ECE2 Khôlle semaine 2 Septembre 2021
- EXERCICE1 -
Retour sur le DM1 si besoin.
- EXERCICE2 -
On considère la matrice deM3(R) suivante :A=
2 1 −1
−2 −1 1
1 0 −1
.
1. Justifiersans calculsque la matriceAn’est pas inversible.
2. Résoudre l’équationAX=0 d’inconnueX∈M3,1(R).
- EXERCICE-
Soitfla fonction définie surRpar : f(x)=
xe−x
1−e−x six6=0
1 six=0
1. Montrer que la fonctionfest continue surR.
2. Montrer que la fonctionfest dérivable en 0 et préciserf0(0).
3. Montrer quefest dérivable surR∗et quef0(x)=e−x(1−x)−e−2x
(1−e−x)2 pour toutx6=0.
4. Montrer que pour tout réelx, on a : e−x>1−x.
5. En déduire le tableau de variations def, limites comprises puis tracer une allure de sa courbe.
6. La fonctionfest-elle de classeC1surR?
- EXERCICE3 -
Une piste rectiligne est divisée en cases, numérotées 0, 1, 2, ... de gauche à droite. Une puce se déplace vers la droite, de 1 ou 2 cases au hasard à chaque saut. Au départ elle est sur la case 0.
SoitXnla variable aléatoire égale au numéro de la case occupée par la puce aprèsnsauts.
1. Déterminer la loi de probabilité deX1, et calculerE(X1) etV(X1).
2. On appelleYnla variable aléatoire égale au nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours desn premiers sauts.
Déterminer la loi deYn, puis donnerE(Yn) etV(Yn).
3. ExprimerXnen fonction deYnet en déduire la loi de probabilité deXn, puisE(Xn) etV(Xn).
- EXERCICE4 -
Soitp∈]0, 1[. On noteq=1−p.
On considère une variable aléatoireXà valeurs dansN∗.
1. Dans cette question (et dans cette question seulement), on suppose que la variable aléatoireXsuit une loi géométrique de paramètrep.
Montrer :∀k∈N, P(X>k)=qk.
2. On suppose maintenant :∀k∈N, P(X>k)=qk.
(a) Etablir une égalité entre les évènements (X=k), (X>k−1) et (X>k) puis en déduire que pour tout k∈N: P(X=k)=P(X>k−1)−P(X>k).
(b) Démontrer que la variable aléatoireXsuit alors la loiG(p).
3. Conclure.
- EXERCICE5 (COMPLÉMENTS) - 1. Exercice 8 feuille exo Analyse 1.
2. Exercices Approfondissement.
ECE2 Khôlle semaine 2 Septembre 2021
- EXERCICE1 -
Retour sur le DM1 si besoin.
- EXERCICE2 -
On considère la matrice deM3(R) suivante :A=
2 1 −1
−2 −1 1
1 0 −1
.
1. Justifiersans calculsque la matriceAn’est pas inversible.
2. Résoudre l’équationAX=0 d’inconnueX∈M3,1(R).
- EXERCICE-
Soitfla fonction définie surRpar : f(x)=
xe−x
1−e−x six6=0
1 six=0
1. Montrer que la fonctionfest continue surR.
2. Montrer que la fonctionfest dérivable en 0 et préciserf0(0).
3. Montrer quefest dérivable surR∗et quef0(x)=e−x(1−x)−e−2x
(1−e−x)2 pour toutx6=0.
4. Montrer que pour tout réelx, on a : e−x>1−x.
5. En déduire le tableau de variations def, limites comprises puis tracer une allure de sa courbe.
6. La fonctionfest-elle de classeC1surR? - EXERCICE3 -
Une piste rectiligne est divisée en cases, numérotées 0, 1, 2, ... de gauche à droite. Une puce se déplace vers la droite, de 1 ou 2 cases au hasard à chaque saut. Au départ elle est sur la case 0.
SoitXnla variable aléatoire égale au numéro de la case occupée par la puce aprèsnsauts.
1. Déterminer la loi de probabilité deX1, et calculerE(X1) etV(X1).
2. On appelleYnla variable aléatoire égale au nombre de fois où la puce a sauté d’une case au cours desn premiers sauts.
Déterminer la loi deYn, puis donnerE(Yn) etV(Yn).
3. ExprimerXnen fonction deYnet en déduire la loi de probabilité deXn, puisE(Xn) etV(Xn).
- EXERCICE4 -
Soitp∈]0, 1[. On noteq=1−p.
On considère une variable aléatoireXà valeurs dansN∗.
1. Dans cette question (et dans cette question seulement), on suppose que la variable aléatoireXsuit une loi géométrique de paramètrep.
Montrer :∀k∈N,P(X>k)=qk.
2. On suppose maintenant :∀k∈N,P(X>k)=qk.
(a) Etablir une égalité entre les évènements (X=k), (X>k−1) et (X>k) puis en déduire que pour tout k∈N: P(X=k)=P(X>k−1)−P(X>k).
(b) Démontrer que la variable aléatoireXsuit alors la loiG(p).
3. Conclure.
- EXERCICE5 (COMPLÉMENTS) - 1. Exercice 8 feuille exo Analyse 1.
2. Exercices Approfondissement.
