ G⁰_V1^{. On en}

déduitquep^divise|GV1/G⁰_V1|^{,equiestabsurde.Onadonbien}L([p]W, ζp) = L(W, ζp)^etlepoint(ii)^estétabli.

iii) ^{Le point préédent nous assure que} [p]W ^et W ^{ont le même nombre}

(= [L(W) :L]^{)deonjuguésaudessusde}L^.D'où: deg(Vp) = [L(W) :L] deg([p]W).

Or,d'après(i)^,|ker[p]∩GW/G⁰_W|= 1^.Dondeg([p]W) =p^n−1−sdegW^{,et la}

preuvedulemme estahevée.

4 Lemmes pour l'extrapolation

Lemme 4.1. Soit p ^{unnombre premier. Soit} (p) = (π1· · ·πr)^{ep(L) la déom-}

position de (p) ^dans OL^{. Alors il existe un élément} Φp ^{du groupe de Galois}

Gal(L/Q)^{telquepourtoutentieralgébrique} γ∈L^: γ^p−Φpγ≡0 modπ1· · ·πr.

Démonstration. Voir[AZ00℄,Lemme3.1.

Lemme4.2. Soitp∈ P^{.Alorsilexisteun}sous-groupeHp^deGal(L/Q)^d'ordre

|Hp| ≥min{ep(L), p}

telquepourtoutentieralgébrique γ∈L^,pourtoutσ∈Hp^{,onait :}

γ^p−σγ^p≡0 modpOL. ^(4.1)

Deplus, pourtoutprolongementτ∈Gal(Q/Q)^de σ∈Hp\{Id}^,ona: τ[p]W 6= [p]W.

Démonstration. Sip^{n'estpasramiédans}L^alorsep(L) = 1^et Hp={Id}

auquel as le lemme est trivial. Si p ^{est ramié dans} L ^alors p ^{est également}

ramiédans Q(ζm)^,don p|m^.Notons Gp:= Gal(Q(ζm)/Q(ζm/p))^{qui est y-}

liqued'ordrep^sip²|m^,d'ordrep−1^{sinon. Parminimalitéde}m^, L^n'estpas

stable sous l'ation de Gp ^don Gp ^{induit par restritionun} sous-groupenon trivialHp ^deGal(L/Q)^.Sip²|m^,alorsnéessairement|Hp|=p^.Sip²∤m^,alors

|Hp| |(p−1) ^et|Hp| ≥ep(L)^arp^{n'estpasramiédans}Q(ζm/p)^.

Soit γ ∈ L ^{un entier}algébrique. En partiulier, γ ^{est un entierde} Q(ζm)^,

dons'éritγ=f(ζm)^{, ave} f ∈Z[X]^{. Soit}σ∈Hp^.Cetautomorphismeest la restritionàL^d'unertainσ˜ ∈Gp^{. Comme}Q(ζm/p)^{est stableparl'ationde}

˜

σ^,onaσ(ζ˜ m^p) =ζm^{p.Onobtientainsi, àl'aidedupetit théorèmedeFermat:}

˜

σγ^p= ˜σf(ζm)^p≡σf˜ (ζ_m^p) =f(ζ_m^p)≡γ^p modpZ[ζm].

Cequi, parrestritionàL^{,nousdonne(4.1).}

Enn, soientσ ∈ Hp\{Id} ^et τ ∈ Gal(Q/Q)^un prolongement de σ^{. Sup-}

posons que τ[p]W = [p]W^{. Cei équivautà dire que} Q([p]W) ^{est stable sous}

l'ationdeτ^.NotonsE^{lesous-orpsde}L^xéparσ^.OnaalorsQ([p]W)∩L⊆E

donE([p]W)∩L=E^{.Parunargumentgaloisien,lesotésopposésdudia-}

grammesuivantontmêmedegré:

L([p]W)

qqqqqqqqqqqq

PP PP PP PP PP PP

L

MM MM MM MM MM

MM E([p]W)

nnnnnnnnnnnn (E=)L∩E([p]W)

Q