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2015-2016Total des points sur 20.
EXERCICE 1 : (sur 3.5 points)
On donne sur la figure ci-dessous la courbe représentative C d’une fonction f. Sont aussi tracées les droites tangentes à la courbe aux points A, B et C.
Avec la précision permise par le graphique :
1. Donner, sans justifier, par lecture graphique f ( − 2), f ( − 1) et f (1).
2. Donner, en justifiant, par lecture graphique f
′( − 2), f
′( − 1) et f
′(1).
3. Déterminer une équation de la tangente à C au point d’abscisse 1.
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EXERCICE 2 : (sur 5.5 points)
1 1
Soit f la fonction définie sur R par : f : x 7−→ x
2+ 2x − 4 On appelle C sa courbe représentative.
1. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de C avec les axes du repère.
2. Déterminer le nombre dérivé de f en 0 en utilisant la limite du taux d’accroissement.
3. Déterminer f
′( − 1) en utilisant la méthode de votre choix.
4. On donne f
′( − 3) = − 4.
(a) Tracer dans le repère de la figure ci-contre, les tan- gentes à C qu’on peut déduire des questions précé- dentes ou des informations données dans l’énoncé.
(b) Dresser, en justifiant, le tableau de variations de f puis tracer C dans le repère ci-contre.
• • •
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2015-2016EXERCICE 3 : (sur 4 points)
On considère la fonction f définie sur R par f (x) = − 2x
3+ 10x
2− 3x − 1. On note C
fsa courbe représentative dans un repère.
1. Calculer f
′(x) pour tout x de R .
2. Démontrer qu’une équation de la tangente T à C
fen le point d’abscisse 1 est y = 11x − 7.
3. On souhaite trouver les coordonnées des points d’intersection entre T et C
f. (a) Montrer que les abscisses de ces points d’intersection vérifient l’équation :
− 2x
3+ 10x
2− 14x + 6 = 0 (b) Déterminer les réels a, b et c tels que
− 2x
3+ 10x
2− 14x + 6 = (x − 1)(ax
2+ bx + c) (c) En déduire les coordonnées des points d’intersection entre T et C
f.
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EXERCICE 4 : (sur 2 points)
VRAI ou FAUX ? Justifier les réponses. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
1. Soit f la fonction définie par : f (x) =
√ x − 1 + x
x − 3 . Son ensemble de définition est ]1; 3[ ∪ ]3; + ∞ [.
2. Pour tout réel x différent de 0 et de 2, on a : 1
x − 2x + 3
x − 2 = − 2x
2+ 4x − 2 x(x − 2)
• • •
EXERCICE 5 : (sur 5 points)
On considère la suite (u
n)
n∈Ndéfinie par
(
u
0= 5
u
n+1= 0, 125u
2n+ 1 1. Calculs de termes, représentations graphiques et conjectures.
(a) Détailler le calcul de u
1et donner des valeurs approchées des quatre termes suivants calculées à la machine.
(b) Donner la fonction de passage p définie sur [0; + ∞ [ permettant d’écrire : ∀ n ∈ N , u
n+1= p(u
n).
(c) Sur l’annexe, on a représenté la fonction p et la droite d’équation y = x sur [0; 7].
Construire sur l’axe des abscisses les termes u
0à u
5de la suite (u
n)
n∈N.
(d) À l’aide de cette représentation, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite (u
n)
n∈N.
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2015-20162. On démontre
(a) i. Déterminer le signe du trinôme X
2− 8X + 8 pour X ∈ R . ii. Prouver que ∀ n ∈ N , u
n+1− u
n= 0, 125(u
2n− 8u
n+ 8).
iii. On admet que, pour tout n ∈ N , u
n∈ [4 − 2 √
2; 5]. Justifier le sens de variation de (u
n)
n∈N. (b) BONUS On admet que si la suite (u
n)
n∈Nconverge, c’est vers l’une des solutions de l’équation l = p(l). Quelle est donc la limite de (u
n)
n∈N? Donner le plus petit rang n ∈ N pour lequel u
n< 1, 172.
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y = x C
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