Centrale Physique PSI 2000 — Corrigé

c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 1/18

Centrale Physique PSI 2000 — Corrigé

Ce corrigé est proposé par Jany Keochkerian (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris) et Julien Derr (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris) ; il a été relu par Franck Stauffer (ENS Lyon).

L’épreuve se compose de cinq parties reliées par un même thème : l’utilisation des portraits de phase dans les problèmes de commande d’un moteur à courant continu.

Les parties abordent successivement les problématiques suivantes : modélisation, commande en boucle ouverte, étude en chaîne bouclée, commande en courant, et enfin classification des systèmes auto-oscillants.

Cette épreuve, assez longue mais globalement abordable, fait le point sur de nom- breuses questions classiques du domaine.

Indications

I.B Utiliser la loi d’ Ohm et le théorème du moment cinétique.

I.C La puissance utile d’un moteur estei.

I.D Pour trouverτ^em, considérer la fonction de transfert comme un filtre fréquen- tiel (carp=jω).

II.A preprésente une dérivée temporelle ; on peut donc exprimer l’équation diffé- rentielle correspondant à la fonction de transfert.

II.B Réécrire le théorème du moment cinétique (sans frottements fluides).

II.C Faire des études asymptotiques (pour t proche de0, de⁺∞)

II.D.1 Réécrire le théorème du moment cinétique (avec frottements fluides mais sans courant d’induit).

II.D.2 La loi d’Ohm devrait servir pour passer de la condition initiale surià l’évo- lution deω.

II.D.3 La valeur maximale deαω est atteinte à l’instant initial.

III.B.1 Écrire l’équation différentielle du premier ordre env, puis celle du second en x, transformerxetten leurs homologues tildées. Le coefficient du terme du second ordre est homogène àT⁻².

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 2/18 I. Modélisation

Le moteur à courant continu est modélisé par la force électromotriceede sa source de tension, la résistance d’induitRet le moment C des forces électromagnétiques par rapport à l’axe de rotation. L’inductance est négligée.

On a : e= Φ⁰ω et C = Φ⁰i

I.A La machine est équivalente au schéma suivant :

R i

e u

Si la machine fonctionne avec e > 0, le déplacement se fait vers les x croissants. La conversion du mouvement de rotation du moteur en mouvement de translation du mobile se fait par : x= Dθ (v = Dω). L’inertie totale est modélisée parJ.

En convention récepteur, le courant d’intensité i est orienté dans le sens contraire à celui de la flèche de tension aux bornes du moteur. Le sens dans lequel iest positif d’après cette convention est totalement décorrelé du sens dans lequel se fait réellement le mouvement des électrons dans le circuit.

Le pendant de la convention récepteur est la convention générateur, dans laquelle courant et tension ont même orientation.

I.B On impose la tension E aux bornes du moteur, donc u = E. La vitesse du mobile en présence de frottements fluides est notéev^′; le couple dû à ces frottements fluides est égal à−αω.

– Équation électrique : E = Ri+ Φ⁰ω – Équation mécanique : Jdω

dt = Φ⁰i−αω Le régime permanent impose de plus dω

dt = 0 .

E =











Φ⁰ω siα= 0 Rα ω^′

Φ⁰ + Φ0ω^′ sinon

donc Φ0ω=Rαω^′

Φ⁰ + Φ0ω^′

Or v^′

v = ω^′ ω

donc finalement : v^′

v = 1

1 +Rα Φ²0

(1)

Application numérique: v^′

v = 1

1 + 1,5.10⁻³ (0,17)²

= 0,95

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 3/18

I.C Sans frottements internes, le rendement énergétiquerest égal à : r= ei

Ei = e

E =Φ⁰ω^′ E =ω^′

ω

donc r= 1

1 +Rα Φ²0

Application numérique: r= 0,95 I.D On néglige dorénavant les frottements, donc :

u= Ri+ Φ⁰ω et Jdω dt = Φ⁰i

On introduit par la suite la variable p = jω, utile lorsque l’on effectue la transformation de Laplace. Quelques rappels à ce sujet :

– la transformation de Laplace est linéaire ;

– l’opérateur dérivation par rapport au temps est transformé en une multiplication parpdans l’espace des transformées de Laplace ; – la transformée d’une variable dépendant du temps est notée par la

majuscule correspondante.

En prenant les transformées de Laplace des équations précédentes, on a : JpΩ = Φ⁰I et U = RI + Φ⁰Ω

d’où U = RJpΩ

Φ⁰ + Φ⁰Ω =

1 +pRJ Φ²0

Φ⁰Ω

puis Ω

U = 1/Φ⁰ 1 +pRJ

Φ²0

Par conséquent : T^V.U= V

U = D/Φ⁰ 1 +pRJ

Φ²0

V =pX, donc T^X.U=X

U = D/Φ⁰ p

1 +pRJ Φ²0

Cettecommande en tensionpeut être caractérisée par une constante de temps électromécaniqueτ^em telle que

τ^em= RJ Φ²0

(2)

Application numérique: τ^em= 1,5.10⁻³

(0,17)² = 5,2.10⁻²s

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c Éditions H&K Publié dans lesAnnales des Concours 4/18 La constante de temps se définit de la même façon que pour un filtre fréquentiel : 1

1 +j ω ω⁰

devient 1

1 +pτ puisque τ = 1 ω⁰ .

I.E L’absence de frottements conduit à Ω = Φ⁰

pJI et T^V.I = V

I = DΦ⁰

pJ . Soit la commande en courant:

T^V.I= RD/Φ⁰ pR J

Φ²0

II. Commande en boucle ouverte

II.A On applique un échelon de tension d’amplitude v^lim = DE/Φ⁰. L’équation différentielle qui régit l’évolution de la vitessev(t)est :

v(t) +τ^emdv

dt(t) =v^lim sa solution est : v(t) =v^lim 1−e^−t/τem v= 0,9vlim quande^−t/τem = 0,1, soite^t/τem= 10:

t=τ^emln 10 (3)

Application numérique: t= 0,12 s On pourrait calculer la valeur de E:

i= E−Φ⁰ω

R =E−Φ⁰ω^lim 1−e^−t/τem

R = E

Re^−t/τem i^max=i(0) = E

R = I^max donc E = RI^max= 15V

II.B On impose que i = I^max soit constante. Le théorème du moment cinétique donne alors :

Jdω

dt = Φ⁰I^max= Φ⁰E R Par intégration,w= Φ⁰E

RJ t doncv= Φ⁰DE RJ t= Φ²0

RJv^limt, c’est-à-dire v=v^lim t

τ^em v= 0,9v^limpour t= 0,9τ^em= 4,67.10⁻²s

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