Sur les polygones de Poncelet I.
J Parizet, 24 février 2009
L’étude des polygones de Poncelet relatifs à deux coniques propres du plan affine peut se conduire en utilisant une représentation paramétrique de la conique circonscrite aux po- lygones.
Aussi va-t-on étudier dans cette partie les paramétrisations régulières d’une conique propre du plan affine, complété par la droite de l’infini, à partir de son équation en coordon- nées barycentriques, qui permettent de définir le rapport anharmonique de quatre points de la conique.
Et on la termine en considérant les homographies du plan affine
1. Paramétrisation régulière d’une conique
1.1 ; Paramétrisation régulière la plus simple
a. Étant données la conique propre Γ et deux points B et C de Γ dont les tangentes se coupent en A, l’équation barycentrique de la conique dans le triangle de référenceT(ABC) s’écrite
α2 = 2pβγ où p est un réel non nul.
En coupant la conique par une droite issue de B, dépendant du paramètre t, d’équationα= tγ où apparaissent tangente et corde issues de B, on obtient en dehors du point B le point
Mt ∼= (2pt,t2,2p)
cΩ
Dt
c c
c
C A B Mt
Paramétrisation de la conique par Dt
On en déduit :
legenrede la conique : la droite de l’infini ayant pour équationα+β+γ = 0, les directions asymptotiques correspondant aux racines de l’équation
t2 +2pt +2p = 0, de discriminant réduit p (p-2),
une parabole pour p=2, une ellipse pour 0<p<2, une hyperbole pour p<0 (B et C sont sur les branches différentes) ou pour p>2 (B et C sont sur la même branche de la courbe),
lecentre de la conique (si p6= 2) : la matrice de l’équation de Γ et son inverse étant
Σ =
1 0 0
0 0 −p 0 −p 0
, Σ−1 ∼=
p 0 0
0 0 −1 0 −1 0
,
le centre est le point Ω ∼= (p,−1,−1) : la droite joignant A au centre passe par le milieu de [BC] comme il se doit.
b. La tangente à Γau point Mt a pour équation (à partir de Σ) Tt : 2tα −2pβ −t2γ = 0
On retrouve cette droite en considérant la corde (MtMu) dont la colonne des cœfficients de son équation est1
Dtu=
2pt
t2 2p
×
2pu
u2 2p
∼=
t + u
−2p
−tu
(t6=u)
Lorsque u → t Dtu tend vers la colonne des cœfficients de l’équation de la tangente en Mt.
Connaissant la matrice de l’équation tangentielle de Γ on obtient immédiate- ment le pôleMtu de la corde (MtMu) :
Mtu ∼=
p 0 0
0 0 −1 0 −1 0
·
t + u
−2p
−tu
=
p(t + u) tu 2p
.
c. Il est commode de supposerR complété par un élément à l’infini (noté ∞) et que t décrit la droite projective ; ainsi C=M0 et B=M∞. Et si la conique est à centre, ses points à l’infini ont pour paramètres t1 et t2 racines de l’équa- tion du second degré donnée plus haut : t1 + t2 = −2p,t1t2 = 2p; puisque le centre est le pôle de cette corde qui est la droite de l’infini, on retrouve Ω ∼= (−2p2,2p,2p) ∼= (p,−1,−1).
1.2. Paramétrisation régulière générale
a. Soit la courbe plane (C) définie paramétriquement par ses coordonnées barycentiques relatives à un triangleT(ABC) telles que
Mt ∼= (P(t),Q(t),R(t))
où P, Q, R sont des polynômes (dont aucun n’est nul) non proportionnels deux à deux et de degrés au plus deux, l’un au moins étant du second degré. Véri- fions qu’il s’agit en général d’une conique.
En considérant Mt comme matrice ligne et en notant U, V, W les colonnes des cœfficients des termes en t2, t et constants de P, Q, R : pour Mt ∈C
tMt =
α β γ
= kt(Ut2+ Vt + W) , kt étant un réel dépendant de t.
Notons δ le déterminant |U V W| ; alors
Mt·(V×W) =δktt2, Mt·(W×U) =δktt, Mt·(U×V) =δkt,
1le produit en croix intervient dans le déterminant : det(U,V,W)=U(V×W)
soit
D1(Mt) = δktt2, D2(Mt) =δktt, D3(Mt) = δkt
lesDi non nuls correspondant à des équations de droites.
Si δ est nul, (U,V,W) sont liés ; supposons U6= 0 car au moins l’un des poly- nômes est du second degré.
1) Si U×V=U×V=U×V=0, (P, Q, R) sont deux à deux proportionnels ; le point Mt est fixe. Ce cas était exclu à priori.
2) Sinon :
. si V=aU, P, Q et R sont du premier degré en t2+at, . si W=aU ces polynômes sont du premier degré en t2+a,
. et si V=aW, (P,Q,R)=(1+at)(P1,Q1,R1) où P1,Q1,R1 sont du premier degré en t2/(at+b).
Dans ces trois cas (C) est une droite.
Supposons δ6= 0. En éliminant ktδt des trois relations on obtient D22 = D1D3 équation d’une conique.
Les trois droites ne sont pas concourantes en un même point ou parallèles, sinon U×V,V×W,W×U sont liés en contradiction avec δ 6= 0. On dit que la représentation paramétrique est propre.
• Lorsque les trois droites sont concourantes en trois points distincts du plan A,B et C, en prenant le triangleT(ABC) pour référence :
D2 = aα, D1 = bβ, D3 = cγ d’où α2 = 2pβγ avec 2p = bc/a2. Et le point Mt vérifie
Mt ∼= D2
a ,D1 b ,D3
c ∼=
ct a,ct2
b ,1
∼= (2pu,u2,2p) avec u=ct/a et (C) est une conique paramétrée simplement en u.
• Si l’un des points, par exemple A intersection de D1 et D3, est à l’infini les droites correspondantes D1 et D3 sont parallèles. Gardons B et C et prenons A’ sur D3 qui passe par B. Dans le triangle T0(A’BC), D’1 étant la parallèle à D3 issue de C, les équations de ces droites s’écrivent
D1 = b(α0 +β0), D2 = aα0,D3 = cγ0
et celle de (C) :α02 = 2p(α0+β0)γ0 où 2p=bc/a2; les expressions de D1,D2,D3 en termes de ktδ et t conduisent à la représentation paramétrique plus simple de (C) dans T0
α02 = 2p(α0+β0)γ0 ⇒Mt ∼=
t, t2
2p−t,1
Exemples usuels dans un repère orthonormé (O,~i,~j), auquel correspond le triangleT(O,O+~i,O+~j) — x=β, y=γ (et α=1-x-y) :
la droite donnant la paramétrisation pivote autour d’un point de Γ (à l’infini pour l’hyperbole et la parabole) en faisant intervenir tangente en ce point et corde issue de ce point.
. Pour l’ellipse d’équation a2 y2 = b2 (x+a)(a-x), et la droite y=t(x+a) x = a1−t2
1 +t2, y = 2bt
1 + t2 et avec t=tg(θ/2) : x=a cosθ, y=b sinθ . pour l’hyperbole (bx-ay)(bx+ay)= a2 b2, et la droite bx+ay=ab t
x = a 2
t+1
t
, y = b 2
t−1 t
et avec t=εeϕ : x= εachϕ, y= εbshϕ . et pour la parabole y2= 2p x, et la droite y= 2p t, x=2p t2.
La courbe lieu de Mt =
2t(t−1), t2,(t−1)2
a pour équation α2 = 4βγ : c’est la parabole (p = 2) tangente en B et C à (AB) et (AC), pour t = 1 et t= 0, intervenant dans l’approximation graphique de Bézier utilisée par LATEX.
b. Corde et tangenteSoient dans la paramétrisation régulière donnée deux points distincts Mt et Mu de la courbe. Avec les notations initiales, la corde (t6=u) joignant ces points a pour cœfficients ceux de la colonne
(U t2+V t+W)×(U u2+V u+W)∼= U×V tu+ U×W (t+u) + V×W Les cœfficients de cette tangente étant du second degré en t, par une démarche semblable à la précédente on obtient l’équation tangentielle de la courbe.
Directement, on obtient les colonnes de la corde et de la tangente ; Mt×Mu ∼=
P(t) Q(t) R(t)
×
P0((t + u)/2) Q0((t + u)/2)) R0((t + u)/2))
,
P(t) Q(t) R(t)
×
P0(t) Q0(t) R0(t)
3. Deux représentations paramétriques régulières se déduisent l’une de l’autre par une transformation homographique
a. Algébriquement, soient deux représentations paramétriques régulières de la conique propre, dans un triangle de référence
U t2 + V t + W ∼= U’ u2 + V’ u + W’
Puisquedet(U,V,W)6= 0, U’, V’, W’ sont combinaisons linéaires de (U, V, W) ; on en déduit trois polynômes non nuls de degré deux au plus A, B, C tels que
(t2, t, 1) ∼= (A(u), B(u), C(u)) ;
B est de degré deux et puisque B2=AC, A et C divisent B. On en déduit le résultat : par exemple
si B=b(u-u1)(u-u2), nécessairement A=aB/b, C=b2B/a et t=a
b · u−u1 u−u2, si B=b(u-u0)2, nécessairement A=a(u-u0) , C=cA/a et t = a
b·(u-u0).
t et u (de la droite projective) correspondant au même point de Γ, t est donc fonction homographique ou affine selon que B a des zéros simples ou un zéro double.
b.Géométriquement, en utilisant les représentations paramétriques simples définies en §1.
1) Supposons les deux paramétrages dont les droites (D1, D2, D3) et (D’1, D’2, D’3) se rencontrent en A, B, C et A’, B’, C’ du plan (aucune à l’infini).
Paramétrons simplement la courbe à partir des points B et B’ en t et u (quitte à les multiplier par un scalaire), alors B’ et C’ correspondent à t1 et t2.
a a
a a
a
a A
B
C Mt= M(u)
a A’
B’
C’
Changement de représentation paramétrique
Dans le triangle (ABC), α2−2pβγ = 0 conduit aux équations paramétriques deΓ : Mt ∼= (2pt,t2,2p) et à celle de (Bt1M(u)) pour paramétriser la courbe
selon u :
(t1+ t2)α−2pβ+ pt1t2γ) = ku(2t1α−2pβ−t21γ = 0
En faisant intervenir la corde (B’C’) et la tangente en B’ à la courbe, k étant une constante non nulle, si Mt est sur cette droite, t vérifie la relation
(t-t1)(t-t2)=ku(t-t1)2 d’où en plus de Mt1=B’, Mt=M(u) où
u = 1 k
t−t2 t−t1
.
2) Dans le cas envisagé au §2.a où deux des droites données par la paramétri- sation initiale sont parallèles, on peut l’écrire à partir de B par exemple
Mt ∼=
t, t2
2p−t,1
On se ramène à une paramétrisation simple à partir du point M2p ∼=(0,1) à l’aide de la corde (M2p ) et de la tangente en M2p, dans le triangle T0(A’BC) ; Γ ayant pour équation α02 = 2p(α0+β0)γ0 ses équations paramétriques sont α02 = 2p(α0+β0)γ0 d’où la sécante u issue de M2p α0−2pγ0 =u(α0−β0−2pγ0 qui rencontre Γ au point Mt, t racine de t-2p=-u(t-2p)2; à part t=2p, on obtient le point correspondant à t=2p(u-1)-u ou u=2p/(2p-t).
3) La composée de deux ou plusieurs transformations homographiques étant une homographie, on conclut.
2. Rapport anharmonique de quatre points d’une conique propre
2.1. Rapport anharmonique de quatre points alignés
Selon la définition traditionnelle, le rapport anharmonique (ou birapport2) de quatre points alignés distincts M1,M2,M3,M3d’affixes respectives x1,x2,x3,x3 dans un repère (O,~i) de la droite est
[M1,M2,M3,M3]=x3 −x1
x3 −x2 · x4−x2
x4−x1 , nombre noté aussi [x1,x2,x3,x3] Ce nombre, invariant dans les transformations (xi 7→xi , xi 7→axi) qui corres- pondent aux changements d’origine ou d’unité du repère, ne dépend que des quatre points et non de la manière de les repérer : le rapport anharmonique (ou birapport) des quatre points distincts.
Ce birapport peut s’exprimer en termes de coordonnés barycentriques : le point M d’abscisse x a pour coordonnées barycentriques pour (O,O+~i=A) α=1-x,β=x ; ainsixi−xj =
αj αi βj βi
=δj i et [M1,M2,M3,M3]=δ3 1 δ3 2
· δ4 2 δ4 1
. On peut même y remplacer les αi, βj par les α0i, βj0 proportionnels : Mi ∼= (α0i, βj0), les cœfficients de proportionnalité se simplifiant dans ce double quotient.
Les coordonnées barycentriques permettent de définir le birapport de quatre points distincts de la droite projective puisque son point à l’infini peut s’écrire
∞=O−A=(1,−1) ; ainsi [∞,O,A,M]=x abscisse de M dans (O,−→
OA).
2car quotient de deux rapports
2.2. Rapport anharmonique de quatre droites d’un faisceau
Un faisceau F de droites est l’ensemble des droites passant par le même point du planP (faisceau de droites de sommet ce point) ou parallèles (passant par le même point à l’infini). C’est manifestement la notion duale de points alignés sur une droite du plan et la démarche est la même :
. une droite Di du faisceau est définie à partir de deux d’entre elles par la relation Di =λiD +µiD0 (où Di,D, D’ sont leurs équations), (λ0i, µ0i) ∼= (λi, µi) ssi les droites sont les mêmes,
. D1,D2,D3,D4 étant quatre droites du faisceau, δi j le déterminant
λj λi µj µi
construit à partir des cœfficients de Di et Dj, le nombre δ3 1
δ3 2 · δ4 2
δ4 1 ne dépend pas du repérage des droites dans le faisceau, ni du repère donnant leurs équa- tions
. et on le note [D1,D2,D3,D4], rapport anharmonique (ou birapport) des quatre droites.
Si les quatre droites Di sont concourantes, dirigées par les vecteurs~vi, ont peut exprimer leur birapport à l’aide des composantes de ces vecteurs dans une base et considérer ce birapport comme celui des points à l’infini des droites.
. Le birapport de quatre droites d’un faisceau est celui de leurs traces sur une droite les coupant.
.Si le faisceau est formé de droites concourantes en A, Mi étant les traces des droites sur la droite qui les coupent (un seul au plus des Mi étant à l’infini), dans le triangle de référence (AM1M0)
– M1=(0,1,0), M2=(0,0,1), M3=(0,a,a), M4=(0,b,b)
– D1 :γ = 0, D2 :β = 0, D3 : aβ−aγ = 0, D3 : bβ−bγ = 0 d’où [M1,M2,M3,M4]= a b
a b=[D1,D2,D3,D4].
. Si le faisceau est à droites parallèles, dans le repère d’origine M1, de premier vecteur−−−→
M1M2 et de second vecteur dirigeant D1 les abscisses de M1,M2,M3,M4 sont 0,1,x3,x4 et les équations des droites correspondantes x=0,x=1,x=x3,x=x4
et l’on conclut.
.Division, faisceau harmonique: il s’agit de points ou de droites de birap- port -1.
Quatre points d’abscisses x1 sont en division harmonique [M1,M2,M3,M4]= -1 ssi
2(x1x2+ x3x4) = (x1+ x2)(x3+ x4)
Les points (M1,M2) jouent un rôle symétrique, comme les points (M3,M4) : on peut dire qu’il s’agit de couples en division harmonique ; si l’un des points est milieu du segment défini par l’autre couple, le second point est à l’infini sur la droite.
2.3. Rapport anharmonique de quatre points d’une conique propre C’est celui des valeurs de leurs paramètres dans une représentation régu- lière car, dans une autre représentation régulière, elles se déduisent de celles-ci dans une transformation homographique qui succession éventuelle de trans- lations, d’homothéthies et d’inversions (x7→1/x) laissent chacune invariant le birapport.
Le birapport de quatre points d’une conique est celui des droites du faisceau de sommet situé sur la conique les contenant.
En effet soient M1,M2,M3,M4 ces quatre points et B un autre point de la co- nique : en la paramétrant à partir d’une corde issue de B et de la tangente en B selon comme on l’a vu α = t γ, il s’en suit que le birapport des ti est celui des points Mi et des droites (B Mi)
Quadrangle harmonique inscrit dans une conique : quadrangle de sommets sur une conique de birapport -1, donc en division harmonique.
Lorsque la conique est un cercle, on parle de quadrangle harmonique, sous en- tendant la cocyclicité.
Propriétés. Si quatre points (A,B,C,D) d’une conique Γ forment un qua- drangle harmonique :
.la droite (BC) passe par le point d’intersection des tangentes en A et B à Γ, . I étant le milieu de [AB], la droite (CI) recoupe Γ en un point situé sur la parallèle à (AB) issue de D.
En effet
.O’ étant le pôle de (AB), intersection des tangentes en A et B, la droite (O’C) recoupeΓen D1et (AB) en E, la division (O’ECD1) est harmonique, donc aussi le faisceau (TB(Γ), BA,BC,BD1) comme le faisceau (TB(Γ), BA,BC,BD) : D1=D.
.D’ étant ce point, dans le faisceau harmonique de sommet D’ dont les droites contiennent les quatre point, (D’B) passe par le milieu de [AB] car elle ren- contre (AB)à l’infini.
Illustrons ces propriétés dans le cas du cercle Cas du cercle
Dans le plan de Gauss-Argand, soient quatre points définis par leurs affixes Mi(zi) :
.ils sont cocycliques (ou alignés) si le birapport [z1,z2,z3,z4] est réel,
. ce sont les sommets d’un quadrangle harmonique (ou forment une division harmonique) lorsque ce birapport vaut -1.
Le birapport étant réel, si l’un des rapports (z3-z1)/(z3-z2) ou (z4-z1)/(z4-z2) est réel, l’autre l’est aussi donc les points images sont alignés et réciproque- ment.
Supposons ces rapports non réels et vérifions que les points Misont cocycliques ssi leur birapport est réel.
O
D’ D
I
B A
O’
C
O”
J (C)
Quadrangle harmonique
1) Dans une transformation affine sur les zi, qui laisse invariant leur birapport, on peut supposer que les points cocycliques Mi sont sur le cercle unité. Puis- qu’alors l’inverse de zi est son conjugué et que le birapport est invariant en changeant ces zi en leurs inverses, il s’en suit que le birapport est réel lorsque ces points sont cocycliques.
2) Supposons trois des points sur le cercle unité par exemple M1,M2,M3; un calcul direct utilisant zi = 1/zi conduit à
[z1, z2, z3, z4]−[z1, z2, z3, z4] = (z3−z1)(z1−z2)(zz−1) z1(z3−z2)|z−z1|2 Si ce birapport est réel, le quatrième point est sur le cercle unité.
Vérifions que le birapport des affixes est celui des quatre points cocycliques définis via une représentation paramétrique régulière du cercle. C’est évident car dans le repère cartésien du plan de Gauss-Argand, z=a+Reiθ conduit à des coordonnées barycentriques de triplet équivalent à des polynômes du second degré en t=tg(θ/2; directement d’ailleurs
zk−zl= Rei(θk+θl)/2·2isinh
(θk+θl)/2i
= 2icos(θk/2) cos(θl/2)(tk−tl) d’où [z1, z2, z3, z4] = [t1,t2,t3,t4] = [M1,M2,M3,M4]
Propriétés particulières dues à la métrique euclidienne
Supposons l’origine du repère en I, milieu de [AB), les points ayant pour affixes A(a),B(-a) a réel, C(c) et D(d). Le quadrangle étant harmonique cd=a2. D’ ayant pour affixe d’=−d = −(a2/|c|2)·d : I est entre C et D’ et ces points sont alignés.
Mais de plus la relation cd=a2 montre que les vecteurs −→ IC et −→
ID sont symé- triques en direction par rapport à la droite (AB),
et la relation
c + d 2 −a
−
c + d 2 −a
= |c + a|2+|c−a|2
2|c| = cc+ a2 2|c|
soit |c|+ a2
|c| , s’écrit IC + ID = JA + JB.
Les droites (AB) et (CD) n’étant pas diamètres du cercle ont pour pôles O’ et O” centres de cercles orthogonaux au cercle du quadrangle harmonique qui sont orthogonaux entre eux.
Pour vérifier ce point considérons une inversionI(Ω,k) :z 7→ω+k/(z−ω)qui transforme un birapport en son conjugué : dans cette inversion l’image d’un cercle ou d’une droite est un cercle ou une droite car conserve le birapport des quatre de leurs points. Si le pôle de l’inversion est sur le cercle, son image est une droite3 . Considérons par exemple l’inversion de pôle A (du dessin) et de puissance AB2 – elle conserve B et transforme C(c) et D(d) en C’(c’) et D’(d’)
— a réel et c, d complexes vérifient cd=a2 ou (c-a)(d-a)=-a[(c-a)+(d-a)] qui donne dans l’inversion 4a=-(c-a+d-a) ou encore -a(c+d)/2 : B est le milieu de [C’D’]. Ainsi les cercles se coupant en A se transforment en deux droites dont l’une est (C’D’) ; mais l’inversion conservant les angles (au signe près) les droites sont perpendiculaires, et le troisième cercle, passant par C et D, orthogonal au cercle du quadrangle harmonique, a pour inverse le cercle de diamètre (C’D’) et de centre B — il est donc orthogonal à la seconde droite : les cercles de centres O’ et O” sont orthogonaux.
3. Transformation homographique et transformation affine
Sur R une fonction affine t 7→ t0 = a0t +b0 est un cas particulier d’une fonction homographique t 7→t0 = (at+b)/ct+d) surR lorsque celle ci laisse invariant le point à l’infini : alors c= 0 eta0 =a/d, b0 =b/d.
Il est commode d’écrire matriciellement une fonction homographique ou affine, pour les composer ou les itérer, par exemple selon
1 t0
∼=
d c b a
· 1
t
∆étant une droite (affine) rapportée à un repèreR(A,~i= B−A, les fonc- tions précédentes correspondent à des transformations M7→M0 en considérant t et t0. (t, t= 1−t) et ((t0, t0 = 1−t) étant les coordonnées barycentriques de M et M0 relatives à (A,B), la transformation homographique s’exprime selon
t0 t0
∼=
d−b c+d−a−b
b a−b
· t
t
L’égalité de la somme des cœfficients des colonnes de la matrice s’écrit d=c+d, soitc= 0 : il s’agit alors d’une transformation affine si cette somme d n’est pas nulle.
3.1 Définition
Pour définir une transformation homographique (ou homographie) sur P, considérons le plongement de P dans un espace vectoriel E3 dont il est un sous-espace affine d’espace directeur E2 celui de P : E2 est le noyau de la forme linéaire ϕtelle que P =ϕ−1({1}).
Considérons un vecteur X~ de E3 :
• ou la droiteRX~ rencontre P :X/ϕ(~ X)~ est ce point d’intersection,
3Dans une inversion de pôle M1(z1) les trois autres points M’i(Zi) cocycliques avec M1se transforment en des points alignés car le birapport [∞, Z2, Z3, Z4] qui se réduit à un rapport est le conjugué du birapport des quatre points initiaux,et il est donc réel.
• ou elle ne le rencontre pas (X~ ∈E2) : elle définit une direction de P et son point à l’infini appartient au complété projectif du plan.
F étant un automorphisme de E3.
1)siF conserve E2 (F|E2 est un automorphisme de E2),ϕ◦F est constante sur P puisque quel que soit M,N du planϕ(F(M))−ϕ(F(N)) =ϕ(F(M−N)) = 0 car M−N est un vecteur de E2.
F conduit alors à une application bijective g deP définie pour M ∈ P ⊂E3, par
M 7→g(M) =F(M)/ϕ(F(M)) =F(M)/k
où k est la valeur fixe de ϕ◦F surP. On retrouve une transformation affine deP : quels que soient M et ~x deP et E2
g(M+~x) = F(M +~x)/k =F(M)/k+F(~x)/k soit g(M) +f(~x) oùf =F|E2/k est un automorphisme de E2.
2) si F ne conserve pas E2, l’application M 7→ h(M) = F(M)/ϕ(F(M)) est définie pour les points M deP vérifiant ϕ(F(M))6= 0 c’est à dire n’apparte- nant pas à la droite Dh trace sur P de l’hyperplan image réciproque parF de E2. ϕ(F(M))n’est pas constant : il est nul lorsque M ∈Dh.
On dit que h est une transformation homographique (ou homographie) du plan affine. Notons qu’à kF correspond la même homographie qu’àF.
Composition
La composée de deux homographies est l’homographie correspondant au com- posé des automorphismes définissant les homographies données.
Sih1(M) = F1(M)
ϕ◦F1(M), h2(M) = F2(M)
ϕ◦F2(M) alors h2 ◦h1(M) = F2 ◦F1(M) ϕ◦F2◦F1(M) en supposant les dénominateurs non nuls.
Car F etϕ étant linéaires F2h F1(M)
ϕ◦F1(M) i
= F2◦F1(M)
ϕ◦F1(M) , ϕhF2◦F1(M) ϕ◦F1(M)
i
= ϕ◦F2◦F1(M) ϕ◦F1(M) SiF1 etF2 sont inverses, il en est de même deh1 et h2.
3.2 Conservation de l’alignement et du rapport anharmonique Dans une homographie quatre points alignés restent alignés et leur rapport anhamonique est conservé.
Les quatre points distincts A, B, C et D étant distincts et alignés, repérons C et D dans (A B)
C=λA+λB, D=µA+µB etF(C)=λF(A)+λF(B), F(D)=µF(A)+µF(B).
Considérons une homographie h donnée par l’automorphisme F de E3.
•Sih(A) eth(B) sont définies, il en est de même deh(C). Notons A0, B0 et C0 ces points de P. De l’expression de F(C) on déduit
ϕ◦F(C) =λ[ϕ◦F(A)] +λ[ϕ◦F(B)] et [ϕ◦F(C)] C0 =λ[ϕ◦F(A)] A0+λ[ϕ◦F(B)] B0
C0 est barycentre de A0 et B0 : C0=(λ[ϕ◦F(A)], λ[ϕ◦F(B)]). Ces trois points sont alignés et
AC
AD =−λ
λ et A0C0
A0D0 =−λ[ϕ◦F(B)]
λ[ϕ◦F(A)]
Les points D et D0 vérifient des relations analogues, avec µ etµ; ainsi [A0,B0,C0,D0]=[A,B,C,D]
Si ϕ◦ F(A) = ϕ◦F(B) alors C0 est barycentre de (A0,B0) avec les mêmes cœfficients que C barycentre de (A,B). Si h est une transformation affine, elle conserve le barycentre.
• Si h(A) n’est pas définie mais que h(B)=B0 l’est ; en notant ~a = F(A)/ϕ◦ F(B)
C0 =λ~a/λ+ B0, D0 =λ~a/λ+ B0
A n’a pas d’image dans h (c’est un point de Dh) et sur la droite (C0D0) [∞,B0,C0,D0]=[A,B,C,D]
3.3 Expression analytique
Pour exprimer analytiquement ces transformations, utilisons des bases de E3 correspondant à des repères du plan affine : le triangle de référenceT(ABC) du plan est base B(A,B,C) de E3. Ainsi F s’exprime dans cette base par la matrice
a a0 a00 b b0 b00 c c0 c00
.
1) Si F|P est une transformation affine, ϕ(F(B−A))=ϕ(F(C−A))= 0 et réci- proquement, soita+b+c=a0+b0+c0 =a00+b00+c00: les sommes des cœfficients des colonnes de la matrice sont égales ; cette somme estk=ϕ(F(A))et la ma- trice de g (celle deF divisée par k) dans la base B(A,−→
AB,−→
AC) a la forme bien connue exprimant g en termes de composantes (x,y) dans cette base
à partir de
α0 β0 γ0
= 1 s
a a0 a00 b b0 b00 c c0 c00
·
α β γ
soit
M 7→M0 =g(M) :
1 x0 y0
=
1 0 0
b/s (b0 −b)/s (c0−c)/s c/s (c0 −c)/s (c”−c)/s
1 x y
La première colonne correspond à g(A) et la matrice carrée inférieure droite à l’automorphisme f de E2.
C C
a a
a
a a
a H
HH HHj
-
-
H - HH
HHj
A g(A)
M
F(M) F(A)
g(M)
f(~x)=g(M)−g(A)
~x=M−A
P
E2
Transformation affine où g(M)=F(M)/2
2) Si F|P est une homographie h, avec s=a+b+c, s0 =a0+b0 +c0 et s00 =a00+b00+c00 les expressions dehdans T(ABC) etB(A,−→
AB,−→
AC) s’écrivent
α0 β0 γ0
∼=
a a0 a00 b b0 b00 c c0 c00
α β γ
,
1 x0 y0
∼=
s s0−s s00−s b (b0−b) (c0−c) c (c0−c) (c00−c)
1 x y
x0, y0 sont quotient de polynômes du premier degré de même dénominateur.
La droite Dh oùh n’est pas définie dans le plan affine (h(Dh) est D∞) a pour équations sα+s0β+s00γ = 0 ous+ (s0 −s)x+ (s00−s) = 0.
3.4 Exemples
Plaçons dans le cas où F a trois vecteurs propres linéairement indépen- dants, deux valeurs propres étant égales. Excluons le cas de valeurs propres égales :F proportionnel à l’identité,hest l’identité. Quitte à diviserF par une valeur propre (aucune n’est nulle) on peut supposer que 1 est valeur propre ; discutons selon que les vecteurs propres appartiennent ou non à E2, et si un tel vecteur n’appartient pas à E2, on peut supposer qu’il appartient à P. Deux valeurs propres étant égales, nécessairement un vecteur propre appar- tient à E2.
• Si deux vecteurs propres appartiennent à E2, celui ci est stable par F qui conduit à une transformation affine.
1) Lorsque les valeurs propres des vecteurs précédents sont égales, E2 est formé de vecteurs propre. On peut prendre A(s),~u(1), ~v(1) comme vecteurs propres (de valeurs propres indiquées). Dans R(A, ~u, ~v) —repère de P et base de E3, F(M) =sA +x~u+y~v, F(M) =s d’où
g(M) = F(M)/s soit g(M) = A + (x/s)~u+ (y/s)~v homothétie de centre A et de rapport 1/s.
2) Sinon on peut prendre A(1),~u(1), ~v(s) comme vecteurs propres et dans le repère précédent F(M) = A +x~u+sy~v, F(M) = 1 d’où
g(M) = F(M)soit g(M) = A +x~u+sy~v affinité d’axe A+~u, de direction ~v et de rapport s.
•Lorsque E2n’a qu’une direction de vecteurs propres, on peut prendre A(1),B(1), C(s) et dans le triangleT(ABC) — qui est base de E3, on obtient M0 =h(M): F(M) =αA +βB +s γC, h(M) = αA +βB +s γC
1 + (s−1)γ et −−→ CM0 =
−−→ CM 1 + (s−1)γ Les points de (AB) sont invariants ; N étant la trace de (CM) sur cette droite :
−→CN =
−−→ CM
1−γ et en exprimant le birapport sur (CM) : [C,N,M,M0]=s.
h est l’homologie de centre C, d’axe (AB) et de rapport s.
Une homothéthie peut être considérée comme une homologie d’axe la droite de l’infinie, et une affinité comme une homologie de centre à l’infini.
Une homologie de rapport s est involutive si s = 1/s soit s = −1 (en excluant s = 1) ; on dit alors que l’homologie est harmonique. Dans le cas d’une transformation affine ou d’homographie involutive, si g2 ou h2 est idP, F2 ∼= I :F diagonalisable a deux valeurs propres opposées, que l’on peut sup- poser être 1 et−1 ; la troisième étant l’une ou l’autre, selon l’étude précédente,
g ou h est nécessairement soit une symétrie par rapport à un point, soit une symétrie axiale, soit une homologie harmonique.
Q M P
C
M0 P0 à l’∞
(Dh) (∆)
P
Homologie harmonique d’axe∆ N
Application
Par une homologie, on peut transformer un conique circonscrite à un tri- angle en une conique de Steiner circonscrite au triangle image.
Le triangle T(ABC) étant circonscrit à la conique Γ, celle ci a une équation dans ce triangle de la forme
aβγ +bγα+cαβ= 0
Les tangentes à Γ en les sommets du triangle rencontrent les côtés opposés en des points alignés sur la droite D (cas "limite" du théorème de Carnot)
bcα+caβ+abγ= 0
L’homologie harmonique (pour simplifier) de centre A et dont la droite D a pour image la droite de l’infini a pour matrice dans le triangle T(ABC)
bc c(a+b) b(a+c)
0 −bc 0
0 0 −bc
Le point M(α, β, γ)est transformé en M’(α, β, γ)dans l’homologie, le triangle T(ABC) en le triangle T0(AB’C’) où
B’=(1+b/a)A−b/aB, C’=(1+c/a)A−c/aC Les coordonnées barycentriques de M’ dans T0 sont
(α”, β”, γ”) ∼= (aα, bβ, cγ)
et l’équation de Γ0 transformée de Γ : β0γ0 +γ0α0 +α0β0 = 0 c’est la conique de Steiner circonscrite à T0.
· · − · · · − ·
