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Centrale Physique PSI 2001 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Yannick Alméras (professeur en CPGE) ; il a été relu par Arnaud Gossart (professeur en CPGE) et Matthieu Denoual (ENS Cachan).
Ce sujet étudie le fonctionnement d’un télémètre qui permet de mesurer très précisément des distances par émission-réception d’ondes ultrasonores (comme les chauves-souris !).
La première partie rappelle les bases de l’acoustique et calcule la vitesse de l’onde grâce à la mesure de sa longueur d’onde. La seconde partie étudie l’effet piézo- électrique à l’origine de la production de l’onde ultrasonore. La troisième partie évalue plus précisément la réponse vibrationnelle du quartz soumis à une tension (émetteur) et, inversement, la réponse en tension du quartz soumis à une vibration (récepteur).
Enfin, la quatrième et dernière partie s’intéresse au montage électronique permettant d’exciter correctement le quartz de l’émetteur.
Ce sujet, très complet, permet de revoir les approximations acoustiques, un peu d’électromagnétisme dans la matière, les équations différentielles et leurs homologues complexes, le filtrage passe-bande ainsi que l’électrocinétique des amplificateurs opé- rationnels saturés.
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Indications
Partie I
I.D Utiliser la différentielle logarithmique de la loi de Laplace.
Partie II
II.A.1 On rappelle que−→ D1=−→
P1+ε0
−
→E1. II.A.2 Penser à utiliser une relation de passage.
II.B.1 Même indication que pour la question II.A.2 mais il n’y a pas de charge surfacique.
II.C.4 L’expression différentielle est unique pour une fonction d’état.
II.D.2 Utiliser la question II.D.1.
Partie III
III.A.2 Penser à dériver.
Partie IV
IV.A.1.a Étude classique d’un filtre passe-bande.
IV.B.1.b Le condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert en régime établi.
IV.B.1.c.i Raisonner par l’absurde.
IV.B.2.a L’intensité en entrée est nulle en régime établi et le condensateur a une tension continue à ses bornes.
IV.B.3.b La valeur de T3 dans l’énoncé n’est pas bonne, à moins de l’adapter en choisissant l’unité adéquate.
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Partie préliminaire
• La longueurL entre le télémètre et l’obstacle est simplement donnée par L = c(t2−t1)
2
• On mesure sur l’enregistrement t1 = 2 ms et t2 = 14,8 ms. Avec la célérité c= 345 m.s−1, il vient
L = 2,21 m
I. Mesure de la célérité d’une onde ultrasonore
I.A L’approximation acoustique correspond à l’approximation linéaire des équa- tions décrivant la propagation des ondes sonores. On effectue cette approximation en considérant que l’onde perturbe peu le milieu, c’est-à-dire en faisant les calculs à l’ordre 1 par rapport aux termes
|p|
P0
∼|µ|
ρ0
∼|v|
c ≪1
I.B.1 En négligeant la pesanteur, l’équation d’Euler s’écrit
∂−→v
∂t +−→v .−−→
grad−→v =−1 ρ
−−→grad P
En la projetant suivant−u→x, on trouve
∂v
∂t(x, t) +
v(x, t) ∂
∂x
v(x, t) =− 1 ρ(x, t)
∂P
∂x(x, t)
soit ∂v
∂t(x, t)
| {z }
ordre 1
+v(x, t)∂v
∂x(x, t)
| {z }
ordre 2
=− 1
ρ0+µ(x, t)
∂[P0+p(x, t)]
∂x
On se place alors dans le cadre de l’approximation acoustique ; on ne garde que les termes d’ordre 1 et on obtient ainsi l’équation d’Euler linéarisée :
∂v
∂t =−1 ρ0
∂p
∂x Or, l’énoncé donne v(x, t) =v0cosh
2π f0
t−x c
i
Donc ∂p
∂x(x, t) = 2π f0ρ0v0 sinh 2π f0
t−x
c i
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d’où, en intégrant, p(x, t) =−ρ0c v(x, t) (1)
La constante d’intégration est nulle, puisqu’à l’équilibre, la tranche d’air est immobile et que la surpression est nulle.
I.B.2 L’équation de conservation de la masse s’écrit
∂ρ
∂t + div ρ−→v = 0 soit ∂[ρ0+µ(x, t)]
∂t + divh
(ρ0+µ(x, t))v(x, t)−u→x
i= 0
Dans l’approximation acoustique, on ne garde que les termes du premier ordre. On en déduit
∂µ(x, t)
∂t +ρ0 divh
v(x, t)−u→x
i
= 0
donc ∂µ(x, t)
∂t +ρ0
∂v
∂x(x, t) = 0
d’où ∂µ
∂t +ρ0
−2π f0
c
v0 sinh 2π f0
t−x
c i
= 0
On intègre par rapport au temps, ce qui permet de conclure : µ(x, t) =−ρ0
c v(x, t) (2)
La constante d’intégration est encore une fois nulle, puisqu’à l’équilibre, la tranche d’air est immobile et que la masse volumique estρ0.
I.B.3 La différentielle logarithmique de la masse volumiqueρ=m/Vde la tranche, de masse constante, donne
dρ
ρ =−dV V
Par conséquent, le coefficient de compressibilité isentropique s’exprime par la relation χs=1
ρ ∂ρ
∂P
S
La masse volumique varie isentropiquement deµlorsque la pression varie dep. On a donc au premier ordre
χs= 1 ρ0
µ p
Par conséquent, µ(x, t) =ρ0χsp(x, t) (3)
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