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Chapitre 14 : Etudier le mouvement des satellites
1. Le champ de pesanteur
Le champ de pesanteur g exercée par une masse M à symétrie sphérique à une distance r de son centre de masse est donné par l’expression :
r u
g=GM2 avec u un vecteur unitaire centripète.
Remarques :
• Le champ de pesanteur exercé par un corps ponctuel ou à symétrie sphérique est centripète. Son intensité
diminue de
manière continue avec la distance du centre du corps.
• A l’échelle de la Terre, ce champ vectoriel n’est pas constant, ni en direction, ni en intensité.
2. Mouvement de satellites ou planètes
2.1 Accélération et Base de Frenet
En cinématique du point, la base de Frenet est un outil d’étude permettant d’exprimer plus facilement les vecteurs vitesse et accélération d’un mobile M en mouvement.
• Les vecteurs T (tangentiel) et N (normal) sont unitaires (norme = 1) et orthogonaux entre eux.
• Le vecteur vitesse d’un mobile est toujours tangent à la trajectoire : v=vT
• Le vecteur accélération s’écrit dans la base de Frenet : a=aNN+aTT
avec : aN l’accélération normale telle que :
R aN v
= 2
aT l’accélération tangentielle telle que :
dt v aT = d
M g
M
Trajectoire
RT
Rayon terrestre RT= 6380 km Exercice 1 : Données : G= 6,6710 –11S.I. - MT= 5,9710 24kg
Théodore von Karman, physicien d’origine hongroise, calcula l'altitude à partir de laquelle l'atmosphère terrestre devient trop ténue pour des applications aéronautiques. Cette limite, appelée ligne de Karman et située à 100 kmd’altitude, définit grossièrement la limite entre l’atmosphère terrestre et l’espace pour la Fédération Aéronautique Internationale.
a) D’après la définition de la ligne de Karman, où se trouve la Station Spatiale Internationale située à 410 km au dessus du niveau de la mer ?
b) Déterminer à l’aide de l’expression donnée ci-dessus la valeur du champ de pesanteur terrestre au niveau de la mer, celle à l’altitude de la station spatiale ISS et celle à la limite supérieure de l’exosphère.
c) Expliquer la raison pour laquelle cette station reste à une altitude constante alors qu’elle n’est propulsée par aucun moteur.
Exercice 2 : Définir les conditions nécessaire sur aN et aT pour : a) un mouvement rectiligne et uniforme
b) un mouvement circulaire et uniforme
c) un mouvement rectiligne accéléré
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2.2. Description par la 2
èmeloi de Newton
• Le mouvement d’un objet en orbite autour d’un astre est toujours une ellipse. Dans tous les cas que nous
aborderont cette année, l’ellipse sera un cercle ou s’en approchera fortement, comme par exemple pour l’orbite de la Terre dans le référentielle héliocentrique.
• Considérons le mouvement circulaire de la Terre autour du Soleil :
Définition :
L’accélération dans la base de Frenet s’écrit :
a a N a T dt
v d
T
N
+
=
=
Avec
R a
Nv
2
= et
dt v aT = d
• Système étudié : Terre de masse MT
• Référentiel d’étude : héliocentrique supposé galiléen
• Inventaire des forces extérieures :Une seule force, la force d’interaction gravitationnelle
F
exercée par le Soleil sur la Terre.Comme la masse de la Terre est constante, d’après la deuxième loi de Newton :
a
M F
F
T
=
=
Or la force de gravité exercée par le Soleil de masse MS sur la Terre a pour expression :
N
R M G M
F
= T 2 S D’où :
F m a
=
N M ( a N a T )
R M
G
M
T 2 S = T N + T
N M a N M a T R
M
G
M
T 2 S = T N + T T G = constante de gravitation universelle
F
en NM
enkg R
enm
G
= 6,6710 –11 S.I.Terre
Soleil
→ F
→ N → T
R
Orbite de la Terre autour du SOLEIL
Le mouvement étant circulaire, on définit un repère mobile constitué d’une origine et des 2 vecteurs unitaires :
→ L’origine est le CENTRE de la planète ou satellite
→ Le vecteur unitaire T⃗⃗ est tangent à chaque instant à la trajectoire et est orienté dans le SENS du mouvement.
→ Le vecteur unitaire N⃗⃗ est perpendiculaire à chaque instant à la trajectoire et est orienté vers le CENTRE de courbure.
On écrit alors ( Terre, T⃗⃗ , N⃗⃗ )
Dans ce repère, l’accélération s’écrit :
a
=a
N N
+a
T T
avec aN l’accélération normale et aT l’accélération tangentielle.
• Si aN est nulle, le mouvement est rectiligne.
• Si aT est nulle, le mouvement est uniforme.
3/ 8 Donc, par identification :
=
= 0
2
T T
S T N
T
a M
R M G M
a
M
=
= 0
2
T
S N
a
R G M a
Or si
a
T =0 alors =0 dtv
d car par définition
dt v aT = d
Et si =0 dt
v
d cela implique que
v = v = cste .
Ainsi, si la trajectoire d’un objet en orbite gravitationnelle est circulaire alors son mouvement est uniforme.
Par exemple :
- La Terre ayant une orbite quasi-circulaire, sa vitesse reste toujours voisine de 30 km/s
- La comète de Halley ayant une orbite très elliptique, sa vitesse varie énormément (de 1 à 55 km/s)
2.3. Vitesse
D’après la partie précédente on a trouvé que : 2
R G M a
N = S Or, par définition :R a
Nv
= 2
D’où : 2
2
R G M R
v
= S R G M v
= S2.4. Période de révolution
La période de révolution T est le temps nécessaire à l’objet (ici la Terre) pour faire un tour sur son orbite.
La longueur L d’une orbite est égale au périmètre du cercle, soit :
L
=2 R
D’où :T R T
L t
v d 2
=
=
=
En utilisant l’expression du III.2 :
T
R R
G
M
S = 2
GM
ST R
3
2
=
Remarques :
• Certains satellites doivent rester FIXES par rapport à la surface terrestre ( relais TV, téléphone..).
Ils sont appelés GEOSTATIONNAIRES. Calculez à quelle altitude h ils évoluent.
• L'orbite géostationnaire (GEO pour GEostationary Orbit) est une orbite circulaire dans le plan équatorial de la Terre de période orbitale égale à la période de rotation de la Terre, soit 23 h 56 min et 4 s.
Un objet placé sur cette orbite géostationnaire reste en permanence au-dessus du même point de l'équateur.
v
en m/sM
Senkg R
enm
G
= 6,6710 –11 S.I.Orbite géostationnaire
23h 56 23h 56
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Jour solaire : durée de 24 h 00 min s’écoulant entre deux passages consécutifs du Soleil à la verticale d’un même méridien terrestre.
Jour sidéral : durée de 23 h 56 min nécessaire à la Terre pour faire exactement un tour sur elle-même (référentiel géocentrique).
Exercice 4: QCM Exercice 3 :
a) Déterminer l’expression littérale de l’altitude h de l’orbite géostationnaire en fonction de la période de révolution TSAT
des satellites qui s’y trouvent, du rayon RT de la Terre et de sa masse MT.
b) Calculer cette altitude en km et la comparer à la distance Terre-Lune.
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2.5. Les lois de Képler
Au début du XVII ème siècle , Johannes Kepler (1571-1630), formula 3 lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du soleil
Première loi : loi des orbites (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire des planètes est une ellipse dont l’un des foyers est le centre du Soleil.
MF + MF’ = 2a
Le péricentre est le point de l’orbite le plus proche de l’astre central.
Si l’astre central est le Soleil on parle de périhélie Pour la Terre, c’est le périgée.
• L’apocentre est le point de l’orbite le plus éloigné de l’astre central.
Si l’astre central est le Soleil on parle d’aphélie Pour la Terre, c’est l’apogée.
a est le demi-grand axe et b est le demi-petit axe.
F’
Soleil Planète
a
b
aphélie F périhélie
6/ 8 Deuxième loi : loi des aires (1609)
Le segment [SP] qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant des durées égales.
Cette loi implique que plus la planète s’approche du Soleil plus sa vitesse augmente. De même, plus elle s’en éloigne, plus sa vitesse diminue.
Troisième loi : loi des périodes (1618)
Le carré de la période de révolution d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de son orbite.
3
2 k a
T =
k
a T
32 =D’après la partie 2.4 on a :
GM
ST R
3
2
=
GMS
T R
3 2 2 =4
GMS
R
T 2
3 2 = 4
Ainsi, quelque soit la planète P de période de révolution T en orbite autour du Soleil à une distance R, le rapport du carré de sa période sur le cube du rayon de son orbite ne dépend que de la masse du Soleil ( plus généralement de l’astre attracteur).
Ainsi :
Halley S Halley Mars
Mars Terre
Terre
a GM T R
T R
T 2
3 2 3
2 3
2 4
...=
=
=
= Remarque :
Les lois de Kepler, bien qu’écrites pour les planètes de notre système solaire, s’applique pour tout corps en orbite elliptique autour d’un astre.
Ainsi :
Terre Satellite
Satellite Lune
Lune
R GM T R
T
23 2 3
2 4
=
=
t
t
A1
A2
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Représentation de 18 000 satellites en orbite autour de la Terre.
On voit nettement apparaître l’orbite géostationnaire.
Exercice 5:
Exercice 6 :TS Star :
8/ 8 Exercice 7:
