3ème CALCUL et FONCTIONS COURS-Ex
JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 26 3.4 Systèmes d’équations
3.4.1 Activité
Exemple d’approche
Les animaux de M.Berger sont tous dans un pré. Il y a des vaches et des oies. On compte 37 têtes et 104 pattes. Combien y a-t-il de vaches et d’oies ?
On a affaire ici à un problème plus compliqué que celui menant à la résolution d’une simple équation. En effet, il y a cette fois deux inconnues. L’énoncé donne par contre deux indications et, sauf cas particulier, cela mènera à un couple unique de valeurs solutions.
Notons x le nombre de vaches et y le nombre d’oies, tous deux inconnus.
L’information « on compte 37 têtes » nous permet d’écrire l’équation x+ =y 37 ; l’information « 104 pattes » nous permet d’écrire une seconde équation : 4x+2y=104. Ces deux équations doivent être vérifiées à la fois, ce qui se traduit par un système :
37
4 2 104
x y
x y
+ =
+ =
Pour résoudre ce problème, nous n’avons pas d’autre choix que de combiner ces équations
ensemble. Par exemple, la première nous informe que y=37−x. Nous pouvons donc remplacer y par 37−x dans la seconde : 4x+2 37
(
−x)
=104.Il ne reste plus qu’à résoudre cette nouvelle équation d’une inconnue :
( )
4x+2 37−x =104⇔4x+74−2x=104⇔2x=104−74=30⇔ =x 15. Enfin : y=37− =x 37 15− =22.
M.Berger possède 15 vaches et 22 oies.
Bien sûr, il est salutaire de vérifier ces solutions dans le systême de départ, car il y a toujours un risque d’erreur de calcul :
Nombre de têtes : 15 22+ =37 OK
Nombre de pattes : 4 15 2 22× + × =60+44=104 OK 3.4.2 Objectifs
On se restreindra ici aux problèmes contenant deux inconnues et donnant deux informations, autrement dit aux systèmes de deux équations et deux inconnues.
Système linéaire 2x2 :
( )
( )
a x b y c E a x b y c E
+ =
+ =
1 1 1 1
2 2 2 2
On cherche ici à répondre à la question posée de l’existence d’un couple (x0, y0) de valeurs inconnues, soumise à conditions par le biais d’équations qui les lient, et à calculer ces valeurs si elles existent.
Bon à savoir (mais hors programme) :
1 2 2 1 0
a b −a b ≠
( )
x y,si , alors le système possède un unique couple solution . Dans le cas contraire, le système peut n’avoir aucune solution, ou à l’inverse une infinité !
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JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 27 3.4.3 Méthodes de résolution
Au collège, ces méthodes sont au nombre de trois : L’identification
Se pratique plus facilement sur les systèmes « 2,2 » ; consiste à choisir une des deux inconnues, l’écrire dans chaque équation en fonction de l’autre, puis dire que les deux expressions sont identiques.
Exemple : 37 37
4 2 104 52 2
x y y x
x y y x
+ = = −
⇔
+ = = −
et on identifie : 37− =x 52−2x⇔2x− =x 52−37⇔ =x 15. On calculera y grâce à une des deux écritures ci-dessus : y=37− =x 15− =x 22
La substitution
Consiste, dans une équation, à exprimer une inconnue en fonction des autres, puis d’en faire le remplacement dans les autres équations.
Exemple :
( )
37 37 37 37 22
4 2 37 104
4 2 104 2 74 104 15 15
y x
x y y x y x y
x x
x y x x x
= −
+ = = − = − =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
+ − =
+ = + = = =
La combinaison linéaire
Consiste à remplacer une des équations,
( )
Ei , par une combinaison linéaire d’elle-même avec l’autre, donc par une équation de type a×( )
E1 + ×b( )
E2 dans le but d’y éliminer l’une des inconnues.Exemple :
( ) ( )
x y :x y x x
E E y
x y y y
+ =
+ = + = =
⇔ ⇔ ⇔
− =
+ = = =
1 2
37 37 22 37 15
4 2 44
4 2 104 22 22
Ici, on a choisi de créer l’équation 4
( ) ( )
E1 − E2 pour faire disparaître x. En effet, dans le détail :( ) ( ) (
E1 − E2 : x+ y) (
− x+ y)
= − ⇔ y=4 4 4 4 2 148 104 2 44
3.4.4 Cas où le système n’a pas une solution unique En fin de page précédente, le cas d’un système
( )
( )
a x b y c E a x b y c E
+ =
+ =
1 1 1 1
2 2 2 2
où a b1 2−a b2 1=0 a été laissé de côté.
Il s’agit de l’égalité des produits en croix, montrant une proportion dans les coefficients des équations.
c1 et c2
Si sont dans la même proportion, alors les deux équations sont identiques et le système admet une infinité de solutions ;
dans le cas contraire, les deux équations sont incompatibles et le système n’adment aucune solution.
Exercices
3.4.1 Résoudre les systèmes a. x y x y
− =
+ =
2 8
7 b. 4 2
6 13
x y x y
+ =
− = c. 2 7 14
3 7
x y
y x + =
− = −
d. 2 8
6 3 20
x y
x y
− =
− =
e. x y
x y + =
− + + =
2 5 1
3 2 0 f. x y
x y
− =
− + + =
2 4
6 3 12 0 g. x y
x y
− =
− =
6 5 4
3 2 1
3.4.2 Un particulier a fait intervenir chez lui un tapissier et un carreleur, sur deux jours. Le premier jour, le carreleur a posé 10 m² et le tapissier 36 m². Le deuxième jour, le carreleur a posé 30 m² et le tapissier 52 m². Le montant des factures additionnées est 2520 € et le deuxième jour a coûté deux fois plus cher que le premier. Quels sont les tarifs au m² du carreleur et du tapissier ?
