le tableur openoffice calculatrice ti-collège plus

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le tableur openoffice calculatrice ti-collège plus

La version présentée ici est OpenOffice 3.3.

Dans

«

OpenOffice.org

»

, le tableur se nomme

«

^Calc

»

^ou

«

^Classeur

»

^.

Le tableau qui apparaît à l’écran est la feuille de calculs.

Ses lignes sont nommées par des nombres entiers 1, 2, 3, 4...

Ses colonnes sont nommées par des lettres A, B, C, D...

Ainsi chaque case, appelée cellule, est repérée par une lettre et un nombre.

Par exemple, la cellule sélectionnée est la cellule B4.

Pour sélectionner une cellule :

● on déplace le curseur sur cette cellule à l’aide de la souris ;

● on clique avec le bouton gauche de la souris.

Ce qui se trouve dans cette cellule est aussi écrit dans la fenêtre au-dessus de la feuille de calculs.

Par exemple, dans la cellule B4 est écrit

«

^Phare

»

^.

Le logiciel OpenOffice

est un logiciel de bureautique téléchargeable librement sur Internet.

Au lieu d’écrire successivement les nombres 0, 2, 4, 6, 8... jusqu’à 100, on veut entrer une formule qui demande au logiciel de le faire.

● Étape 1 : Préparation du tableau

On écrit le titre

«

Nombres pairs

»

dans la cellule A1.

On entre

«

⁰

»

dans la cellule A2.

● Étape 2 : Saisie d’une formule dans la cellule A3

On tape le signe

«

⁼

»

qui signifie que l’on entre une formule.

On tape

«

^A2+2

»

^.

On valide avec la touche

«

^Entrer

»

 du clavier.

Cette formule demande au logiciel de calculer en A3 :

«

le nombre situé dans la cellule au-dessus de A3

»

+ 2, c’est-à-dire

«

le nombre situé en A2

»

^{+ 2.}

Étape 3 : Généralisation de la formule à la colonne A On clique sur la cellule A3.

On déplace le curseur sur le carré noir ⁿ situé dans son coin inférieur droit.

On saisit ce carré à l’aide du clic gauche de la souris.

Sans relâcher, on tire ce carré vers le bas, jusqu’à la cellule A102.

Lorsque l’on relâche la souris, la colonne A se complète.

n exemPle : On veut écrire les nombres pairs compris entre 0 et 100 dans la colonne A.

Ce logiciel permet d’organiser des données dans des tableaux, d’effectuer des calculs, d’utiliser des formules, de construire des diagrammes et des graphiques...

Permet de saisir la virgule.

Permet d’accéder aux fonctions

notées en orange.

Permet de choisir le mode.

Permet

d’exécuter une opération (c’est comme une touche =).

Permettent d’effectuer des opérations.

Permet de déplacer le curseur.

■ Pour allumer la calculatrice : Taper sur la bouton ^off .

■ Pour éteindre la calculatrice : Taper sur la touche , puis sur la touche ^off .

■ Pour choisir le mode « degré » :

● Ouvrir la fenêtre des modes en tapant

quitter

.

● Placer le curseur sur ^DEG .

● Taper sur .

● Sortir de la fenêtre des modes en tapant

quitter

.

DEG RAD GRAD NORM SCI ING

FLOTT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 SIMPMAN SIMPAUTO

AFFNATUREL AFFLIGNE

■ Pour choisir le format d’affichage AFFNATURel ou AFFlIGNe :

● En mode AFFNATUREL, la calculatrice écrit les calculs comme en mathématiques.

● En mode AFFLIGNE, la calculatrice écrit les calculs en ligne.

Pour les deux modes, taper sur la touche

quitter

. Placer le curseur sur AFFNATUREL ou AFFLIGNE . Taper sur .

Sortir de la fenêtre des modes en tapant

quitter

.

■ Pour simplifier des fractions SImPmAN ou SImPAUTO :

● En mode SIMPMAN, la calculatrice ne simplifie pas les fractions.

● En mode SIMPAUTO, la calculatrice simplifie les fractions.

quitter

. Placer le curseur sur SIMPMAN ou SIMPAUTO . Taper sur .

quitter

.

■ Pour calculer avec le nombre p :

Pour utiliser le nombre π dans un calcul, taper sur la touche .

Pour donner une valeur approchée du résultat, utiliser la touche ou la touche selon le modèle de calculatrice.

I XVIII

calculatrice ti-collège plus

le tableur openoffice

(2)

II

LE LOGICIEL DE GÉOMÉTRIE GEOGEBRA

Le logiciel GeoGebra est un logiciel de géométrie téléchargeable librement sur Internet.

La version présentée ici est GeoGebra 4 de septembre 2011.

Site officiel : http://www.geogebra.org

Présentation d’une page GeoGebra

Sur le bureau, ouvrir le logiciel . Cliquer sur « Dispositions », puis sur « Géométrie ».

La page qui s’affiche comporte les bandeaux ci-dessous : Ce logiciel propose :

● un menu général,

● 12 séries d’icônes,

● un bandeau de réglage.

Lorsque l’on clique sur le coin inférieur droit d’une icône, son menu déroulant apparaît.

■ Remarque : La septième série d’icônes n’est pas utile au collège.

Le bandeau de réglage évolue en fonction de l’objet sélectionné.

En cliquant sur l’icône point , le bandeau est : .

En cliquant sur l’icône point , le bandeau est :

■ EXEMPLES :

Préparation de la feuille de dessin

Il est pratique de préparer la feuille de dessin avant de commencer.

● Fermer la fenêtre algèbre en cliquant sur

«

Affichage

»

, puis sur

«

Fenêtre algèbre

»

^.

● Afficher les icônes de géométrie (si cela n’a pas été déjà fait) en cliquant sur

«

Dispositions

»

^{, puis}

«

Géométrie

»

^.

● Enlever les axes et la grille en cliquant sur les icônes

«

^Axes

»

^et

«

^Grille

»

du bandeau de réglage.

● Marquer les points par des croix en cliquant

sur l’icône , puis dans le bandeau de réglage ; choisir

«

^x

»

^.

● Nommer les points au fur et à mesure en cliquant sur

«

^Options

»

^,

«

Étiquetage

»

^,

puis sur

«

Seulement les nouveaux points

»

^.

● Retrouver cette préparation à chaque ouverture du logiciel en cliquant sur

«

^Options

»

, puis sur

«

Configuration

»

^.

Une fenêtre s’ouvre ; cliquer sur

«

Sauvegarder la configuration

»

^.

ement

Ce logiciel évolue régulièrement : l’emplacement des icônes est parfois modifié,

de nouvelles icônes sont créées…

(3)

III

Lexique

Le lexique ci-dessous dresse la liste alphabétique des icônes et des actions les plus utilisées au collège.

Afficher : Afficher ou cacher un objet

● Dans la douzième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur l’objet à afficher ou à cacher.

Aire : Mesurer l’aire d’un objet tracé : polygone, disque…

● Dans la huitième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer à l’intérieur de l’objet dont on désire mesurer l’aire.

Angle⁽¹⁾ : Mesurer un angle défini par trois points

● Cliquer sur un point d’un des côtés de l’angle, puis sur le sommet de l’angle, enfin sur un point du second côté de l’angle.

Attention : La mesure affichée de l’angle est parfois supérieure à 180°.

On peut recommencer en cliquant dans l’ordre contraire.

On clique sur B, puis sur le sommet A,

ensuite sur C.

On clique sur C, puis sur le sommet A,

ensuite sur B.

325,04°

A

B

C

A

B

C

■ EXEMPLE :

Angle⁽²⁾ : Tracer un angle de sommet placé et de mesure donnée

● Cliquer sur un point du côté tracé de l’angle, puis sur son sommet.

● Entrer la mesure désirée de l’Angle dans la fenêtre qui apparaît.

● Cliquer sur

«

^OK

»

^.

Attention : On peut choisir le sens dans lequel l’angle est créé.

Sens horaire : Sens des aiguilles d’une montre.

Sens anti-horaire : Sens contraire des aiguilles d’une montre.

Axes : Comment afficher/enlever les axes

● Dans le bandeau de réglage, cliquer sur la première icône.

Bissectrice : Tracer la bissectrice d’un angle défini par trois points

● Dans la quatrième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur un point d’un des côtés de l’angle, puis sur le sommet de l’angle, enfin sur un point du second côté de l’angle.

■ Remarque : Comme bissectrice, le logiciel trace une droite au lieu d’une demi-droite.

Carré : Créer un carré dont on connaît deux sommets consécutifs

● Dans la cinquième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur un sommet du carré, puis sur un deuxième sommet.

● Entrer 4 comme nombre de Points dans la fenêtre qui apparaît.

● Cliquer sur

«

^OK

»

^.

Dans le manuel, ce logo II VI propose de se référer au lexique.

(4)

IV

Cercle⁽¹⁾ : Créer un cercle de centre placé et passant par un point

● Dans la sixième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur le centre du cercle.

● Cliquer sur un point qui appartient au cercle.

Cercle⁽²⁾ : Créer un cercle de centre placé et de rayon donné

● Entrer le Rayon désiré dans la fenêtre qui apparaît.

● Cliquer sur

«

^OK

»

^.

Colorer⁽¹⁾ : Colorer un objet tracé

● Pointer l’objet à modifier et cliquer sur le bouton droit de la souris.

● Dans la fenêtre qui apparaît, sélectionner

● Cliquer ensuite sur

«

^Couleur

»

et choisir la couleur désirée avec la souris.

Colorer⁽²⁾ : Créer un objet de couleur donnée

● Cliquer sur l’icône correspondant à l’objet à tracer.

● Dans le bandeau de réglage, cliquer sur la quatrième icône.

● Cliquer sur la couleur désirée.

● Cliquer sur la feuille de dessin pour créer l’objet.

Compas : Créer un cercle de rayon la longueur d’un segment tracé

● Cliquer sur le segment dont la longueur est le rayon du cercle.

Curseur : Créer un nombre que l’on peut faire varier

● Dans la onzième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur la feuille de dessin hors de la figure tracée.

● Des renseignements sont demandés dans la fenêtre qui apparaît : – le Nom du nombre, en général inutile de le modifier ;

– sa valeur minimale, à modifier selon l’exercice ; – sa valeur maximale, à modifier selon l’exercice ; – son incrément, en général inutile de le modifier.

● Cliquer sur

«

Appliquer

»

^.

■ Remarque :

Le nombre ainsi créé peut être utilisé comme longueur d’un segment, comme rayon d’un cercle…

Demi-droite : Créer une demi-droite

● Dans la troisième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur le point origine de la demi-droite.

● Puis cliquer sur un point par lequel passe la demi-droite.

Déplacer⁽¹⁾ : Déplacer un objet

● Dans la première série d’icônes, cliquer sur

● Sélectionner l’objet à déplacer avec le clic gauche de la souris.

● Déplacer l’objet en maintenant le bouton enfoncé.

Déplacer⁽²⁾ : Déplacer le graphique

● Dans la douzième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur la feuille de dessin avec le clic gauche de la souris.

● Déplacer le graphique en maintenant le bouton enfoncé.

(5)

V

Distance : Mesurer la distance entre un point et un objet

● Cliquer sur le point, puis sur l’objet.

Droite : Créer une droite passant par deux points

● Cliquer sur l’un des deux points, puis sur l’autre.

Équilatéral : Créer un triangle équilatéral dont on connaît deux sommets consécutifs

● Cliquer sur un sommet du triangle, puis sur un deuxième sommet.

● Entrer 3 comme nombre de Points dans la fenêtre qui apparaît.

● Cliquer sur

«

^OK

»

^.

Grille : Comment afficher/enlever la grille

● Dans le bandeau de réglage, cliquer sur la deuxième icône.

Interroger : Poser une question au logiciel concernant deux objets tracés

● Dans la dixième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur l’un des deux objets tracés.

● Cliquer sur l’autre objet tracé.

■ Remarque : Le logiciel répond selon la nature des objets sélectionnés.

● Les deux objets sélectionnés sont des droites. ^● L’un des objets sélectionné est un point.

Sont-elles

parallèles ? Sont-elles

perpendiculaires ?

Appartient-il à l’autre objet ?

Intersection : Créer un point d’intersection entre deux objets

● Dans la deuxième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur l’un des deux objets désirés.

● Cliquer sur le second objet tracé.

Longueur : Mesurer la longueur d’un objet tracé : segment, polygone, cercle…

● Cliquer sur l’objet dont on désire mesurer la longueur ou le périmètre.

Médiatrice : Créer la médiatrice d’un segment tracé

● Cliquer sur le segment tracé.

Milieu : Créer le milieu d’un segment tracé

● Cliquer sur le segment tracé.

Parallèle : Créer une droite parallèle à une droite tracée

● Cliquer sur la droite dont on veut tracer la parallèle.

● Cliquer sur un point par lequel passe la droite parallèle.

(6)

VI

Perpendiculaire : Créer une droite perpendiculaire à une droite tracée

● Cliquer sur la droite dont on veut tracer la perpendiculaire.

● Cliquer sur un point par lequel passe la droite perpendiculaire.

Point⁽¹⁾ : Créer un point

● Cliquer avec la souris à l’endroit où l’on désire le point.

Point⁽²⁾ : Créer un point sur un objet déjà tracé

● Approcher la souris de l’objet tracé et cliquer sur l’objet quand il s’affiche en gras.

Polygone : Créer un polygone défini par ses sommets

● Cliquer dans l’ordre sur chacun des sommets du polygone.

● Cliquer à nouveau sur le sommet de départ.

Renommer : Modifier le nom d’un objet

● Pointer l’objet à modifier et cliquer sur le bouton droit de la souris.

● Dans la fenêtre qui apparaît, sélectionner

● Écrire le Nouveau nom de l’objet, puis cliquer sur

«

^OK

»

^.

Saisie : Ouvrir la fenêtre de saisie

● Dans le menu général, ouvrir

«

Affichage

»

^.

● Choisir

«

Champ de saisie

»

, puis cliquer sur Segment⁽¹⁾ : Créer un segment entre deux points

● Cliquer sur l’un des deux points, puis sur l’autre.

Segment⁽²⁾ : Créer un segment de longueur donnée

● Cliquer sur un point extrémité du segment.

● Entrer la Longueur désirée dans la fenêtre qui apparaît.

● Cliquer sur

«

^OK

»

^.

Symétrique⁽¹⁾ : Créer le symétrique d’un objet par rapport à une droite

● Dans la neuvième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur l’objet ou le point dont on désire créer le symétrique.

● Cliquer sur l’axe de la symétrie.

■ Remarque : Le logiciel nomme A’ le symétrique du point A.

Symétrique⁽²⁾ : Créer le symétrique d’un objet par rapport à un point

● Dans la neuvième série d’icônes, cliquer sur

● Cliquer sur l’objet ou le point dont on désire créer le symétrique.

● Cliquer sur le centre de la symétrie.

■ Remarque : Le logiciel nomme A’ le symétrique du point A.

Tableur : Afficher le tableur du logiciel

● Dans le menu général, ouvrir

«

Affichage

»

et cliquer sur Trace : Activer la trace d’un objet

● Pointer l’objet désiré et cliquer sur le bouton droit de la souris.

● Dans la fenêtre qui apparaît, sélectionner Triangle : Voir Polygone .

(7)

VII

L’ESSENTIEL DU NUMÉRIQUE

■

Symboles de comparaison de deux nombres

● a_<b signifie a est strictement inférieur à b.

● a_⩽b signifie a est inférieur ou égal à b. Exemples : 5 < 7 ; 5 ⩽ 7 ; 5 ⩽ 5.

● a_>b signifie a est strictement supérieur à b.

● a_⩾b signifie a est supérieur ou égal à b. Exemples : 9 > 4 ; 9 ⩾ 4 ; 9 ⩾ 9

.

■

Comparaison de deux nombres relatifs

● Si deux nombres sont négatifs, alors le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro.

● Si deux nombres sont positifs, alors le plus petit est celui qui a la plus petite distance à zéro.

–8

–8 < –5 –3 < +2 +4 < +7

–5 –3 0 +2 +4 +7

Un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif.

■

Addition de deux nombres relatifs

● Nombres de même signe : (– 7) + (– 2) = – 9

Le signe de la somme est le signe commun aux deux termes.

On ajoute les distances à zéro.

● Nombres de signes contraires : (– 5) + (+ 4) = – 1

Le signe de la somme est le signe du terme ayant la plus grande distance à zéro.

On soustrait les distances à zéro.

■

Soustraction de deux nombres relatifs

Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.

Exemples : ^● (+ 7) – (+ 3) = (+ 7) + (– 3) = + 4 ^● (+ 5) – (– 6) = (+ 5) + (+ 6) = + 11

■

Multiplication de deux nombres relatifs

● Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.

Exemples : ^● (+ 8) × (+ 3) = + 24 ^● (– 5) × (– 7) = + 35

● Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.

Exemples : ^● (– 6) × (+ 2) = – 12 ^● (+ 7) × (– 4) = – 28

● La distance à zéro d’un produit est égale au produit des distances à zéro.

■

Division de deux nombres relatifs

● Le quotient de deux nombres relatifs de même signe est positif.

Exemples : ^● (+ 8) : (+ 2) = + 4 ^● (– 15) : (– 3) = + 5

● Le quotient de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.

Exemples : ^● (– 35) : (+ 7) = – 5 ^● (+ 27) : (– 3) = – 9

● La distance à zéro d’un quotient est égale au quotient des distances à zéro.

(8)

VIII

■

Calcul d’une expression numérique

● Dans une expression numérique sans paren- thèses, les multiplications et les divisions sont prioritaires par rapport aux additions et aux soustractions.

Exemple : A = – 8 + 2 × (– 5) – (– 14) : 2 A = – 8 + (– 10) – (– 7) A = – 8 – 10 + 7 A = – 11

● Pour calculer une expression numérique écrite avec des parenthèses, on commence par effectuer les calculs entre parenthèses.

Exemple : B = – 3 × (12 – 8) : 6 B = – 3 × 4 : 6 B = – 12 : 6 B = – 2

■

Quotients égaux

a, b et c désignent des nombres relatifs, avec b_≠ 0 et c_≠ 0.

Le quotient de a par b est égal au quotient du produit a_×c par le produit b _×c : a b⁼

a × c b × c^.

■

Égalité des produits en croix

a, b, c et d désignent des nombres relatifs, avec b ≠ 0 et d ≠ 0.

● Si a b⁼

c

d ^{, alors}ad = bc. ^● Si ad = bc, alors a b⁼

c d^.

■

Addition et soustraction de deux fractions

a, b et c désignent des nombres relatifs, avec b_{≠ 0.} a b⁺

c b⁼

a + c Pour additionner ou soustraire deux fractions b

de dénominateurs différents, on commence a

b^– c b⁼

a – c par les mettre au même dénominateur. b

Exemples : ^● ³ 8 + 7

4 = 3 8 + 7 × 2

4 × 2 = 3 8 + 14

8 = 3 + 14 8 = 17

8

● 13 9 – 5

3 = 13

9 – 5 × 3 3 × 3 = 13

9 – 15

9 = 13 – 15 9 = – 2

9

■

Multiplication de deux fractions

a, b, c et d désignent des nombres relatifs, avec b_{≠ 0 et}d_{≠ 0.} a b^×

c d⁼

a_×c b_×d Exemple : ³

5 × 7 4 = 3 × 7

5 × 4 = 21 20

■

Division de deux fractions

a, b, c et d désignent des nombres relatifs, avec b_{≠ 0,}c_{≠ 0 et}d_{≠ 0.} a b^:

c d⁼

a b^×

d Diviser par un nombre non nul, c’est multiplier par son inverse. c

Exemple : ³ 5 : 7

4 = 3 5 × 4

7 = 3 × 4 5 × 7 = 12

35

■

Puissances d’exposant positif

a désigne un nombre relatif et n un nombre entier positif non nul. aⁿ = a_×a_{× ... ×}a r u w u q n facteurs égaux à a Convention : Pour a_{≠ 0,}a⁰ = 1.

Cas des puissances de 10 : 10ⁿ = 100...0, avec n chiffres 0.

Exemple : 10⁹ = 10 × 10 × ... × 10 = 1 000 000 000. On écrit un 1 suivi de 9 zéros.

r u u w u u q 9 facteurs égaux à 10

(9)

IX

■

Puissances d’exposant négatif

a désigne un nombre relatif non nul et n un nombre entier positif non nul.

Le nombre a^–ⁿ est l’inverse de aⁿ. a^–ⁿ = 1

aⁿ^. Cas des puissances de 10 : 10^–ⁿ = 1

10ⁿ = 0,...01 (n chiffres après la virgule).

Exemple : 10^{− 9}= 0,000 000 001 (9 chiffres après la virgule).

■

Règles de calculs sur les puissances de nombres relatifs

a et b désignent des nombres relatifs non nuls ; n et p désignent des nombres entiers relatifs.

● aⁿ_×a^p = aⁿ⁺^p ^● aⁿ

a^p⁼aⁿ^–^p ^● (aⁿ)^p = aⁿ^×^p ^● (a_×b)ⁿ = aⁿ_×bⁿ ^●

(

^ab

)

ⁿ⁼^a^bⁿⁿ^.

Exemples : ^● 3⁴ × 3² = 3^{4 + 2} = 3⁶ ^● (3⁴)⁵ = 3^{4 × 5} = 3²⁰ ^● (3 × 4)² = 3² × 4² ^●

(

²3

)

⁴⁼²3⁴⁴

● 3⁵

3² = 3^{5 – 2} = 3³

■

Écriture scientifique d’un nombre décimal

L’écriture scientifique d’un nombre décimal est l’unique écriture de la forme a_{× 10}ⁿ, avec : a est un nombre décimal qui possède un seul chiffre avant la virgule, ce chiffre étant non nul ; n est un nombre entier relatif.

Exemples :^● – 7 800 000 = – 7,8 × 10⁶ ^● 0,000 057 84 = 5,784 × 10^{– 5}

■

Calcul littéral

k, a, b, c et d désignent des nombres relatifs. ^● k(a + b) = ka + kb

● (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Exemples : ^● 3(2x + 7) = 3 × 2x + 3 × 7 = 6x + 21

● (3x + 1) (2x – 7) = 3x × 2x – 3x × 7 + 1 × 2x – 1 × 7 = 6x² – 21x + 2x – 7 = 6x² – 19x – 7

■

Équation à une inconnue

● Une équation à une inconnue est une égalité faisant intervenir un nombre inconnu désigné par une lettre.

● Résoudre une équation à une inconnue revient à trouver tous les nombres qui vérifient l’égalité.

Tout nombre vérifiant l’égalité est une solution de l’équation.

■

Propriétés utilisées pour résoudre une équation

● Une égalité reste vraie lorsque l’on ajoute (ou l’on soustrait) un même nombre à chacun de ses membres.

a, b et c désignent des nombres relatifs.

Si a = b, alors a + c = b + c. Si a = b, alors a – c = b – c.

● Une égalité reste vraie lorsque l’on multiplie (ou l’on divise) chacun de ses membres par un même nombre non nul.

a, b et c désignent des nombres relatifs, avec c_{≠ 0.}

Si a = b, alors a_×c = b_×c. Si a = b, alors a : c = b : c.

■

Produit nul

Un produit est nul, si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

a et b désignent des nombres relatifs. a_×b = 0 si et seulement si a = 0 ou b = 0.

Exemple : (4x + 5) (5 – 3x) = 0. C’est un produit de deux facteurs, égal à zéro.

Or, un produit est nul, si et seulement si au moins l’un de ses facteurs est nul.

D’où : (4x + 5) = 0 ou (5 – 3x) = 0.

(10)

X

■

Arithmétique

● a et b désignent des nombres entiers strictement positifs.

Le plus grand des diviseurs communs à a et à b s’appelle le PGCD des nombres a et b, et se note PGCD(a ; b).

● Deux nombres entiers positifs non nuls sont dits premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.

● Si on divise le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur PGCD, alors on obtient une fraction irréductible, c’est-à-dire une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux.

■

Racine carrée d’un nombre positif

a et b désignent des nombres positifs.

● La racine carrée du nombre a est le nombre positif de carré a. √a_{⩾ 0 et}(^√√a)² = a.

● Propriétés : ^● √a²₌a ^● √a _×√b₌√a × b ^● √a

√b⁼

√

^a^b^(avec^b^{≠ 0)}

Exemples : ^● √₈²_{= 8} ^● √₃_×√_{2 =}√₃×2 = √₆ ^● √₂₈

√₄ ⁼

√

²⁸⁴⁼^√⁷

■

Identités remarquables

a et b désignent des nombres relatifs.

● (a + b)² = a² + 2ab + b² Exemple : (3x + 2)² = (3x)² + 2 × 3x × 2 + 2² = 9x² + 12x + 4

● (a – b)² = a² – 2ab + b² Exemple : (2x – 5)² = (2x)² – 2 × 2x × 5 + 5² = 4x² – 20x + 25

● (a + b)(a – b) = a² – b² Exemple : (4x + 7) (4x – 7) = (4x)² – 7² = 16x² – 49

■

Résolution de l’équation x ² =

a a désigne un nombre strictement positif.

L’équation x² = a admet deux solutions : √a _{et –}√a_.

■

Système de deux équations à deux inconnues

● Lorsqu’un couple de nombres est solution de deux équations à deux inconnues, on dit que ce couple est solution du système formé par ces deux équations.

Résoudre un tel système, c’est trouver tous les couples solutions du système.

● On résout un système de deux équations à deux inconnues par substitution ou par élimination d’une inconnue.

■

Propriétés utilisées pour résoudre une inéquation

● Si l’on ajoute (ou l’on soustrait) un même nombre à chaque membre d’une inégalité, alors l’ordre des nombres obtenus est conservé.

a, b et c désignent des nombres relatifs.

Si a_>b, alors a + c_>b + c. Si a_⩽b, alors a – c_⩽b – c.

● Si l’on multiplie (ou l’on divise) chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement positif, alors l’ordre des nombres obtenus est conservé.

a, b et c désignent des nombres relatifs, avec c > 0.

Si a_>b, alors a_×c_>b_×c. Si a ⩽ b, alors a × c ⩽ b × c.

● Si l’on multiplie (ou l’on divise) chaque membre d’une inégalité par un même nombre strictement négatif, alors l’ordre des nombres obtenus est inversé.

a, b et c désignent des nombres relatifs, avec c_{< 0.}

Si a_>b, alors a_×c_<b_×c. Si a_⩽b, alors a_×c_⩾b_×c.

(11)

XI

■

Notion de fonction

f

: x

_↦f

( x )

● Le nombre f(x) est l’image du nombre x par la fonction f.

● Le nombre x est l’antécédent du nombre f(x) par la fonction f.

● Un repère étant choisi, l’ensemble (C) des points M de coordonnées (a ; f(a)) est la représentation graphique de la fonction f dans ce repère.

■

Fonction linéaire

f

: x

_↦a

x

● a désigne un nombre relatif.

Une fonction linéaire de coefficient a est la fonction f qui, à un nombre, associe le produit de ce nombre par a.

On note f : x ↦ ax ou f(x) = ax.

● Dans un repère, la représentation graphique d’une fonction linéaire de coefficient a est une droite (d) qui passe par l’origine du repère.

Le nombre a est appelé le coefficient directeur de la droite (d).

0 y_M M

x_M 1

1 a

(d)

■

Fonction affine f : x ↦ a x + b

● a et b désignent deux nombres relatifs donnés.

Une fonction affine f est une fonction qui, à un nombre x, associe le nombre ax + b. On note : f : x ↦ ax + b ou f(x) = ax + b.

● Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f est une droite (d).

– La droite (d) coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; b).

Le nombre b est appelé l’ordonnée à l’origine de la droite (d).

– Le nombre a est appelé le coefficient directeur de la droite (d).

Si on a deux nombres distincts x₁ et x₂ , et une fonction f telle que f(x) = ax + b, alors :

a = f(x₁) – f(x₂) x₁ – x₂

Exemple : Ci-contre est représentée la fonction f : x ↦ 3x – 1.

– 1 1

– 1 – 2 2 3 4 5

1 2 3 4 5

A

B

0

+ 3

+ 1

(0, – 1)

(d) L’ordonnée à l’origine de la droite (d) est – 1 et son coefficient directeur est 3.

■

Évolution en pourcentage

● Augmenter un nombre positif de p % (p > 0) revient à multiplier ce nombre par

(

^{1 +}100^p

)

^.

● Diminuer un nombre positif de p_{% (0 ⩽}p ⩽ 100) revient à multiplier ce nombre par

(

^{1 –}100^p

)

^.

(12)

XII

■

Probabilités

● Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est uniquement dû au hasard.

● Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire est une issue de l’expérience.

● Un événement est une condition qui, selon l’issue de l’expérience aléatoire, est réalisée ou n’est pas réalisée.

● Lorsque l’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence à laquelle se réalise un événement se rapproche d’une « fréquence théorique » appelée probabilité de cet événement.

On considère une expérience aléatoire et un événement A.

● p(A) est la probabilité de l’événement A. Le nombre p(A) est compris entre 0 et 1.

La somme des probabilités d’obtenir chaque issue de cette expérience est égale à 1.

● Lorsque tous les événements élémentaires d’une expérience aléatoire ont la même probabilité, on dit qu’il s’agit d’une situation d’équiprobabilité.

Dans ce cas, on a :

p(A) = Nombres d’issues favorables Nombre total d’issues

● Deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps sont dits incompatibles.

● L’événement contraire de l’événement A se note non A ou A.

On a alors : p(non A) = 1 – p(A).

● Dans un arbre pondéré, la probabilité de l’événement auquel conduit un chemin est égale au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

■

Statistiques

● La fréquence d’une valeur est le quotient de l’effectif de cette valeur par l’effectif total.

● La moyenne d’une série de données est égale à la somme de ces données divisée par l’effectif total.

● La moyenne pondérée d’une série de valeurs est égale à la somme des produits de chaque valeur par son effectif divisée par l’effectif total.

● L’étendue d’une série statistique est la différence entre la valeur la plus grande et la valeur la plus petite de la série.

● On considère une série statistique de N données rangées dans l’ordre croissant.

– Si N est impair, la médiane est égale à la « donnée centrale » de cette série.

– Si N est pair, la médiane est égale à la moyenne des « deux données centrales » de cette série.

● Les quartiles

– Le premier quartile (noté Q₁) d’une série de données est la plus petite donnée de la série pour laquelle au moins 25 %

(

^soit ¹4

)

des données sont inférieures ou égales à Q₁.

– Le troisième quartile (noté Q₃) d’une série de données est la plus petite donnée de la série pour laquelle au moins 75 %

(

^soit³4

)

des données sont inférieures ou égales à Q₃ .

Environ 1

2 Environ 1

4 Environ 1

4 Environ 1 4

Q₁ Médiane Q₃

Étendue

(13)

XIII

L’ESSENTIEL DE LA GÉOMÉTRIE

■

Notations

^■

Symboles

(AB) Droite B

A

[AB) Demi-droite A B

[AB] Segment B

A

AB Longueur AB = 5 cm

AB^lC Angle B

A

C

■

Hauteurs d’un triangle

^■

Médianes d’un triangle

B A

C

Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes.

A

B C

Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes.

■

Médiatrices d’un triangle

^■

Bissectrices d’un triangle

A

C

B O

Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes.

Leur point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle.

C

B O

A

Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes.

Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

■

Triangle rectangle et cercle

● Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans le cercle dont un diamètre est l’hypoténuse du triangle.

● Si un triangle est inscrit dans un cercle dont un diamètre est l’un de ses côtés, alors il est rectangle.

B A

C A^Z (d)

Le point A appartient à

la droite (d). (d)

A

A^x (d)

Le point A n’appartient pas à

la droite (d). (d)

A

(d_{) ⬜ (}d’)

La droite (d) est perpendiculaire à

la droite (d’). (d)

(d’)

(d) // (d’)

La droite (d) est parallèle à

la droite (d’). (d) (d’)

(14)

XIV

■

Triangle rectangle et égalité de Pythagore

● Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de son hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Égalité de Pythagore : BC² = AB² + AC²

A

C B

● Si le carré de la longueur du plus grand côté d’un triangle est égal à la somme des carrés des longueurs de ses deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

■

Droites sécantes coupées par deux droites parallèles

● Théorème de Thalès

– Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en un point A, et si les droites (MN) et (BC) sont parallèles,

alors : AM

AB = AN AC = MN

BC^.

– Si les droites (BM) et (CN) sont sécantes au point A, et si AM

AB ≠ AN AC ^,

alors les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles.

● Réciproque du théorème de Thalès

Si deux droites (BM) et (CN) sont sécantes en un point A, si les points A, M et B sont alignés dans le même ordre que les points A, N et C,

et si AM AB = AN

AC^,

alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.

A

B M

N C

A

B M

N

C

■

Trigonométrie

Dans un triangle ABC rectangle en A, on a : côté adjacent cos ABC = AB

BC hypoténuse

côté opposé sin ABC = AC

BC hypoténuse

côté opposé tan ABC = AC

AB côté adjacent

■

Angle inscrit – Angle au centre

Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure de l’angle au centre qui intercepte le même arc.

On a : PKS = 1 2POS.

P

O S K

( ) l

l l

A

C B

(15)

XV

■

Sections de solides par un plan

B L E

K

H

C N

M D

A

F

G (P)

● La section d’un pavé droit par un plan parallèle à une de ses arêtes ou parallèle à une de ses faces est un rectangle.

(P)

O

O’

K r

(P) O

O’r A

B

C D

● La section d’un cylindre de révolution par un plan perpendiculaire à son axe est un disque.

● La section d’un cylindre de révolution par un plan parallèle à son axe est un rectangle.

(P)

A A’

B B’

C C’

D D’

O S

O’

(P) (D’)

(D)

A O

O’

S

A’

(C)

(P) (Ꮿ)

(S) r O

H

● La section d’une pyramide par un plan parallèle à sa base est de même nature que sa base.

● La section d’un cône de révolution par un plan parallèle à sa base est un disque.

● La section d’une sphère par un plan est un cercle ou un point.

■

Agrandissement et réduction

(S) et (S’) sont deux solides. k désigne un nombre strictement positif.

Si le solide (S’) est un agrandissement ou une réduction de rapport k du solide (S), alors : – une longueur de (S’) s’obtient en multipliant par k la longueur associée de (S) ;

– l’aire d’une surface de (S’) s’obtient en multipliant par k² l’aire de la surface associée de (S) ; – le volume du solide (S’) s’obtient en multipliant par k³ le volume du solide (S).

■

Unités d’aires et de volumes

● 1 m²= 100 dm² = 10 000 cm² = 1 000 000 mm² | 1 m²= 10⁴ cm² | 1 mm²= 10^{− 6} m².

● 1 m³= 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³ = 10⁹ mm³ | 1 m³= 10⁶ cm³ | 1 L= 1 dm³.

■

Périmètres

Carré Rectangle Triangle Disque

c

L

艎

b

a c

D r

ᏼ = 4 × c ^{ᏼ = 2 × (}L + ᐉ)

ᏼ = 2 × L_{+ 2 ×}ᐉ ^{ᏼ =}a + b + c ^{ᏼ = π ×}D ᏼ = 2 × π × r

(16)

XVI

■

Aires

Carré Rectangle Parallélogramme Triangle Disque

c ^艎

L b

h h

b

r

Ꮽ = c² _{Ꮽ =}L_×ᐉ Ꮽ = b_×h _{Ꮽ = (}b_×h) : 2 Ꮽ = π × r²

Cube Prisme droit Cylindre de révolution Sphère

a

a h

ᏼ r

h ^r

Aire totale : 𝒜 = 6 × a²

Aire latérale : 𝒜 = 𝒫 × h (𝒫 : Périmètre de la base)

Aire latérale : 𝒜 = 2π × r_×h Aire totale : 𝒜 = 2π × r_×h + _{2π ×}r²

Aire totale : 𝒜 = 4π × r²

■

Volumes

Cube Pavé droit Prisme droit Cylindre de révolution

a

a a

b c

a

h

Ꮾ r

h Ꮾ ᐂ = a³ _ᐂ = a_×b_×c ^{ᐂ =}Ꮾ × h ^{ᐂ =}Ꮾ × h

ᐂ = π × r²_×h (Ꮾ est l’aire d’une base.)

Pyramide Cône de révolution Boule

h

Ꮾ

h

Ꮾ r

U

ᐂ = 1

3 × Ꮾ × h _{ᐂ =}¹

3 × Ꮾ × h = 1

3 π × r²_×h

ᐂ = 4 3π × r³ (Ꮾ est l’aire de la base.)

(17)

XVII

CALCULATRICE CASIO

Permet d’accéder aux fonctions notées

en orange.

Permet d’effectuer la division euclidienne.

Permet

Permet de choisir le mode.

■ Pour allumer la calculatrice : Taper sur la touche

ON

.

■ Pour éteindre la calculatrice : Taper sur la touche

SECONDE

, puis sur la touche

OFF

.

● Ouvrir la fenêtre de confi guration en tapant

SECONDEMODECONFIG

.

● Choisir DEG en tapant . 1:MthIO 2:LineIO 3:Deg 4:Rad 5:Gra 6:Fix 7:Sci 8:Norm

■ Pour choisir le format d’affi chage : Mth IO ou Line IO

● En mode Mth IO, la calculatrice écrit les calculs comme en mathématiques.

Taper la séquence suivante :

SECONDEMODECONFIG

.

● Choisir MthIO en tapant . 1:MthIO 2:LineIO 3:Deg 4:Rad 5:Gra 6:Fix 7:Sci 8:Norm

● En mode Line IO, la calculatrice écrit les calculs en ligne.

● Taper la séquence suivante :

SECONDE MODECONFIG

.

● Choisir LineIO en tapant .

■ Pour choisir le format d’affi chage des fractions :

● Taper la séquence suivante :

SECONDE MODECONFIG

pour affi cher la notation habituelle des fractions.

● Choisir d/c en tapant . 1:ab/c 2:d/c 3:STAT 4:^WCONT^X

Pour utiliser le nombre π dans un calcul, taper sur la touche ^SECONDE, puis sur la touche π . Pour donner une valeur approchée du résultat, utiliser la touche .

(18)

le tableur openoffice calculatrice ti-collège plus

La version présentée ici est OpenOffice 3.3.

Dans

«

OpenOffice.org

»

, le tableur se nomme

«

^Calc

»

^ou

«

^Classeur

»

^.

Le tableau qui apparaît à l’écran est la feuille de calculs.

Ses lignes sont nommées par des nombres entiers 1, 2, 3, 4...

Ses colonnes sont nommées par des lettres A, B, C, D...

Ainsi chaque case, appelée cellule, est repérée par une lettre et un nombre.

Par exemple, la cellule sélectionnée est la cellule B4.

Pour sélectionner une cellule :

● on déplace le curseur sur cette cellule à l’aide de la souris ;

● on clique avec le bouton gauche de la souris.

Ce qui se trouve dans cette cellule est aussi écrit dans la fenêtre au-dessus de la feuille de calculs.

Par exemple, dans la cellule B4 est écrit

«

^Phare

»

^.

Le logiciel OpenOffice

est un logiciel de bureautique téléchargeable librement sur Internet.

Au lieu d’écrire successivement les nombres 0, 2, 4, 6, 8... jusqu’à 100, on veut entrer une formule qui demande au logiciel de le faire.

● Étape 1 : Préparation du tableau

On écrit le titre

«

Nombres pairs

»

dans la cellule A1.

On entre

«

⁰

»

dans la cellule A2.

● Étape 2 : Saisie d’une formule dans la cellule A3

On tape le signe

«

⁼

»

qui signifie que l’on entre une formule.

On tape

«

^A2+2

»

^.

On valide avec la touche

«

^Entrer

»

 du clavier.

Cette formule demande au logiciel de calculer en A3 :

«

le nombre situé dans la cellule au-dessus de A3

»

+ 2, c’est-à-dire

«

le nombre situé en A2

»

^{+ 2.}

Étape 3 : Généralisation de la formule à la colonne A On clique sur la cellule A3.

On déplace le curseur sur le carré noir ⁿ situé dans son coin inférieur droit.

On saisit ce carré à l’aide du clic gauche de la souris.

Sans relâcher, on tire ce carré vers le bas, jusqu’à la cellule A102.

Lorsque l’on relâche la souris, la colonne A se complète.

n exemPle : On veut écrire les nombres pairs compris entre 0 et 100 dans la colonne A.

Ce logiciel permet d’organiser des données dans des tableaux, d’effectuer des calculs, d’utiliser des formules, de construire des diagrammes et des graphiques...

Permet d’accéder aux fonctions

notées en orange.

Permet de choisir le mode.

Permet

■ Pour allumer la calculatrice : Taper sur la bouton ^off .

■ Pour éteindre la calculatrice : Taper sur la touche , puis sur la touche ^off .

● Ouvrir la fenêtre des modes en tapant

quitter

.

● Placer le curseur sur ^DEG .

● Taper sur .

● Sortir de la fenêtre des modes en tapant

quitter

.

DEG RAD GRAD NORM SCI ING

FLOTT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 SIMPMAN SIMPAUTO

AFFNATUREL AFFLIGNE

■ Pour choisir le format d’affichage AFFNATURel ou AFFlIGNe :

● En mode AFFNATUREL, la calculatrice écrit les calculs comme en mathématiques.

● En mode AFFLIGNE, la calculatrice écrit les calculs en ligne.

quitter

. Placer le curseur sur AFFNATUREL ou AFFLIGNE . Taper sur .

quitter

.

■ Pour simplifier des fractions SImPmAN ou SImPAUTO :

● En mode SIMPMAN, la calculatrice ne simplifie pas les fractions.

● En mode SIMPAUTO, la calculatrice simplifie les fractions.

quitter

. Placer le curseur sur SIMPMAN ou SIMPAUTO . Taper sur .

quitter

.

Pour utiliser le nombre π dans un calcul, taper sur la touche .

Pour donner une valeur approchée du résultat, utiliser la touche ou la touche selon le modèle de calculatrice.

I XVIII

calculatrice ti-collège plus

le tableur openoffice

(19)

Passeport Brevet

l’épreuve du brevet l’épreuve du brevet

n Durée :^{2 heures} ⁿ Notation :^{sur 40} ⁿ Calculatrice : autorisée L’épreuve du brevet des Collèges est notée sur 40 points.

Le sujet est constitué de six à dix exercices indépendants.

Chaque exercice est noté entre 3 et 8 points, le total étant de 36 points.

La note attribuée à chaque exercice est indiquée dans le sujet.

Par ailleurs, 4 points sont réservés à la maîtrise de la langue.

L’usage de la calculatrice est autorisé.

n Contenus

Les exercices portent sur les différentes parties du programme de Troisième pour la série générale.

L’essentiel de l’épreuve évalue de façon équilibrée les capacités suivantes :

● rechercher, extraire et organiser l’information utile ;

● mesurer, calculer, appliquer des consignes ;

● modéliser, conjecturer, raisonner et démontrer ;

● argumenter et présenter les résultats à l’aide d’un langage adapté.

n Problème

Un des exercices, au moins, a pour objet une tâche non guidée. Cet exercice exige une prise d’initiative de la part du candidat.

Pour cet exercice, toute trace de recherche sera évaluée lors de la correction.

● Se munir de stylos de différentes couleurs (noir, bleu, rouge, vert), de crayons de couleur, d’un crayon à papier, d’une gomme, d’un taille-crayon, d’une règle, d’une équerre, d’un rapporteur, d’un compas et d’une calculatrice.

Le papier (copies et brouillon) est fourni.

● Se munir d’une montre pour bien gérer le temps.

Prévoir un quart d’heure pour lire le sujet et décider par quelle partie commencer.

● Soigner la copie : éviter les ratures, sauter des lignes, souligner les résultats…

● Rédiger des phrases (éviter les abréviations) et vérifier l’orthographe.

● Citer clairement les données, les définitions, les propriétés et les théorèmes.

● Pour les figures de géométrie, les faire d’abord au brouillon.