TD 13
Calcul intégral
T.S
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My Maths Space - 2018
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EXERCICE 1 : Liban 2018 exo 4
On considère, pour tout entiern >0, les fonctionsfn définies sur l’intervalle [1 ; 5] par :
fn(x) =lnx xn
Pour tout entiern >0, on noteCn la courbe représentative de la fonctionfn dans un repère orthogonal.
Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbesCn pournappartenant à{1 ; 2 ; 3 ; 4}.
0 0,5
0 1 2 3 4 5
1. Montrer que, pour tout entiern >0 et tout réelxde l’intervalle [1 ; 5] :
fn′(x) = 1−nln(x) xn+1
2. Pour tout entiern >0, on admet que la fonction fn admet un maximum sur l’intervalle [1 ; 5].
On noteAn le point de la courbeCn ayant pour ordonnée ce maximum.
Montrer que tous les pointsAn appartiennent à une même courbe Γ d’équation
y= 1 eln(x)
3.(a) Montrer que, pour tout entiern >1 et tout réelxde l’intervalle [1 ; 5] :
06ln(x)
xn 6 ln(5) xn (b) Montrer que pour tout entiern >1 :
Z 5
1
1
xn dx= 1 n−1
1− 1
5n−1
(c) Pour tout entiern >0, on s’intéresse à l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface sous la courbefn, c’est-à-dire l’aire du domaine du plan délimité par les droites d’équationsx= 1, x= 5,y= 0 et la courbeCn.
Déterminer la valeur limite de cette aire quandntend vers +∞.
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EXERCICE 2 : Centres étrangers 2018 exo 2
Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l’expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (CO2) à débit constant.
Dans ce qui suit,test le temps exprimé en minute.
À l’instant t = 0, la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant 20 minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de CO2contenu dans le local au bout de tminutes de fonctionnement de la hotte par l’expressionf(t), oùf est la fonction définie pour tout réeltde l’intervalle [0 ; 20] par :
f(t) = (0,8t+ 0,2)e−0,5t+ 0,03.
1
On donne ci-contre le tableau de variation de la fonctionf sur l’inter- valle [0 ; 20].
Ainsi, la valeurf(0) = 0,23 traduit le fait que le taux de CO2à l’instant 0 est égal à 23 %.
t 0 1,75 20
f′(t) + 0 −
f
0,23
1. Dans cette question, on arrondira les deux résultats au millième.
(a) Calculerf(20).
(b) Déterminer le taux maximal de CO2 présent dans le local pendant l’expérience.
2. On souhaite que le taux de CO2 dans le local retrouve une valeurV inférieure ou égale à 3,5 %.
(a) Justifier qu’il existe un unique instantT satisfaisant cette condition.
(b) On considère l’algorithme suivant : t←1,75 p←0,1 V ←0,7
Tant queV >0,035 t←t+p
V ←(0,8t+ 0,2)e−0,5t+ 0,03 Fin Tant que
Quelle est la valeur de la variablet à la fin de l’algorithme ? Que représente cette valeur dans le contexte de l’exercice ?
3. On désigne parVmle taux moyen ( en pourcentage) de CO2 présent dans le local pendant les 11 premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.
(a) SoitF la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 11] par :
F(t) = (−1,6t−3,6)e−0,5t+ 0,03t.
Montrer que la fonctionF est une primitive de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 11].
(b) En déduire le taux moyenVm, valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [0 ; 11]. Arrondir le résultat au millième, soit à 0,1 %.
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EXERCICE 3 : Nvelle Calédonie 2018 exo 1
Soientf etg les fonctions définies sur ]0 ; +∞[ par
f(x) = e−x et g(x) = 1 x2e−1x
On admet quef et gsont dérivables sur ]0 ; +∞[. On notef′ et g′ leurs fonctions dérivées respectives.
Les représentations graphiques de f et g dans un repère orthogonal, nommées respectivement Cf et Cg sont données ci-dessous :
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1
0 1
Cf
Cg
2
Partie A – Conjectures graphiques
Dans chacune des questions de cette partie, aucune explication n’est demandée.
1. Conjecturer graphiquement une solution de l’équationf(x) =g(x) sur ]0 ; +∞[.
2. Conjecturer graphiquement une solution de l’équationg′(x) = 0 sur ]0 ; +∞[.
Partie B – Étude de la fonction g
1. Calculer la limite deg(x) quandxtend vers +∞.
2. On admet que la fonctiongest strictement positive sur ]0 ; +∞[.
Soithla fonction définie sur ]0 ; +∞[ parh(x) = ln g(x). (a) Démontrer que, pour tout nombre réelxstrictement positif,
h(x) = −1−2xlnx
x .
(b) Calculer la limite deh(x) quandxtend vers 0.
(c) En déduire la limite deg(x) quandxtend vers 0.
3. Démontrer que, pour tout nombre réelxstrictement positif,
g′(x) = e−1x 1−2x
x4 .
4. En déduire les variations de la fonctiong sur ]0 ; +∞[.
Partie C – Aire des deux domaines compris entre les courbes Cf etCg 1. Démontrer que la point A de coordonnées 1 ; e−1
est un point d’intersection deCf et Cg.
On admet que ce point est l’unique point d’intersection deCf etCg, et queCf est au dessus deCgsur l’intervalle ]0 ; 1[
et en dessous sur l’intervalle ]1 ; +∞[.
2. Soientaet bdeux réels strictement positifs. Démontrer que
Z b
a
f(x)−g(x)
x. = e−a+ e−a1 −e−b−e−1b. 3. Démontrer que
a→0lim Z 1
a
f(x)−g(x)
x. = 1−2e−1. 4. On admet que
alim→0
Z 1
a
f(x)−g(x)
x. = limb→+∞Z b 1
g(x)−f(x) x..
Interpréter graphiquement cette égalité.
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