Autour du problème de Lehmer relatif dans un tore

(1)

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Emmanuel Delsinne

To cite this version:

Emmanuel Delsinne. Autour du problème de Lehmer relatif dans un tore. Mathématiques [math].

Université de Caen, 2007. Français. �tel-00259956�

(2)

U.F.R. de S ien es

É ole do torale SIMEM

T H È S E

présentée par

M. Emmanuel Delsinne

etsoutenue levendredi 14 dé embre2007

en vuede l'obtention du

Do torat de l'Universitéde Caen

Spé ialité : Mathématiques et leurs appli ations

(Arrêté du 7 août 2006)

Autour du problème de Lehmer relatif

dans un tore

Membres du Jury

M. Fran es o Amoroso, professeurà l'Universitéde Caen (dire teur)

M. Vin ent Bosser,maîtrede onféren es àl'Université deCaen

M. SinnouDavid, professeur àl'Universitéde Paris VI

(3)

(4)

(5)

(6)

que l'on exer e selon des règles

simples en manipulantdes symboles

ou des on epts qui n'ont en soi,

au une importan e parti ulière.

(7)

(8)

Denombreusespersonnesont ontribuéaubondéroulementde ettethèse.

L'o asionm'est i ioerte deleur exprimermagratitude.

Tout d'abord, 'estpourmoiungrandplaisirderemer ierFran es o

Amo-rosoqui m'aproposé e sujet etm'aen adré toutau longde estroisannées.

Sa disponibilité, ses onseils et ses en ouragements sont autant de fa teurs

qui ont largement parti ipé à la réalisation de ette thèse. C'est notamment

àl'o asionde fru tueuses séan esde travail hez lui (où j'étaistoujours

ha-leureusement reçu) qu'est né le deuxième hapitre de ette thèse. Il a su me

guider et m'orienter aussi bien dans mes re her hes que dans la visite de la

Tos ane!

J'adressemesplussin èresremer iementsàDavidMasseretGaëlRémond

pouravoira eptéderapporter etravailmalgrélesbrefsdélaisquileurontété

imposés.Ilsontee tué ettetâ heave diligen e.Leursremarquespertinentes

etleurs idées ont permis d'améliorer laqualité de e manus rit etd'envisager

de futurs travaux. Par ailleurs, j'ai parti ulièrement appré ié les dis ussions

ami ales que j'ai pu avoir ave Gaël Rémond, que e soit à Vienne, dans les

alanques deLuminyou lors depromenades danslaforêtd'Oberwolfa h.

Jeremer ie vivementSinnouDavidpourl'intérêt qu'ilporteàmontravail.

C'estun honneurpour moiqu'il parti ipe à e jury.

Depuisqu'ilestàCaen,j'aipufaireplusample onnaissan eave Vin ent

Bosser (notamment lors de passionnantes réunions IUFM!) et je lui suis

re- onnaissant d'avoir a epté defaire partie du jury.

Je tiens à souligner que ette thèse a largement béné ié des ex ellentes

onditionsdetravailqu'orelelaboratoiredemathématiquesNi olasOresme;

j'en remer ie tous les membres, her heurs et personnels administratifs. Je

remer ie également tous les organisateurs de olloques ou de onféren es qui

m'ontinvité,mepermettantainsidefairedenombreusesren ontres,d'exposer

(9)

mathématiquesou RU- ulinaires eten parti ulier...

Corentin, mon obureau et frère de hauteur. Grâ e à lui, il régnait

toujours une agréable atmosphère de travail dans le bureau 108. C'était un

réel plaisir d'é hanger nos onnaissan es en mathématiques ou nos idées sur

toutautre sujet.

Mar , son Ma et ses remarques. C'est toujours enri hissant de dis uter

ave la réin arnation de M. Grévisse. Je garderai d'ex ellents souvenirs des

innombrables etinterminables soiréespassées hez lui.

Ionetsa205 quim'ont souvent onduit (enretard) àlafa .J'ai dé ouvert

enlui un véritableami (qui possède lamême montre quemoi...).

Erwan,sonhumour grinçant etses ommentaires a ides...

Filippo, roi de la no iola . Si notre travail n'en est qu'à l'antipasto,

j'espèrequ'ilira jusqu'autiramisu...

Camille, Chloé et Émeline qui ont eu le bon goût d'apporter un peu de

féminité dans e milieu.

Si je les remer ie, je veux aussi m'ex user de les avoir plus ou moins plumés

aupoker...

J'ai également une pensée pour mes amis ren ontrés lors de mes études

à Rennes : Genz, Laurent, Nomo et Tfab. C'est ave eux que les

mathéma-tiquesdevinrent pour moiunréel plaisir.Lesnombreuxmomentsinoubliables

(etparfoisinavouables!) que nouspassonsensembledepuis ette époquesont

toujoursune bonne o asionde dé ompresser.

J'ai pu ompter sur le soutien de ma famille tout au long de mes études.

Je remer ie du fonddu oeurmesparents pour m'avoir en ouragé etpour les

déli atesattentionsqu'ilsm'onttoujoursréservées,masoeuretmonfrèrepour

lesmomentsde ompli itéetlesfousrirespartagéset mesbeaux-parentspour

leurae tion.

Enn,iln'existepasdemotàlahauteurpourexprimermesremer iements

àCindy,quim'a onstamment supporté(danstouslessensduterme)pendant

ette thèse.Sonintarissable bonne humeur,sajoie devivre etl'amour qu'elle

(10)

1. Introdu tion... 1

1.1. La dimension 1... 1

1.2. La dimension supérieure... 8

1.3. Contenude lathèse... 15

Partie I. Le problème de Lehmer relatif en dimension 1... 19

2. Une minoration relative expli ite... 21

2.1. Introdu tion... 21

2.2. Notations... 24

2.3. Résultats préliminaires... 25

2.4. Démonstration du théorème2.2... 29

Partie II. Le problème de Lehmer relatif en dimension supérieure... 45

3. Cas des hypersurfa es... 47

3.1. Introdu tion... 47

3.2. Notations etrésultatspréliminaires... 51

3.3. Rédu tions... 53

3.4. Lemmes pourl'extrapolation... 56

3.5. Constru tion de lafon tion auxiliaire... 60

3.6. Extrapolation... 61

4. Cas des points... 73

(11)

4.3. Trans endan e... 83

4.4. Des ente...105

4.5. Démonstration du théorème4.5...117

(12)

INTRODUCTION

The following problem arises immediately. If

ε

is a positive quantity, tond a polynomial of the form

f (x) = x

r

+ a

1 x

r−1

+

· · · + a

r

where the

a

's are integers, su h that the absolute value of the produ tof thoseroots of

f

whi hlieoutsidethe unit ir le, lies between

1

and

1 + ε

.

Cette question, posée par D. H.Lehmer en 1933 dans [Leh33 ℄, est en ore

ouverte aujourd'hui. Elle est onnue sousle nomde problème deLehmer.

1.1. La dimension 1

1.1.1. Mesure de Mahler

An de pouvoir reformuler e problème, nous devons dénir la mesure de

Mahler d'unpolynme.

Dénition 1.1. Soit

F

unpolynmenonnulà oe ients omplexes. No-tons

F (X) = a

d

Y

i=1

(X

_{− α}

i

).

Onappelle mesure de Mahler de

F

le nombreréel

M (F ) =

_|a

d

|

d

Y

i=1

(13)

RemarquonsquelamesuredeMahlerestmultipli ative:si

F

1

et

F

2

sontdes polynmesnon nuls à oe ients omplexes, on a

M (F

1 F

2 ) = M (F

1 )M (F

2 )

. Intéressons-nousauxpolynmes à oe ients entiers;si

F

∈ Z[X] \ {0}

alors

M (F )

_{≥ 1}

etnousavons lapropositionsuivante:

Proposition 1.2 (Krone ker). Soit

F

unpolynme irrédu tible à oe- ients entiers. Alors

M (F ) = 1

si et seulement si

F (X) =

±X

ou

F

est un polynme y lotomique.

Il est don naturel de se demander si, parmi les polynmes à oe ients

entiers, la mesurede Mahler peutprendre des valeursarbitrairement pro hes

de 1 : 'est la question de D. H. Lehmer dans [Leh33 ℄. Dans et arti le, il

fournit lepolynme

X

10 + X

9 _{− X}

7 _{− X}

6 _{− X}

5 _{− X}

4 _{− X}

3 + X + 1

dontlamesuredeMahlervautenviron1,17628; ettevaleurreste aujourd'hui

lapluspetitemesuredeMahler(stri tementplusgrandeque1) onnue(parmi

les polynmesà oe ients entiers). Cefait, puis d'autres résultatsque nous

iterons dans la suite,suggère que laquestion de Lehmer admet une réponse

négative. C'estpourquoila onje tures'énon e dela façonsuivante:

Conje ture 1.3 (Lehmer). Il existe une onstante

c

stri tement positive telle que pour toutpolynme

F

à oe ients entiers, irrédu tible, diérent de

±X

et non y lotomique,on a

M (F )

_{≥ 1 + c.}

Il peutêtre utile, pour traiter e problème, d'utiliser lanotion de hauteur.

1.1.2. Hauteur d'un nombrealgébrique

Lanotiondehauteurjoueunrleessentielenapproximationdiophantienne.

D'unepart, 'estunoutilquipermetde ontrlerlatailledesnombres

algé-briques etqui,parsuite, permetde montrer desrésultatsde nitude.D'autre

part, les hauteurs possèdent des propriétés subtiles qui les rendent

intrinsè-quement intéressantes. Nous ommençons par en rappeler la dénition et les

premières propriétés (on pourra seréférerau hapitre 1 de [BG06℄pour plus

de détails).

Soit

K

un orps de nombres. On note

M

K

l'ensemble des pla es de

K

, 'est-à-direl'ensembledesvaleursabsoluessur

K

,àéquivalen eprès.Onnote

(14)

de

K

, on hoisit un représentant normalisé de la façon suivante : si

v

est ar himédienne alors

v

prolonge lavaleur absolue usuelle sur

Q

(

|a|

v

= a

pour tout

a

rationnelpositif);si

v

estultramétriqueet

v

divise

p

,alors

v

prolongela valeurabsolue

p

-adiqueusuelle sur

Q

(

|p|

v

= p

−1

).De ettefaçon,nousavons

laformule du produit :

∀α ∈ K \ {0},

Y

v∈M

K

|α|

[K

v

:Q

v

]

v

= 1

ou en oresous saformelogarithmique :

∀α ∈ K \ {0},

X

v∈M

K

[K

v

: Q

v

] log(

|α|

v

) = 0.

Remarquons queleproduit etlasommepré édentssont en réaliténis, étant

donné l'égalité

|α|

v

= 1

pour presquetoutepla e

v

.Nouspouvonsmaintenant donnerladénition delahauteur d'unnombrealgébrique :

Dénition 1.4. Soient

α

unnombre algébriqueet

K

un orpsdenombres le ontenant. Onappelle hauteur de Weil(logarithmique) de

α

lenombreréel

h(α) =

X

v∈M

K

[K

v

: Q

v

]

[K : Q]

log max

{1, |α|

v

}.

Onmontrefa ilementque ettedénitionnedépendpasdu orps

K

.La hau-teurpossède lespropriétés multipli ativessuivantes, pour

α

et

β

desnombres algébriques nonnuls:

h(αβ)

≤ h(α) + h(β)

ave égalité si

α

ou

β

est unera ine de l'unité;

h(α

l

_{) =}

_|l|h(α)

pour tout

l

∈ Z

.

Par ailleurs, la hauteur d'un nombre algébrique

α

est liée à la mesure de Mahler.En eet,si

F

α

est lepolynme minimalde

α

sur

Z

,ona

h(α) =

log M (F

α

)

[Q(α) : Q]

.

Ainsi le théorème de Krone ker se traduit en termes de hauteur : soit

α

un nombrealgébriquenonnul,alors

h(α) = 0

sietseulementsi

α

estunera inede l'unité.Ainsi,delamêmefaçonquepourlamesuredeMahler,ilestnaturel de

s'intéresseràminorerlesvaleursprisesparlahauteur.Remarquonsnéanmoins

qu'obtenirune minoration absolue stri tement positive pourtous lesnombres

algébriques nonnulsqui nesont pasra ine de l'unitéest impossible. Eneet,

ilsut de onsidérerpourtoutentier naturel

d

lenombrealgébrique

α = 2

1/d

dont lahauteurvaut

h(2

1/d

) =

log 2

d

;

(15)

elle estdon arbitrairement petitesi

d

estsusamment grand.Cependant, on peuttraduirela onje turede Lehmer de lafaçon suivante:

Conje ture 1.5 (Lehmer). Il existe une onstante

c

stri tement positive telle que pour tout nombre algébrique non nul

α

qui n'est pas une ra ine de l'unité, on a

h(α)

≥

c

[Q(α) : Q]

.

1.1.3. Les résultats

Dans la dire tion de la onje ture de Lehmer, le meilleur résultat

in ondi-tionnel à e jour est unthéorème dû à Dobrowolski [Dob79℄, quiarme que

la onje turede Lehmer estvraie à un

ε

près:

Théorème 1.6 (Dobrowolski). Il existe une onstante

c

stri tement po-sitive telle que pour toutnombre algébrique non nul

α

qui n'est pas unera ine de l'unité,

h(α)

≥

c

[Q(α) : Q]

log log(3[Q(α) : Q])

log(3[Q(α) : Q])

3 .

De plus, dans ertains as, ette onje ture est vraie. Sous ertaines

hy-pothèses, il existe même des résultats bien plus forts que elui prédit par la

onje ture de Lehmer. Remarquons tout d'abord quesi

α

n'est pas un entier algébrique, alors

h(α)

≥

log 2

[Q(α) : Q]

.

Citons ensuite le résultat de C. Smyth [Smy71℄. Un nombre algébrique non

nul est dit ré iproque si l'ensemble de ses onjugués (sur

Q

) est stable par l'appli ation

x

7→ x

−1

. En d'autres termes, ela signie que son polynme

minimalsur

Z

est ré iproque, 'est-à-dire invariant par l'appli ation

F (X)

7→

X

deg(F )

F (X

−1

)

.C. Smythmontre alors

Théorème 1.7 (Smyth). Soit

α

un nombre algébrique nonnul non ré i-proque. Alors

h(α)

≥

log θ

[Q(α) : Q]

,

où

θ

désigne la ra ine réelle du polynme

X

3 _{− X − 1}

.

Remarquons que etteminoration estoptimale aronaégalité lorsque

α =

(16)

De plus, sous ertaines propriétés arithmétiques, il existe des minorations

bienplusfortes,indépendantesdudegréde

α

.Parexemple,A.S hinzelmontre dans[S h73℄lerésultat suivant.

Théorème 1.8 (S hinzel). Soit

K

un orps totalement réel ou une ex-tension quadratique imaginaire d'un tel orps. Soit

α

∈ K

∗

tel que

|α| 6= 1

. Alors

h(α)

_≥

1

2 log

1 +

√

5

2 .

Dans[AmNu07℄,F.AmorosoetF.A.E.Nu iomontrentquel'onnepeut

fairel'é onomie del'hypothèse

|α| 6= 1

.Néanmoins,dansle asdesextensions abéliennes de

Q

(qui entrent dans le adre de e théorème) nous avons le théorème suivant,issu de [AmDv00℄.

Théorème 1.9 (Amoroso-Dvorni i h). Soit

L

une extension abélienne de

Q

. Soit

α

∈ L

∗

et supposons que

α

n'est pas une ra ine del'unité. Alors

h(α)

_≥

log 5

12 .

Cetteminoration admetunegénéralisation nontriviale auxextensions

abé-liennesd'un orps de nombres

K

quel onque,lahauteur n'étant plus minorée par une onstante (absolue) mais par un réel ne dépendant que du orps de

base

K

: 'est un résultat de F. Amoroso et U.Zannier. Il s'agit en fait d'un asparti ulier du théorèmesuivant.

Théorème 1.10 (Amoroso-Zannier). Soit

K

un orps de nombres. Il existe un nombre réel stri tement positif

c(K)

ne dépendant que de

K

tel que pour toute extensionabélienne

L

de

K

et pour toutnombre algébrique nonnul

α

qui n'est pas une ra ine del'unité, on a

h(α)

_≥

c(K)

[L(α) : L]

log log(5[L(α) : L])

log(2[L(α) : L])

13 .

Dans le as où

K = Q

, e théorème estun analogue du théorème d'E. Do-browolski où le orps

Q

est rempla é par une extension abélienne. Il onduit ainsià fairela onje ture suivante.

Conje ture 1.11. Il existe une onstante

c

stri tement positive telle que pour tout nombre algébrique non nul

α

qui n'est pas une ra ine de l'unité,

h(α)

≥

c

[Q

ab

_{(α) : Q}

ab

_]

,

où

Q

ab

(17)

C'est la onje ture de Lehmer dite relative.Plus généralement, le

pro-blème qui onsiste à minorer la hauteur d'un nombre algébrique en fon tion

de son degré sur une extension abélienne est appelé problème de Lehmer

relatif.

À proposdu théorème1.10, ilest naturel desedemander omment variele

réel

c(K)

en fon tion de

K

. Une onje ture optimiste onsisterait à suggérer que

c(K)

est inversement proportionnel au degré

[K : Q]

, e qui onduirait à lagénéralisation suivantedela onje ture deLehmer :

h(α)

≥

c

[K

ab

_{(α) : K}

ab

_{][K : Q]}

,

ave

c

une onstante (absolue) et

K

ab

l'extension abélienne maximale de

K

. Malheureusement, etteinégalitéestfausse ommelemontrel'exemplesuivant.

Soient

m

un entier naturel non nul et

n

le produit des

m

premiers nombres premiers. Soit

K

le orps engendré par les ra ines

n

-ièmes de l'unité. Alors

[K : Q] = φ(n)

etpar le hoix de

n

,on a

n

_{≥ c}

1 [K : Q] log log[K : Q],

où

c

1

est unréel stri tement positif. Considérons maintenant

α = 2

1/n

.Alors

α

_{∈ K}

ab

don

[K

ab

_{(α) : K}

ab

_{] = 1}

et

h(α) =

log 2

n

≤

c

−1

₁

log 2

[K

ab

_{(α) : K}

ab

_{][K : Q] log log[K : Q]}

.

Ce iimplique don que

c(K)

estau moinsen

([K : Q] log log[K : Q])

−1

.Ave

F. Amoroso, nous montrons dans[AmDe07℄ qu'en supposant l'hypothèse de

Riemann généralisée(GRH), nouspouvonsprendre

c(K) =

c

([K : Q](log(3

_|∆

K

|)))

3 ,

où

∆

K

estledis riminant de

K

.Plusexa tementnousobtenonslesthéorèmes suivants.

Théorème 1.12. Onsuppose GRH.Soient

K

un orps denombres,

d

son degré et

∆

K

son dis riminant. Soit

α

un nombre algébrique nonnul qui n'est pas une ra ine del'unité. Alors pourtoute extension abélienne

L

de

K

, on a

h(α)

≥

c

D

min

log log(5D)

4 d

5 _log(2dD)

2 _log(2D)

2 ,

log log(5D)

2 λd

2 _log(2D)

,

(18)

où

c

est une onstante (absolue) stri tement positive,

D = [L(α) : L]

et

λ =

(log(3

_|∆

K

|))

2 max((log log(16

|∆

K

|))

2 , (log(3d))

4 )

. En parti ulier, on a

h(α)

≥

c

D

log log(5D)

4 d

3 _δ

2 _log(2δD)

2 _log(2D)

2 ,

où

δ = log(3

|∆

K

|)

.

Nousavonsbesoin,dansladémonstrationde ethéorème, d'uneestimation

du terme reste dans le théorème des idéaux premiers de

K

. Sous GRH, un résultat de J.C. Lagarias etA.M. Odlyzko (voirle théorème1.1 de[LO77℄)

fournitunetrès bonneestimationde ereste.SansGRH,lesestimationsde e

reste sont nettement moins bonnes(voir les théorèmes 1.3 et 1.4 de [LO77℄)

et ne permettent pas de trouver une dépendan e polynomiale en

∆

K

. Nous utilisons alors une estimationdue à Friedlander (voir[Fri80℄), quidonne une

version moins pré ise du théorème des idéaux premiers, ave en ontrepartie

une meilleuredépendan e en

∆

K

.

Théorème 1.13. Soient

K

un orps de nombres,

d

son degré et

∆

K

son dis riminant.Soit

α

un nombre algébrique nonnulqui n'estpasune ra ine de l'unité. Alors pour toute extension abélienne

L

de

K

, on a

h(α)

≥

(2g(d)∆

K

)

−c

D

log log(5D)

3 log(2D)

4

où

c

est une onstante(absolue)stri tement positive,

D = [L(α) : L]

et

g(d) =

1

s'il existe une tour d'extensions

Q = K

0 ⊂ K

1 ⊂ · · · ⊂ K

m

= K,

ave

K

i

/K

i−1

galoisienne pour

i = 1, . . . , m

, et

g(d) = d!

sinon.

Remarquonsquenousamélioronsnettement(ave ousansGRH)l'exposant

dansletermeenlogparrapportauthéorème1.10.Parailleurs, ommedans

[AmZa00 ℄,les onstantesquiinterviennentdanslesénon éssontee tivement

al ulables. Ces deux théorèmes font l'objet du hapitre 2 de la thèse. Nous

soulevonsalors laquestionsuivante:peut-onsepasserdeladépendan eenle

dis riminant de

K

dans

c(K)

? En d'autres termes : la hauteur d'un nombre algébrique nonnulqui n'est pas une ra ine de l'unité et qui appartient àune

extension abélienne de

K

peut-elle être minorée en fon tion uniquement du degréde

K

sur

Q

?

(19)

1.2. La dimension supérieure

1.2.1. Le tore

À ause despropriétés multipli atives de lahauteur, il est souvent utilede

onsidérer l'ensemble des nombres algébriques non nuls en tant que groupe

multipli atif

G

m

( ¯

Q) = ¯

Q

×

.Le paragraphe pré édent traitait de laminoration

delahauteurdans

G

m

= G

1 m

.Cetypedeproblèmepossèdeunegénéralisation endimension supérieure, 'est-à-diredans

G

n

m

(

n

∈ N

∗

),legroupe multipli atif

(ou tore) de dimension

n

.

Dénition 1.14. Soit

n

unentiernaturelnonnul.Letore

G

n

m

estl'ouvert de Zariski del'espa e ane

A

n

dénipar

x

1 · · · x

n

6= 0

munide lastru ture degroupe multipli atif

∀(x, y) ∈ (G

n

m

)

2 ,

xy

= (x

1 y

1 ,

· · · , x

n

y

n

)

dont l'élément neutreest

(1, . . . , 1)

. Soit

m

∈ N

∗

.Nousnoterons

[m]

lemorphismedemultipli ationpar

m

donné par

∀x ∈ G

n

m

,

[m]x = (x

m

1 ,

· · · , x

m

n

).

Le noyau de emorphisme, quenousnoterons

ker[m]

,est onstitué despoints de

m

-torsion.Dansle asde

G

n

m

( ¯

Q)

,ils'agitde l'ensembledespointsdont les oordonnéessont desra ines

m

-ièmesdel'unité.Unsous-groupe algébrique de

G

n

_m

est un sous-groupe qui est fermé (dans

G

n

m

) pour la topologie de Zariski etunsous-tore de

G

n

m

estunsous-groupealgébriquequi estgéométriquement irrédu tible.Unsous-torede

G

n

m

estisomorphe(entantquegroupealgébrique) à

G

r

m

pour un ertain entier

r

≤ n

(voir le orollaire 3.2.8 de [BG06℄). Si

V

est un sous-ensemble algébrique de

G

n

m

et

α

un point de

G

n

m

, nous noterons

αV

letranslaté de

V

par

α

:

αV =

_{{αx, x ∈ V },}

etsi

m

∈ N

∗

,nousnoterons

[m]V

l'image de

V

par lemorphismede multipli- ation par

m

:

(20)

Nous appellerons variété de torsion une réunion de translatés de sous-tores

propres

(1)

par despointsde torsion.

An de dénir la hauteurd'un point de

G

n

m

,il est né essairede onsidérer unplongement dansun ertainespa e proje tif.Lahauteur d'unpointde

G

n

m

sera alors la hauteur proje tive de son image par e plongement. Dans toute

lasuite, nous onsidéreronsleplongement naturel

ι :

G

n

_m

֒

→

P

n

α

= (α

1 , . . . , α

n

)

7→ (1 : α

1 : . . . : α

n

).

La hauteur orrespondanteest alors donnéepar

α

= (α

1 , . . . , α

n

)

∈ G

n

m

( ¯

Q)

et

K

un orps de nombres ontenant

α

1 , . . . , α

n

.Onappellehauteur deWeil (logarithmique) de

α

lenombre réel

h(α) =

X

v∈M

K

[K

v

: Q

v

]

[K : Q]

log max

{1, |α

1 |

v

, . . .

|α

n

|

v

}.

Commeendimension1,lahauteurpossèdedespropriétésintéressantes,

om-patiblesave lastru turedegroupe dutore.Citonstoutd'abordla

généralisa-tionduthéorèmedeKrone ker:unpoint

α

estdehauteurnullesietseulement si 'estun point de torsion, 'est-à-diresi ses oordonnées sont desra inesde

l'unité. De plus, si

m

un entier naturel, alors

h(α

m

_{) = mh(α)}

. Si

m

est un entiernégatif,nousn'avonsplusl'égalitémaissimplement

h(α

m

₎

_{≤ n|m|h(α)}

.

Enn, pour tout

(α, β)

∈ (G

n

m

( ¯

Q))

2

,

h(αβ)

_{≤ h(α) + h(β),}

e qui impliqueen parti ulierque pour toutpoint detorsion

ζ

,on a

h(ζα) = h(α).

1.2.2. Le problème de Lehmer pour les points

Pour minorerla hauteurd'unpoint en dimension supérieure, ledegrén'est

pasle bon invariant à onsidérer. Il en existe unplus n,qui tient ompte de

l'aspe tgéométrique du problème:l'indi e d'obstru tion.

(1)

Nousdironsqu'unsous-ensemblealgébriquede

G

n

m

estpropres'ileststri tementin lus dans

G

n

m

.

(21)

α

∈ G

n

m

( ¯

Q)

et

K

unsous- orpsde

Q

¯

.Onappelle indi e d'obstru tion de

α

relativement à

K

(ou sur

K

) et on note

ω

K

(α)

le pluspetit degré

(2)

d'unehypersurfa e de

G

n

m

( ¯

Q)

dénie sur

K

ontenant

α

. Remarquonstoutd'abordquel'indi e d'obstru tionestbienune

généralisa-tion du degré, dansla mesureoù

ω

K

(α) = [K(α) : K]

pour tout

α

∈ G

m

( ¯

Q)

. Plus généralement, en dimension supérieure, un argument d'algèbre linéaire

fournit lamajoration

∀α ∈ G

n

m

( ¯

Q),

ω

K

(α)

≤ n[K(α) : K]

1/n

.

Dans [AmDa99℄, F. Amoroso et S.David proposent une onje ture

géné-ralisantla onje turede Lehmer:

Conje ture 1.17. Pour toutentier naturelnonnul

n

, ilexiste unnombre réelstri tement positif

c(n)

tel que, pour tout

α

∈ G

n

m

( ¯

Q)

à oordonnées mul-tipli ativement indépendantes, on a

h(α)

≥

c(n)

ω

Q

(α)

.

Rappelonsque

α

1 , . . . , α

n

sont dits multipli ativement indépendantssi

∀(a

1 , . . . , a

n

)

∈ Z

n

,

n

Y

i=1

α

a

i

= 1

=

⇒

(a

1 , . . . , a

n

) = (0, . . . , 0).

Cettehypothèseestabsolumentessentielle ommelemontrel'exemplesuivant.

Soient

d

un entier naturel non nulet

α

d

= (2

1/d

_{, . . . , 2}

1/d

₎

_{∈ G}

n

m

( ¯

Q)

.Alors, si

n

≥ 2

,ona

ω

Q

(α

d

) = 1

et

h(α

d

) =

log 2

d

.

de sorte qu'il est impossible de minorer la hauteur de

α

d

en fon tion uni-quement de sonindi e d'obstru tion sur

Q

.Ainsi, il est impossible d'obtenir une telle minoration pour tous les points de

G

n

m

qui ne sont pas de torsion. Néanmoins, l'hypothèse

α

est à oordonnées multipli ativement indépen-danteestéquivalenteà

α

n'appartientàau untranslatédesous-torepropre par un point de torsion; dans le as où il existe un translaté de sous-tore

proprepar unpoint detorsionqui ontient

α

,leproblèmepeutalorsse rame-ner, par paramétrage du sous-tore, au problèmede Lehmer dans

G

r

m

où

r

est ladimension du sous-tore.

(2)

Leplongement

G

n

m

֒→ P

n

ayantétéxé,onentendpardegréd'unesous-variétéde

G

n

m

le degrédesonadhéren edeZariskidans

P

n

.

(22)

F.AmorosoetS.Davidmontrentdans[AmDa99℄que ette onje tureest

vraieàun

ε

près.

Théorème 1.18 (Amoroso-David). Pourtoutentiernaturelnonnul

n

, il existe unnombre réel stri tement positif

c(n)

tel que, pour tout

α

∈ G

n

m

( ¯

Q)

à oordonnées multipli ativement indépendantes,on a

h(α)

_≥

c(n)

ω

Q

(α)

log(3ω

Q

(α))

−κ(n)

,

ave

κ(n) = 2n(n + 1)!

n

_{− 1}

.

Paranalogieave ladimension1,onpeutégalementénon erleproblèmede

Lehmer relatifen dimension supérieurepour les points:

Conje ture 1.19. Pour toutentiernaturelnonnul

n

c(n)

tel que, pour tout

α

∈ G

n

m

( ¯

Q)

à oordonnées mul-tipli ativement indépendantes, on a

h(α)

_≥

c(n)

ω

_Q

ab

(α)

.

F. Amoroso et S. David obtiennent dans [AmDa04℄ un résultat

semi-relatif.

Théorème 1.20 (Amoroso-David). Soit

n

un entier naturel non nul. Posons

κ(n) = 2n(n + 1)!

n

_{− 1}

et

µ(n) = 2n(n + 1)!

n

_{+ (n + 1)!}

n−1

− 2.

Il existe un nombre réel stri tement positif

c(n)

tel que la propriété suivante soit vraie.

Soient

α

∈ G

n

m

( ¯

Q)

et

K

une extension y lotomique de

Q

. Si

h(α) < c(n)

−1

ω

K

(α)

−1

(log(3[K : Q]ω

K

(α)))

−κ(n)

,

alors ilexiste une sous-variétédetorsion

B

dénie sur

K

et ontenant

α

telle que

(deg B)

1/codim(B)

_{≤ c(n)ω}

K

(α) (log(3[K : Q]ω

K

(α)))

µ(n)

.

Remarquons que e théorèmeest un peu plus pré is quele pré édent dans

lamesureoùilfournitunebornesurledegrédelavariétédetorsion ontenant

α

dans le as où lahauteur de

α

est petite. Cependant, unetelle minoration n'est pas satisfaisante si le degré

[K : Q]

est pathologiquement grand par rapport à

ω

K

(α)

(plus pré isément si

[K : Q]

≫ exp(ω

K

(α))

). Il est don

(23)

un telthéorème, noussommes ontraint defaire une hypothèse te hnique sur

α

:

Hypothèse (

H

α,L

):Soient

α

∈ G

n

m

et

L

une extensionabélienne de

Q

.Alors pour tout sous-tore

H

de

G

n

m

, pour tout entier naturel

l

, pour tout nombre premier

p

ramié dans

L

et pour tout onjugué

(3)

_α

_˜

de

α

, on a

(1.1)

( ˜

αα

−1

₎

l

_{6∈ H =⇒ ( ˜}

_αα

−1

₎

lp

_{6∈ H.}

En d'autres termes, ette hypothèse arme que si

α

l

et

α

˜

l

sont

indépen-dants modulo

H

alors il en est de même pour leurs puissan es

p

-ièmes. En réalité, nous utilisons une version plus faible de ette hypothèse. En

parti u-lier,l'assertion (1.1) n'estsupposéequepourdessous-tores

H

,desentiers

l

et despremiers

p

dont nous ontrlons degrés etvaleurs(enfon tion de

ω

L

(α)

). Deplus, e inevautquepour ertains onjugués

α

˜

de

α

.Nouspouvons main-tenant énon er notrerésultat.

Théorème 1.21. Soit

n

un entier naturel nonnul. Posons

κ(n) = 2(n + 1)

2 (n + 1)!

n

et

µ(n) = 2κ(n).

Il existe un nombre réel stri tement positif

c(n)

ne dépendant que de

n

et ee tivement al ulable telque la propriété suivante soit vraie.

Soit

α

∈ G

n

m

etsoit

L

une extension abéliennede

Q

.Supposons que l'hypo-thèse (

H

α,L

)soit satisfaite. Si

h(α)

_{≤ c(n)}

−1

ω

L

(α)

−1

(log(3ω

L

(α))

−κ(n)

,

alors il existe une sous-variétéde torsion

B

dénie sur

L

et ontenant

α

telle que

(deg B)

1/codim(B)

≤ c(n)ω

L

(α)(log(3ω

L

(α))

µ(n)

.

Ladémonstrationde ethéorèmeseraee tuéeau hapitre4.Bienentendu,

il serait souhaitable par la suite d'obtenir un énon é du même type en se

passant del'hypothèse (

H

α,L

).

(3)

Onditque

α

˜

= ( ˜

α

1 , . . . , ˜

α

n

)

estun onjuguéde

α

= (α

1 , . . . , α

n

)

s'ilexiste

τ ∈ Gal( ¯

Q/Q)

telquepourtout

i ∈ [[1, n]]

de

α

,ona

τ α

i

= α

i

.

(24)

1.2.3. Le problème de Lehmer pour les variétés

Il est également possible de dénir lahauteur d'unesous-variété d'untore.

Dans[Phi91℄,P.Philippondénit,vialesformesdeChow,lanotiondehauteur

normalisée pourlessous-variétésd'untore.L'idéeestdexer,dansunpremier

temps,unehauteurlo ale(via unenorme) puisglobalepourlespolynmes,et

dedénir lahauteur

h

d'unevariétéproje tive ommelahauteur d'unede ses formes de Chow. On obtient alors, via le plongement de

G

n

m

dans un espa e proje tif, lahauteurnormalisée

ˆ

h

par unpro édélimiteà laNéron-Tate:

ˆ

h(V ) = lim

m→∞

h([m]V ) deg(V )

m deg([m]V )

.

Dansle asoù

V

estunpointde

G

n

m

,on peutmontrerquesahauteur norma-lisée oïn ide ave la hauteurde Weil déniepré édemment.

L. Szpiro a également introduit le minimum essentiel de

V

, noté

µ

ˆ

ess

_{(V )}

,

omme la borne inférieure des nombres réels

θ > 0

tels que l'ensemble des points

P

∈ V ( ¯

Q)

de hauteurnormalisée majoréepar

θ

soit Zariski-densedans

V

. Si

V

est

Q

¯

-irrédu tible, on dispose alors de la relation suivante, montrée dans[Zha95a ℄et[Zha95b ℄ :

ˆ

h(V )

(dim(V ) + 1) deg(V )

≤ ˆµ

ess

_{(V )}

≤

_{deg(V )}

ˆ

h(V )

.

Le minimum essentiel et la hauteur normalisée ont la propriété remarquable

suivante, montré en ore par S. Zhang (voir [Zha92 ℄) :

µ

ˆ

ess

_{(V ) = 0}

(et don

ˆ

h(V ) = 0

) si etseulement si

V

estune variétéde torsion.

Ilestdon naturelde her heràminorerleminimumessentiel(oulahauteur

normalisée) d'unevariétéqui n'est pasdetorsion.

Une telle minoration va dépendre des ara téristiques géométriques de la

variété, par exemple sondegré. Cependant,si l'on n'imposeau une ondition

géométrique sur la variété, il faudra également tenir ompte de son orps de

dénition.Eneet,soit

H

unsous-groupede

G

n

m

etsoit

α

d

unesuitedepoints nondetorsiondontlahauteurtendvers

0

(parexemple

α

d

= (2

1/d

_{, . . . , 2}

1/d

₎

).

Alors les variétés

V

d

= α

d

H

ont toutes même degré

deg(H)

mais la suite de leurs minima essentiels

µ

ˆ

ess

_(V

d

)

≤ h(α

d

)

onverge vers

0

.

Comme pour lespoints, lebon invariant à onsidérer estl'indi e

d'obstru -tion :

V

un sous-ensemble algébrique de

G

n

m

et

K

un sous- orps de

¯

(25)

sur

K

) eton note

ω

K

(V )

lepluspetitdegréd'unehypersurfa ede

G

n

m

dénie sur

K

ontenant

V

.

Si

V

est une variété

(4)

, nous avons, omme pour les points une relation

entre

ω

K

(V )

etson degré(voir le orollaire 2 etl'exemple 1 du hapitre 1de [Cha88℄):

ω

K

(V )

≤ n(deg V )

1/n

.

Nous pouvons alors énon er la généralisation du problème de Lehmer en

dimension supérieure.

n

c(n)

tel que, pour toute sous-variété

V

de

G

n

m

qui n'est ontenue dans au une sous-variété detorsion, on a

ˆ

µ

ess

(V )

_≥

c(n)

ω

Q

(V )

.

Dans [AmDa01℄, F. Amoroso et S. David montrent que le théorème 1.18

(pour lespoints) impliqueque ette onje tureest vraieà un

ε

près: Théorème 1.24 (Amoroso-David). Pourtoutentiernaturelnonnul

n

c(n)

telque, pourtoute sous-variété

V

de

G

n

m

qui n'est ontenue dans au une sous-variété de torsion,on a

ˆ

µ

ess

(V )

_≥

c(n)

ω

Q

(V )

(log(3ω

Q

(V )))

−κ(n)

,

ave

κ(n) = 2n(n + 1)!

n

_{− 1}

.

Bien entendu il est possible de faire une onje ture pour le problème de

Lehmer relatifpour les sous-variétésdestores :

n

c(n)

tel que, pour toute sous-variété

V

de

G

n

m

qui n'est ontenue dans au une sous-variété detorsion, on a

ˆ

µ

ess

(V )

≥

c(n)

ω

_Q

ab

(V )

.

(4)

(26)

irrédu -À la manière de [AmDa01℄, un résultat du même type que le théorème

1.21 sans l'hypothèse (

H

α,L

) permettrait de démontrer que ette onje ture estvraieà un

ε

près.Néanmoins,si

V

estunehypersurfa e, nouspouvons montrer dire tement e résultat.

Théorème 1.26. Pourtoutentiernaturelnonnul

n

,il existedes nombres réels stri tement positifs

c(n)

et

κ(n)

tels que, pour toute hypersurfa e

V

de

G

n

_m

qui n'est ontenue dans au unesous-variété de torsion,on a

ˆ

µ

ess

(V )

_≥

c(n)

ω

_Q

ab

(V )

(log(3ω

_Q

ab

(V )))

−κ(n)

.

Nous donnons une démonstration dire te de e résultat et nous montrons

qu'il peut également se déduire d'une minoration de type géométrique

(pro-blème de Bogomolov) etdu théorème1.10.

Enn, signalons qu'il existe des onje tures etdes résultatsanaloguesdans

le adre des variétés abéliennes. Le le teur pourra se référer à [Rat04℄ pour

un panoramasur leproblèmede Lehmer abélien.

1.3. Contenu de la thèse

1.3.1. Plan de la thèse

La thèsesedivise endeux parties. Lapremière partie est onsa réeau

pro-blème de Lehmer relatif en dimension 1. Elle ne ontient qu'un seul hapitre

onsa ré à la démonstration des théorèmes 1.12 et 1.13; il s'agit de la

repro-du tion, à quelques modi ations près, de l'arti le [AmDe07℄. La deuxième

partie,qui on erneleproblèmedeLehmerrelatifendimensionsupérieure,est

onstituée de deux hapitres. Le premier est onsa ré aux hypersurfa es et à

la démonstration du théorème 1.26; il s'agit, là aussi, àpeu de hose près de

[Del05℄. Enn, dansledernier hapitre, nousdémontrons lethéorème 1.21.

Les hapitres 2, 3 et 4 sont ainsi logiquement indépendants les uns des

autres. Deplus haque hapitre possède ses propres introdu tion etrappel de

notations, e qui lerendlisiblehorsde son ontexte.

1.3.2. Te hniques utilisées et s hémas des preuves

Lesdémonstrations dansle adreduproblèmede Lehmer relatifs'inspirent

(27)

d'un lemme de Siegel, une fon tion auxiliaire, 'est-à-dire un polynme dont

nous ontrlons degré ethauteur et qui s'annule ave forte multipli itéen

α

. Puis à l'aide de propriétés métriques, on montre que si la hauteur de

α

est petite, ettefon tionauxiliaire s'annuleendenombreusespuissan esde

α

. Un hoix judi ieux deparamètres permetalors d'aboutir à une ontradi tion.

Dansle adreduproblèmedeLehmer lassique,lapropriétémétriqueutilisée

estlepetitthéorèmedeFermat, 'est-à-direlefaitqu'unentieretsapuissan e

p

-ième, pour un nombre premier

p

, sont

p

-adiquement pro hes. Dansle adre du problème de Lehmer relatif, nous ne travaillons plus sur

Q

mais sur une extension abélienne

L

.An de ne pasfaire intervenir le degréde

L

, ilest né- essaire d'utiliser des propriétés métriques non plus sur

Z

mais sur l'anneau desentiersde

L

.Si

p

estunnombrepremier et

φ

p

lemorphismedeFrobenius asso iéà

p

,onutiliselefaitquepourtoutepla e

v

divisant

p

,l'entier

φ

p

(a)

est

v

-adiquementpro he de

a

p

pourtout

a

∈ O

L

.Cependant,pluslarami ation de

p

estgrande, plus ette propriétémétriqueest faible.Dans[AmZa00 ℄, les auteursproposent alors uneappro he diérente:ils onstruisent une

fon -tionauxiliaires'annulantave fortemultipli itésurl'ensembledes onjuguésde

α

p

au-dessusde

L

,puisilsmontrentquesilahauteurde

α

estpetite, ette fon tion s'annulesur les onjugués de

α

p

au-dessus d'un ertain sous- orps

E

de

L

.Ce orps

E

estenfaitle orpsxéparunsous-groupederami ationde

p

dans

L

dont le ardinal estd'autant plus grand que l'indi e de rami ation de

p

dans

L

estgrand; lespropriétés métriques utilisées sont donnéespar des ongruen es du groupe de rami ation. Ainsi, si le degré de

[L : E]

est assez grand(don sil'indi ederami ationde

p

dans

L

estassezgrand), onmontre quelafon tion auxiliairepossèdetropdezéros etonaboutitàune

ontra-di tion. Ave un bon hoix de paramètres, on ee tue alors une di hotomie.

Si l'ensemble des premiers onsidérés sont majoritairement peu ramiés,

ladémonstration est semblable à elledu théorèmed'E. Dobrowolski (ave le

morphismede Frobenius);sinon, on on lut ave l'argument alternatif.

Dans le hapitre 2, nous ranons e raisonnement en séparant la preuve

en trois as. Nous traitons le as de grande rami ation à part, en

mon-trant qu'il ne peut y avoir de premier très ramié si la hauteur de

α

est petite . Puis nous séparons le as petite rami ation en deux parties,

suivantqu'unemajoritédepremiersestramiéeoupas.Parailleurs,bienqu'il

(28)

élémentaire, à l'aidede déterminants de type Vandermonde. Leprin ipe reste

toutefois lemême,à savoir utiliserdespropriétés métriques adéquates.

Dans le hapitre 3, nous adaptons la preuve de [AmZa00℄ au as des

hy-persurfa es.Misesàpartlesdi ultésinhérentesàladimensionsupérieure,le

s héma delapreuve estidentique.

Enn, dans le dernier hapitre, nous adaptons e raisonnement au as des

points en dimension supérieure. Nous ee tuons une di hotomie et traitons

le asde petite rami ation en nousinspirant de l'arti le [AmDa99℄ qui

généraliselethéorèmed'E.Dobrowolskiàladimensionsupérieure.Pourle as

de grande rami ation, nousutilisons un argument de déterminant qui a

l'avantage de se passerd'unlemme de Siegel. Nous ombinons alors es deux

résultats pour montrer que si la hauteur de

α

est petite, il existe soit un multiple

α

l

de

α

pour lequel l'indi e d'obstru tion

ω

L

(α

l

₎

sur

L

est patholo-giquement petit, soit un multiple

α

l

′

de

α

pour lequel l'indi e d'obstru tion

ω

E

(α

l

′

)

sur un sous- orps stri t

E

de

L

est du même ordre de grandeur que

ω

L

(α)

.Commedans[AmDa99℄et[AmDa04℄, ettepropositionnesutpas pour on lure :ilfaut utiliserun argument dedes ente.

(29)

(30)

LE PROBLÈME DE LEHMER

(31)

(32)

UNE MINORATION RELATIVE EXPLICITE

Ce hapitre est la reprodu tion dèle de l'arti le [AmDe07℄,à l'ex eption

dequelquesmodi ationsmineures(dontlesprin ipalessontsignaléespardes

notes debasde page).

2.1. Introdu tion

Soit

α

unnombrealgébriquenonnuldedegré

D

quin'est pasunera ine de l'unité. Le problème de Lehmer onsiste à montrer qu'il existe une onstante

absolue

c > 0

,telleque

h(α)

_≥

c

D

,

où

h(α)

désigne la hauteur de Weil logarithmique. Ce problème est en ore ouvert et le meilleur résultat dans ette dire tion est un théorème de E.

Do-browolski (voir [Dob79℄) qui montre l'existen e d'une onstante stri tement

positive

C

telleque

h(α)

_≥

C

D

log log 3D

log 3D

3 .

Cependant, si l'on se pla e dans des as parti uliers, on peut obtenir de

meilleures minorations. En eet, le premier auteur et R. Dvorni i h ont

montré(voir[AmDv00℄)quesi

α

appartientà uneextension abéliennede

Q

, on a

h(α)

≥

log 5

12 .

Parlasuite,lepremierauteuretU.Zannierontproposéuneversionrelativedu

problèmedeLehmer,généralisantlerésultatpré édent,enremplaçant ledegré

de

α

sur

Q

dansla onje tureparledegrénonabéliende

α

surun orpsde nombres

K

, 'est-à-direledegréde

α

suruneextensionabéliennede

K

.Ilsont

(33)

ainsi montré dans[AmZa00 ℄ un analogue du théorème de Dobrowolski dans

le as relatif:

K

un orps denombres.Il existe une onstante

c(K)

stri tement positive ne dépendant que de

K

telle que la proposition suivante soit vraie. Pour toutnombre algébrique nonnul

α

qui n'est pas une ra ine de l'unité etpourtoute extensionabélienne

L

de

K

, on a

(2.1)

h(α)

≥

c(K)

D

log log 5D

log 2D

13 ,

où

D = [L(α) : L]

.

Le but de e qui suit est double. D'une part, il s'agit d'améliorer

l'expo-sant du terme en

log

grâ e à une nouvelle preuve. D'autre part, il s'agit d'expli iter ladépendan e en

K

de la onstante

c(K)

.Cette onstantedépend d'unepart dudegré

d = [K : Q]

( ar nousutiliserons dansl'extrapolationune ongruen e modulo un idéal premier

P

de l'anneau des entiers

O

K

de

K

) et d'autre partd'uneestimation dutermerestedanslethéorème desidéaux

pre-miers dans

K

, qui dépend du dis riminant

(1)

_∆

K

du orps

K

.Si l'on suppose l'hypothèsedeRiemanngénéralisée(GRH),unrésultatdeOdlyzkoetLagarias

(voir [LO77, Theorem 1.1℄) fournit une très bonne estimation de e reste et

permetdemontrer le résultatsuivant:

Théorème 2.2. On suppose GRH. Soit

α

un nombre algébrique non nul qui n'est pas une ra ine de l'unité. Alors pour toute extension abélienne

L

de

K

, on a

h(α)

_≥

c

D

min

log log(5D)

4 d

5 _log(2dD)

2 _log(2D)

2 ,

log log(5D)

2 λd

2 _log(2D)

,

où

c

est une onstante (absolue) stri tement positive,

D = [L(α) : L]

et

(2)

λ = (log(3

_|∆

K

|))

2 max((log log(16

|∆

K

|))

2 , (log(3d))

4 )

. En parti ulier, on a

h(α)

_≥

c

D

log log(5D)

4 d

3 _δ

2 _log(2δD)

2 _log(2D)

2 ,

où

δ = log(3

|∆

K

|)

.

(1)

Étant donnéque lesymbole

∆

vareprésenterun déterminantdanslasuite, nousavons ajouté

K

enindi elorsqu'il s'agitdudis riminantdu orps

K

,andenepasprovoquerde onfusion.

(2)

(34)

Sans GRH, les estimations du reste dans le théorème des idéaux premiers

sont nettement moins bonnes (voir les théorèmes 1.3 et 1.4 de [LO77℄) et ne

permettent pas de trouver une dépendan e polynomiale en

∆

K

. Nous utili-serons alors une estimation due à Friedlander (voir [Fri80℄), qui donne une

version moins pré ise du théorème des idéaux premiers, ave en ontrepartie

une meilleuredépendan e en

∆

K

.

α

un nombre algébrique non nul qui n'est pas une ra ine de l'unité.Alors pour toute extension abélienne

L

de

K

, on a

(3)

h(α)

_≥

(2g(d)∆

K

)

−c

D

log log(5D)

3 log(2D)

4 ,

où

c

est une onstante(absolue)stri tement positive,

D = [L(α) : L]

et

g(d) =

1

s'il existe une tour d'extensions

Q = K

0 ⊂ K

1 ⊂ · · · ⊂ K

m

= K,

ave

K

i

/K

i−1

galoisiennepour

i = 1, . . . , m

, et

g(d) = d!

sinon.

On peut se demander s'il est possible d'éviter la dépendan e en le

dis ri-minant dans le résultat qui pré ède. On pourrait également onje turer la

généralisation suivanteduproblème deLehmer :

h(α)

_≥

c

Dd

.

Or ette inégalité estfausse ommel'exemplesuivantlemontre. Soit

x > 1

et soit

n = n(x)

leproduit de tous lespremiers

p

≤ x

.Soit

K

le orps engendré par les ra ines

n

-ièmes de l'unité;alors

d = [K : Q] = φ(n)

et

n

≫ d log log d

. Enn, soient

α = 2

1/n

et

L = K(α)

, extension abéliennede

K

;en parti ulier

D = 1

.Ona alors

h(α) =

log 2

n

≪

1 Dd(log log d)

.

La démonstrationduthéorème2.1reposesurune di hotomie. Unensemble

Λ

de premiers de

O

K

étant xé, on distingue deux as, selon qu'une majorité d'éléments de

Λ

est peu ou très ramiée dans l'extension abélienne

L

de

K

(tout e i étant lairement quantié à l'aide de paramètres). I i, nous traitons le asde granderami ation àpart, en montrant qu'il ne peuty

avoir de premier très ramié si la hauteur de

α

est petite. De plus nous séparons de nouveau le as petite rami ation en deux parties, suivant

qu'une majorité depremiers estramiéeou pas.Enn, lapreuve duthéorème

(3)

(35)

2.1suitles hémad'unepreuvedetrans endan eave onstru tiondefon tions

auxiliairesné essitantunlemmedeSiegelabsoluobtenugrâ eàunrésultatde

Zhang.I i,bienqu'ileûtétépossibled'utiliserlesmêmesoutils, nousdonnons

une preuve plus élémentaire, àl'aidede déterminantsde type Vandermonde.

Dans un premier temps nous donnons les notations et rédu tions que

nous utiliserons par la suite. La plupart d'entre elles sont issues de l'arti le

[AmZa00 ℄. Puis nous montrons les résultats préliminaires qui nousserviront

à minorerlahauteur de

α

dansladernièrepartie.

2.2. Notations

Dans toute la suite nous xons

Q

¯

une lture algébrique de

Q

, que nous plongeons dans

C

. Nous noterons

c

0 , c

1 , c

2 . . .

des onstantes stri tement po-sitives et absolues. Nous xons également un orps de nombres

K

et posons

d

(resp.

∆

K

) le degré (resp. le dis riminant) de

K

sur

Q

; rappelons qu'on a l'inégalité

log

|∆

K

| ≥ c

0 d

.Saufmention expli itedu ontraire,lorsque l'on no-tera

P

un idéal premier de

O

K

,on désignera par

p

le premier rationnel sous

P

, 'est-à-dire tel que

(p) = P

∩ Q

.Soit

P

l'ensembledes idéaux premiers

P

de

O

K

tels que l'indi e de rami ation etle degré d'inertie de

P

sur

p

soient égaux à1 (

e(P

|p) = f(P |p) = 1

).

Soient

α

un nombre algébrique non nul qui n'est pas ra ine de l'unité,

L

une extension abélienne de

K

et

D = [L(α) : L]

. Nous nous proposons de montrer l'inégalité

h(α)

≥ f(d, ∆

K

, D)

,où

D

7→ f(d, ∆

K

, D)

est dé roissante. Par invarian e de la hauteur de Weil par multipli ation par des ra ines de

l'unité, nous pouvons faire exa tement les mêmes hypothèses de minimalité

etrédu tions que dans[AmZa00 ℄ (voir (2.3),(2.4),...,(2.8) de op. it.). Ainsi,