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Centrale Physique PSI 2004 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Kevin Lewis (ENS Cachan) ; il a été relu par Vincent Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).
Le sujet porte sur l’étude et la caractérisation d’un plasma d’argon créé par une onde de choc.
• On aborde dans la première partie quelques aspects fondamentaux du compor- tement d’un plasma. Sous l’hypothèse d’un couplage faible, on établit l’existence d’un mode propre d’oscillations du plasma. On discute également la validité de cette hypothèse.
• La deuxième partie étudie une onde de choc se propageant dans le milieu, ce qui provoque son ionisation partielle. Le modèle d’ionisation adopté suit la loi de Saha.
• Enfin, la troisième partie présente une méthode interférométrique de mesure de la densité électronique du plasma créé par l’onde de choc précédente.
Ce problème intéressant, original et peu calculatoire est d’une difficulté moyenne.
Il passe en revue de très nombreuses parties du programme de la filière PSI. Les cours d’électromagnétisme, de thermodynamique (notions de physique statistique), de mé- canique des fluides (bilans), de thermochimie et d’optique ondulatoire sont en effet nécessaires. Ce type d’énoncé qui nécessite de rédiger proprement de nombreuses questions parfois proches du cours, tout en étant rapide, est très fréquent au concours Centrale-Supélec. Il n’est pas indispensable ici de lire la totalité de l’énoncé en détail dès le début de l’épreuve, car la structure du problème est simple ; les parties sont relativement indépendantes les unes des autres et sont clairement séparées.
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Indications
Première partie
I.A.2.b On suppose que le système est stationnaire. Écrire l’équation reliant le po- tentiel électrostatique et la densité volumique de charge pourr6= 0.
I.A.2.c Utiliser le développement limité du sinus hyperbolique en0.
I.B.1 L’incompressibilité se traduit par la conservation du volume du fluide.
I.B.2 Analyser les symétries et les invariances. Appliquer le théorème de Gauss à un volume adapté.
I.B.4 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un électron enM.
I.B.6 Calculer le libre parcours moyen électron–ion ℓ∗ ∼ 1/(σeffne), puis la fré- quence caractéristique des collisions électron–ion afin d’effectuer une compa- raison.
Deuxième partie
II.A.1 Écrire la composition des mouvements.
II.A.2 Considérer un système fermé. Écrire successivement la conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie totale.
II.B.5 L’énergie interne totale est la somme des énergies internes des constituants.
II.B.8 Écrire la constante d’équilibre de la réaction : Ar ⇋ Ar++ e− Utiliser la relation d∆rS◦
dT2
= Cte T2
Utiliser les questions II.B.1, 2 et 3 et l’égalité n02
ne2
=1−α2
α2
Ane peut pas être exprimé en fonction de puissances entières d’unités : don- ner la dimension deAT2−5/2 à la place.
Troisième partie
III.A.1 Montrer que le quotient des normes des forces magnétique et électrique vaut Fm/Fe = v/c, où v est la vitesse de la particule chargée plongée dans le champ électromagnétique.
III.A.4 Établir l’équation d’onde puis passer en notation complexe pour déterminer la relation de dispersion.
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I. Quelques généralités sur les plasmas
A. Étude de l’écart local à la neutralité : longueur de Debye I.A.1 On suppose avec ces expressions que les populations électronique et ionique obéissent à une statistique de Boltzmann. Les états d’énergie électrostatique élevée sont moins probables que les états de plus faible énergie ; on suppose le plasma en équilibre thermique.
n(q) =neexp
− Ep
kBT
oùEp=qVest l’énergie potentielle de la particule de chargeq dans le potentielV.
Il est très important de bien voir que la nature du potentiel V(r)n’est pas liée à l’ion argon, que l’on a simplement pris comme origine du référentiel d’étude. Au contraire,V(r)est caractéristique du milieu.
Il est également important de remarquer le lien fait entre l’échelle mi- croscopique étudiée ici et l’échelle mésoscopique caractérisée par la densité volumiquene. Autrement dit, comme on s’intéresse dans la première partie à des phénomènes microscopiques, on supposera quene est indépendante de r, ce qui n’interdira pas par la suite une variation macroscopique dene. I.A.2.a En se plaçant toujours à un rayonrnon nul, on écrit que la charge totale est la somme des contributions ionique et électronique :
ρc(r) =en++ (−e)n−=e(n+−n−) =e ne
exp
−eV(r) kBT
−expeV(r) kBT
soit encore ρc(r) =−2e nesh
eV(r) kBT
I.A.2.b On est dans une situation électrostatique. Ceci implique que l’équation pour le potentiel se résume à l’équation de Poisson
∆V(r) +ρc(r) ε0
= 0
Ainsi, ∆V(r)−2e ne
ε0
sh eV
kBT
= 0 I.A.2.c Dans cette approximation on a, puisqueshx ∼
x→0x, ρc(r) =−2nee2V(r)
kBT L’équation de Poisson devient ∆V− 2nee2
ε0kBTV = 0
soit, en explicitant le laplacien et en remarquant queVne dépend que de r, 1
r
d2(rV(r))
dr2 − 2nee2
ε0kBTV(r) = 0
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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/20 Avec le changement de variable suggéréu(r) =rV(r), il vient
d2u
dr2(r)− 2nee2
ε0kBTu(r) = 0
On vérifie que(nee2)/(ε0kBT)est homogène a l’inverse du carré d’une longueur, ce qui permet de conclure quant à l’homogénéité de l’équation.
En effet, nee/ε0 ayant la dimension d’un champ électrique divisé par une longueur d’après l’équation de Maxwell et Gauss, nee2/(ε0kBT) est de di- mension [eE]/([kBT]ℓ), oùℓest une longueur et[X]désigne la dimension de la grandeurX. On déduit du principe fondamental de la dynamique que[eE]
est une énergie par unité de longueur ; [kBT]étant une énergie, on conclut.
On pose donc λD=
rε0kBT 2nee2 L’équation précédente se réécrit alors
d2u
dr2(r)− 1
λD2u(r) = 0 et s’intègre selon u(r) = A1exp
r λD
+ A2exp
− r λD
d’où V(r) = A1
r exp r
λD
+A2
r exp
− r λD
avec λD=
rε0kBT 2nee2 I.A.2.d La conditionV(∞) = 0impose
A1= 0
Par ailleurs, le potentiel au voisinage de l’origine est imposé par l’ion argon : V(r) ∼
r→0
e 4πε0r
Ceci implique A2= e
4πε0
En conclusion, pourr6= 0, V(r) = e 4πε0
e−r/λD r
Le potentiel est donc celui d’un ion argon écranté par les charges environnantes, l’écrantage se traduisant par la multiplication du potentiel coulombien par le fac- teure−r/λD. Ceci permet de comprendre qu’au-delà de quelques longueurs de Debye, le potentiel de l’ion n’est plus sensible : on dit qu’il est totalement écranté.
On ne perdra pas de vue que cette expression du potentiel n’est valide que dans l’hypothèse de la question I.A.2.c.
I.A.3 La densité volumique totale s’écrit ρc(r) =−2nee2
kBT V(r) =− ε0
λD 2V(r)
En utilisant l’expression du potentiel trouvé à la question précédente, ρc(r) = −e
4πλD 2
e−r/λD r
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