ECE2 Test N◦1 - Un corrigé Septembre 2021 - QUESTION DE COURS-
1. Tracer sur le même graphique une allure du graphe des fonctions usuelles suivantes.
f(x)=ln(x) ; g(x)=ex; h1(x)=x; h2(x)=x2; h3(x)=p x.
0 |1
1−
x y
2. Tracer sur le même graphique une allure du graphe des fonctions usuelles suivantes.
f(x)=e−x; g(x)=1
x; h(x)= 1 x2.
0 |1
1−
x y
- EXERCICE1 -
1. Reconnaitre sur le graphique ci-dessous les fonctions suivantes.
x7→x; x7→ex−1 ; x7→ln(x+1)
|1 1−
x y
ln(x+1) ex−1
x
2. Conjecturer grâce à ce graphique deux inégalités classiques et en démontrer une.
On conjecture les deux inégalités suivantes.
∀x∈R, ex−1⩾x et ∀x> −1, ln(x+1)⩽x Montrons la première inégalité.
Pour tout réelx, on a :
ex−1⩾x ⇐⇒ex−x−1⩾0
Posons g:x7→ex−x−1, fonction dérivable surR. Pour toutx∈R, on a : g′(x)=ex−1>0 ⇐⇒ex>1 ⇐⇒x>0
Commeg(0)=0, on obtient le tableau de variations suivant : x
g′(x) g(x)
−∞ 0 +∞
− 0 +
0 0 Ainsi, pour toutx∈R, on a :g(x)⩾0 soit ex−1⩾x.
Remarque : On peut démontrer ce résultat plus rapidement par un argument de convexité.
- QUESTION DE COURS-
Compléter les règles de calculs sur les limites (écrire FI pour une forme indéterminée).
1. (+∞)×(−∞)= −∞
2. (+∞)×(0+)=F I 3. (0−)×(0−)=0+ 4. (+∞)+(−∞)=F I 5. +∞
+∞=F I
6. 1 +∞=0+ 7. 1
0−= −∞
8. 0+ +∞=0+ 9. 0+
0+=F I 10. +∞
0− = −∞
- EXERCICE2 -
Déterminer les limites suivantes.
1. lim
x→0+ex−p
x−ln(x)= +∞ par somme.
2. lim
x→0
e−x
x2 = +∞ par quotient µ1
0+
¶ . 3. lim
x→0+x2e−1/x=0 par produit car lim
x→0+e−1/x=0 par composition.
4. lim
x→0+
x−1 x exp
µ1 x
¶
= −∞ par produit car lim
x→0+
x−1
x = −∞ par quotient µ−1
0+
¶ et lim
x→0+exp µ1
x
¶
= +∞par composition.
5. lim
x→+∞
x−1 x exp
µ1 x
¶
=1 par produit car lim
x→+∞
x−1
x =1 et lim
x→+∞exp µ1
x
¶
=1 par compo- sition.
6. lim
x→−∞
e−x ln¡
1+x1¢ = −∞ par quotient³+∞
0−
´
car lim
x→−∞ ln µ
1+1 x
¶
=0− par composition
³
tlim→1−ln (t)´ .
- QUESTION DE COURS-
Donner les limites suivantes (α∈R∗+,β∈R∗+).
1. lim
x→0+xln(x)=0 2. lim
x→+∞
x
ln(x)= +∞
3. lim
x→+∞
ex x = +∞
4. lim
x→−∞xex=0 5. lim
x→0
ex−1 x =1
6. lim
x→0+xα(ln(x))β=0 7. lim
x→+∞
xα
(ln(x))β= +∞
8. lim
x→+∞
eαx xβ = +∞
9. lim
x→−∞xαeβx=0 10. lim
x→0
ln(1+x) x =1 - EXERCICE3 -
Déterminer les limites suivantes (seule la réponse est demandée).
1. lim
x→+∞ex−x3−ln(x)= +∞ car −x3−ln(x)=o(ex) donc ex−x3−ln(x) ∼
+∞ex. 2. lim
x→0+
e−1/x x2 = lim
t→+∞t2e−t=0 par C.C, en posantt=1/x.
3. lim
x→0
ex−1
x2 = +∞ car ex−1∼
0 x donc ex−1 x2 ∼
0
1 x. 4. lim
x→0
ln(1+x)
ex−1 =1 car ln(1+x)∼0 x et ex−1∼0x donc ln(1+x) ex−1 ∼01.
5. lim
x→+0+
x3ln(x2)
px2+e−x = lim
x→+0+
2x3ln(x)
px2+e−x =0 par quotient car lim
x→+0+ x3ln(x)=0 par C.C et
x→+0lim+
px2+e−x=1.
6. lim
x→+∞
x+ln(x)
px2+e−x=1 car x+ln(x) px2+e−x ∼
+∞
px x2= x
|x|=x x=1.
