Préparation aux Olympiades de physique Interférences et diffraction.
Extrait du syllabus
:
I- Les ondes en optique.
1- La diffraction.
Mise en évidence : Quand la lumiere passe dans « trou » qui a une taille d de l’ordre de la longueur d’onde, la lumiere est déviée avec une image particuliere :la région concernée par la diffraction (entorse a l’optique géométrique) a une taille angulaire de l’ordre de 2 λ/d.
Cela existe aussi pour des ondes non lumineuses, chaque fois qu’une onde rencontre un obstacle(ex onde sonore)
a- Diffraction par une fente.
En optique, dans le cas d’une propagation dans un milieu a deux dimensions, lorsqu’une onde de longueur d’onde λ arrive en incidence normale sur une fente de largeur d, l’onde est essentiellement diffractée dans un secteur plan, d’origine le milieu de la fente, centré sur la médiatrice de la fenteet d’angle au somment 2θ0 tel que : sinθ0=λ/d
La figure de diffraction comporte une frange centrale tres brillante, dans la direction prévue par l’optique géométrique, entourée de franges secondaires deux fois moins larges et beaucoup moins brillantes. Il faut impérativement que la largeur de la fente soit comparable a λ(ou plus petite) pour que la diffraction puisse s’observer(si d>>λ on observe une image habituelle de fente éclairée)
En particulier, on retrouve qu’il « n’y a pas de diffraction » dans le cas où l’ouverture est tres grande devant la longueur d’onde, soit a >> λ.
Le phénomene se généralise pour une propagation tridimensionnelle :
• dans le cas d’une fente de largeur d et de hauteur grande devant d, la diffraction se fait essentiellement dans la direction orthogonale a la fente, sur un angle 2θ0 tel que : sinθ0=λ/d La frange centrale est d’autant plus large que la fente est étroite ou que λ est grande.
b- Diffraction par une ouverture circulaire de diamètre a.
Dans le cas d’un trou de diametre a, la diffraction se fait selon un cône d’angle au sommet 2θ0 tel que : sinθ0=1,22λ
a .
Enfin, sur un écran situé a une distance D d’une fente de largeur a, il n’y a pas d’étalement dans la
direction de la grande dimension de la fente. Dans la direction orthogonale, la taille de la tache centrale est de
∆ x=2D×tanθ0=2Dθ0=2λD a
2- Pouvoir de résolution d’un instrument d’optique (lunette, microscope ... )
Le pouvoir de résolution, ou pouvoir de séparation, ou la résolution spatiale, est l’angle minimal qui doit séparer deux points contigus pour qu’ils soient correctement discernés par un systeme optique, tel que les microscopes, les télescopes ou l’œil ...
Ce pouvoir de résolution est limité essentiellement par deux phénomenes : la diffraction ou la taille finie des cellules élémentaires des détecteurs. Pour déterminer l’ordre de grandeur de la résolution angulaire, il suffit d’exprimer que la distance d entre deux images ponctuelles discernables est juste supérieure a la taille (en gros le diametre) de l’image de ces points. La taille de l’image d’un point a prendre en compte est le plus grand des deux diametres suivants :
soit la taille de la tache de diffraction, soit la taille d’une cellule élémentaire du capteur.
Dans le cas d’un systeme optique de focale f, de diametre d’ouverture D, travaillant a la longueur d’onde λ, le rayonde la tache de diffraction dans le plan focal image est de l’ordre de
θ0f =1.22λf/D . Deux objets ponctuels a l’infini, séparés par un angle α, donnent des images distantes de αf.
La figure 2 illustre que la limite de résolution due a la diffraction est bien obtenue pour : α0=1.22λ/D .
Le critere de Rayleigh est le suivant (figure 1): deux objets sont tout justes séparés si le milieu du pic central de diffraction de l’image de l’un correspond au premier minimum du pic central de diffraction de l’autre
3- Interférences à deux ondes.
a- Conditions.
Considérons deux ondes sinusoïdales, de même fréquence f = 1/T, qui interferent en un point M où leurs amplitudes respectives sont A1 et A2 (donc leurs intensités I1=A12 et I2=A22 ). Si les signaux associés aux ondes en M sont déphasés de ψ(M), le signal résultant est encore sinusoïdal, de même fréquence f d’amplitude A(M) telle que :
b- Notion de chemin optique
δ=(n1d1+n2d2)−(n0d0) est la différence de marche. Les quantités nidi portent le nom de chemin optique. C’est une ”distance effective”, distance que parcourait la lumiere si elle était dans le vide, ce qui permet d’utiliser la vitesse de la lumiere dans le vide ou la longueur d’onde dans le vide λ dans la formule des déphasages.
d- Bilan des interférences en optique
• Il faut une unique source S (deux sources différentes n’interferent pas)
• Il faut deux chemins de la source S au point M où on observe les interférences
• On utilise le chemin optique : indice × distance
• On calcule la différence de marche = δ(M) = différence de chemin optique
• Le déphasage en M est alors φ(M)=2πδ(M)
λ .
Pour une source polychromatique, dont le spectre contient les longueurs d’onde λi, on calcule l’intensité pour chaque composante du spectre séparément :
Ii(M)=I1(λi)+I2(λi)+2I1I2cos 2πδ(M) λi
Il faut ensuite a sommer toutes ces intensités puisque les longueurs d’onde différentes n’interferent pas entre elles, soit :
I(M)=ΣIi(M)
4- Interférences à 2 ondes
: Fentes d'Young : Diffraction par deux fentes de largeur e, espacées de a.
On considere la diffraction a l’infini. Chaque fente diffracte dans un secteur angulaire d’angle au sommet 2θe tel que
Or, dans la direction θ, deux rayons, provenant chacun d’une des deux fentes, interferent. Leur différence de marche est donnée par :
Il y aura donc interférence constructive dans les directions θp telles que :
où p est un entier relatif.
On aura donc des franges d’interférences séparées angulairement de λ/a, mais uniquement dans le secteur angulaire de diffraction : il y aura un nombre N limité de franges dans la tache centrale de diffraction, comme le montre la figure ci-dessous.
Si a >> e, le nombre de franges dans la tache centrale de diffraction est donc donné par :
Si la condition a >> e n’est pas remplie, il suffit de compter les franges ! Pour cela, on calcule l’ordre d’interférence associé a θmax = θe, soit pmax=aθe
λ =a/e . Les franges brillantes correspondent aux entiers contenus dans l’intervalle ouvert ] − pmax, pmax[
II- Lames minces.
On se limitera ici a des montages simples permettant de comprendre l’essentiel de l’ étude d’interférences produites par des lames minces transparentes d’indice n.
http://uel.unisciel.fr/physique/interf/interf_ch05/co/simuler_ch05_01.html
1- Coefficients de réflexion et de transmission.
Lorsqu’une onde d’amplitude A0 arrivesur un dioptre séparant le milieu incident d’indice n1 et le milieu émergent d’indice n2 , les amplitudes des ondes transmise et réfléchie sont
respectivement données par At=t A0 et Ar=rA0 ou` t et r sont les coefficients de transmission et réflexion en amplitude. On peut montrer que :
Dans la plupart des cas, la lame de verre est plongée dans l’air, donc n_0 = 1. Pour simplifier, on pose alors r2=− r1=r>0 . Dans le cas d’une lame de verre (n = 1.5) plongée dans l’air (n0 = 1), les amplitudes des différentes ondes a prendre en compte sont données dans le tableau 1.
On comprend que l’on peut dans ce cas se limiter a l’étude de l’interférence des deux premieres ondes. D’autre part, comme les amplitudes des ondes réfléchies sont voisines, les interférences par réflexion sont plus contrastées (même si elles sont moins lumineuses) que celles obtenues par trans- mission.
2- Différence de marche introduite par une lame mince.
Pour une longueur d’onde λ dans le vide, le déphasage φt (resp. φr) entre les deux premiers rayons transmis (resp. réfléchis) successifs est donné par :
3- Interférences en lumière monochromatique puis lumière blanche.
Si on éclaire une lame mince d’épaisseur e et d’indice n (plongée dans l’air) par une onde plane (faisceau de lumiere parallele) en incidence normale, le déphasage est alors de φt = 2πδ/ λ en transmission et de φr = 2πδ/ λ + π en réflexion (a cause du déphasage de π a la premiere réflexion). La différence de marche a pour expression δ = 2ne et la seule façon de voir une modulation de l’intensité réfléchie est de jouer soit sur l’épaisseur e, soit sur la longueur d’onde.
Par exemple, si on éclaire par une onde monochromatique de longueur d’onde λ, l’intensité de l’onde réfléchieest de la forme : I(λ)=I0(1−cos2πδ
λ ) .
Si on éclaire le dispositif par de la lumiere blanche, les différentes longueurs d’onde du spectre auront des états d’interférence différents : il apparaît donc des ”franges” dans le spectre, appelées cannelures. En réflexion (avec un déphasage de π supplémentaire), les longueurs d’onde λp ” éteintes” (cannelures sombres) sont telles que :
Dans le cas de la transmission, le spectre est complémentaire : les longueurs d’onde λp
correspondent aux cannelures brillantes. Un exemple d’un tel spectre est représenté sur la figure 7.
Selon la valeur de la différence de marche δ, la position des cannelures differe : l’évolution des couleurs en fonction de δ constitue l’échelle des teintes de Newton, représentée sur la figure 8. On comprend que lorsque δ augmente, les cannelures se rapprochent et les couleurs sont alors de moins en moins contrastées. Au dela d’une certaine valeur de δ, le contraste est si faible que l’on observe du blanc, appelé blanc d’ordre supérieur.
4- Franges d’égale épaisseur.
On se propose d’étudier ici le cas de lames minces dont l’ épaisseur e(M) est non uniforme : elle dépend de la position M considérée sur la lame.
http://uel.unisciel.fr/physique/interf/interf_ch05/co/observer_ch05_01.html
Si on éclaire une telle lame sous incidence normale en lumiere monochromatique de longueur d’onde λ, comme le montre la figure 9 , le déphasage, qui s’ écrit ,
dépend de la position M considérée sur la lame par l’intermédiaire de l’ épaisseur variable e(M).
Exemple :
ou en lumière blanche
:
III-Les réseaux de diffraction
1- Formule fondamentale des réseaux.
Un réseau par transmission est constitué d'un très grand nombre de fentes très fines et séparées d’une distance a appelée « pas »du réseau. N=1/a représente le nombre de traits par unité de longueur.
Eclairé sous un angle d’incidence θi , il diffracte la lumière
de longueur d’onde λ dans des directions θk données par:
sin(θ)−sin(θi)=k λ a
où k est un entier relatif . C’est la condition d’interférences constructives d’ordre k .
Dans le cas par transmission, on définit la déviation du réseau par la relation D=θp−θi; on peut montrer que si l’on fait varier l’angle d’incidence alors la déviation |D| passe par un minimum pour
θi=−θp pour un ordre d’interférence p donné.
Remarque : Les réseaux usuels comportent 50 a 500 traits par mm sur une largeur de 5 cm.
2- Allure de l'intensité diffractée.
Pour N élevé, la figure de diffraction est essentiellement composée de pics principaux de diffraction pour lesquelles les N ondes diffractées sont toutes cohérentes et en phase : δgéo = n d sinθ = mλ Formule fondamentale des réseaux sous incidence normale :
m est appelé l’ordre d’interférence.(chaque m est un pic ;par ex m=0 est le pic d’ordre 0) Les ordres m permis sont en nombre limité avec m < λ/a .
La largeur des pics principaux varie en 1/N(fig caractéristique pour une longueur d’onde ;la formule donne largeur des pics principaux=λ/Na)
Utilisation en lumière polychromatique :Le spectroscope a réseau fournit autant de spectres de l’élément qu’il y a d’ordres m permis non nuls, plus une image géométrique non dispersée,
correspondant a m = 0, et dont la couleur est celle de la source de lumiere « brute » . Contrairement au prisme, le réseau dévie plus le rouge que le bleu.
Bilan :
3- Résolution en spectroscope – Pouvoir séparateur .
IV- Diffraction de Bragg
La loi de Bragg est une loi empirique qui interprete le processus de la diffraction des radiations sur un cristal. Elle fut découverte par W.H. et W.L. Bragg vers 1915. Lorsque l’on bombarde un cristal avec un rayonnement dont la longueur d’onde est du même ordre de grandeur que la distance inter- atomique, il se produit un phénomene de diffraction. Comme pour les réseaux, les conditions de diffraction donnent les directions dans lesquelles on observe des pics d’intensité diffractée par le cristal.
1- Principe de la diffraction sur un cristal
Lorsqu’un cristal est irradié par un faisceau de rayons X, chaque atome du cristal diffuse une onde qui se propage dans toutes les directions et ces ondes, issues des différents atomes, interferent.
Du fait de l’organisation réguliere du cristal, on peut observer dans certaines directions de l’espace des interférences destructives et dans d’autres des interférences constructives. Dans ce dernier cas, on observe sur un détecteur (un film photographique, une cellule CCD, etc.) des tâches de
diffraction dont la répartition est caractéristique de la structure du cristal.
On se contente du modele de Bragg qui permet d’interpréter simplement les observations expérimentales.
2- Loi de Bragg
Pour justifier cette loi, on considere que tous les atomes du cristal sont situés dans plans imaginaires équidistants de d. On considere alors que ces plans, qui portent le nom de plans réticulaires, se comportent comme des miroirs pour la lumiere incidente. On montre alors que les directions 2θ de l’espace dans lesquelles on aura des pics d’intensité vérifient :
où d est la distance interréticulaire, c’est-a-dire distance entre deux plans cristallographiques ; θ est l’angle de Bragg, c’est-a-dire le demi-angle de déviation (moitié de l’angle entre le faisceau incident et la direction du détecteur) ; p est l’ordre de diffraction (nombre entier) ; λ est la longueur d’onde du rayonnement incident.
Complément :
Interférences présentées par des éleves de l'école Alsacienne se préparant aux Olympiades de physique :
https://vimeo.com/123642355
