Mouvements dans un champ newtonien sans utiliser les coniques

Mouvements dans un champ newtonien sans utiliser les coniques

I₃₀. Chute d’un haltère.

Un haltère est formé de deux boules de masses et reliées par une tige rigide de masse négligeable qui impose une distance A fixe entre les centres des deux boules. Cet haltère tombe verticalement dans le champ gravitationnel d’un astre de centre O et de masse ^M : si à la distance ^r de O où se trouve l’haltère le champ gravitationnel est ^g

m1 m₂

G, la tige de l’haltère et sa vitesse sont parallèles à ^gG. Calculer la tension de la tige, en tenant compte de ce que ^{A r}. II₄₄. Les météorites.

Distance Terre-Soleil : rT = 1,5.10¹¹ m ; TT = 1 an = 3,16.10⁷ s ; masse de la Terre : MT = 6.10²⁴ kg ; rayon de la Terre : RT = 6,37.10⁶ m ; constante de Cavendish : G = 6,67.10^–11 N.m².kg^–2 ; vitesse de libération de la Terre

11km/s. vLT =

Le référentiel de Copernic (C) est constitué du centre d'inertie du système solaire et des directions des étoiles. Le référentiel héliocentrique (H) est constitué du centre du Soleil et des directions des étoiles ; il peut approximativement être confondu avec le référentiel de Copernic et ces deux référentiels seront considérés comme galiléens avec une excellente approximation. Le référentiel géocentrique (G) est constitué par le centre de la Terre et les directions des étoiles. Le référentiel terrestre (T) est le référentiel lié au corps solide Terre. La Terre tournant autour de l'axe des pôles, un point situé à la surface de la Terre sur l'équateur a une vitesse de 0,5 km/s par rapport à (G).

1) Le mouvement de (G) par rapport à (H) est-il un mouvement de translation ou de rotation ? 2) Discuter le caractère plus ou moins galiléen de (T) et de (G).

3) Dans un référentiel galiléen, un mobile P de masse m se meut dans le champ de gravitation d'un astre O de masse M. On considère dans ce problème O comme fixe. A quelle condition le mouvement réel de O est-il au moins 1000 fois moins ample que le mouvement de P ?

4) P décrit un cercle de centre O et de rayon r avec la période T. Démontrer la relation reliant r, T, G et M.

5) Calculer la masse MS du Soleil et le module de la vitesse vT dans (H) de la Terre sur son orbite, supposée circulaire, autour du Soleil.

6) Montrer que la force subie par P dérive d'une énergie potentielle et exprimer cette énergie potentielle.

7) Quel est le type des trajectoires de P selon le signe de son énergie totale E ?

8) Les météorites sont des corps qui se meuvent dans le système solaire sous l'action du Soleil sans s'en échapper.

Montrer que le rapport de la vitesse vH dans (H) d'une météorite au moment où elle passe près de la Terre, à une distance grande devant le rayon de la Terre et de la vitesse vT de la Terre dans (H) peut varier entre l’intervalle (0 ;1,414). A quels types de trajectoire correspondent les extrémités de cet intervalle ?

9) Quelle est la relation entre les vitesses de la météorite vG_H

dans (H) et vG_G

dans (G) ? 10) On porte à partir d'un point O les vecteurs vG_H

et vG_G

. Montrer que les extrémités de ces deux vecteurs sont dans deux boules dont on précisera les centres et les rayons.

11) A une distance de la Terre grande devant le rayon terrestre et petite devant la distance Terre-Soleil, un mobile a la vitesse v∞ par rapport à (G). Il vient percuter la surface terrestre. Avec quelle vitesse v dans (G) ?

12) Dans quel intervalle se trouve le module de la vitesse par rapport à (G) d’une météorite au moment où elle percute la Terre en négligeant le freinage de l'atmosphère ?

13) Les étoiles filantes sont des météorites qui se vaporisent dans la basse atmosphère terrestre par suite de l'échauffement dû à leur freinage par l'air. Dans quel intervalle numérique peut varier leur vitesse pour un observateur terrestre ?

III₁₄. Point de Lagrange L1 (mines de Douai 1975).

On se propose de déterminer le point où "l'attraction de la Lune équilibre celle de la Terre". La Terre et la Lune sont assimilées à des points matériels T et L de masses M = 5,98.10²⁴ kg et M' = 7,34.10²² kg et de distance fixe D = 3,84.10⁸ m. La constante de la gravitation est G = 6,67.10^–11 m³.kg^–1.s^–2.

1/ L'on admet qu'il existe un référentiel galiléen dans lequel la Terre et la Lune sont immobiles. Montrer qu'il n'existe qu'une seule position dans l'espace où un point matériel P serait en équilibre. Si , exprimer α en fonction de µ = M’/M, puis calculer numériquement α.

/ PL TL α =

2/ L'on considère désormais qu'il existe un repère galiléen auquel est attaché un point O tel que T et L décrivent des cercles coplanaires de centre O et de rayons a et a', les points T, O et L restant alignés à chaque instant dans cet ordre.

a) Exprimer la vitesse angulaire, a et a' en fonction de D, µ, M et G.

b) Un point matériel P de masse m situé sur le segment TL est en équilibre relatif par rapport à ces astres : sa trajectoire est un cercle de centre O. A quelle condition simple (suffisante, mais non nécessaire) est-on assuré qu’il ne perturbe que peu les mouvements de T et L ?

c) En appliquant à P la loi fondamentale de la dynamique, écrire la condition d'équilibre relatif pour P sous forme d’une relation entre G M M D OP PT PL, , ′, , , , .

d) Mettre cette relation sous la forme

2

2

1 (1 )

(1 ) 1

− − α µ = − α

α − α

.

e) Montrer que si α est un infiniment petit, µ est un infiniment petit équivalent à kα^p (k et p constantes à déterminer).

f) Calculer numériquement α.

g) Vérifier la relation de d) sur une valeur particulière du couple µ, α, ou bien montrer que cette relation est invariante dans une certaine transformation portant sur µ et α.

IV40. Troisième vitesse cosmique.

Constante de la gravitation ; masse du Soleil ; masse de la Terre

; rayon de la Terre ; distance Terre-Soleil .

6, 67.10 11SI

G = ⁻ M_S =2.10 kg³⁰

6.10 kg24

MT = R_T =6, 4.10 m⁶ D=1, 5.10 m¹¹

Le référentiel héliocentrique est défini par le centre du Soleil et les directions d’étoiles « fixes ». Il est galiléen avec une bonne approximation.

Le référentiel géocentrique est défini comme lié au centre de la Terre et en translation par rapport au référentiel héliocentrique. Il est approximativement galiléen si on y traite le mouvement d’un mobile proche de la Terre, à condition de ne considérer que le champ gravitationnel créé par la Terre et de ne pas tenir compte de celui créé par le Soleil.

1) Dans un référentiel galiléen, un mobile P de masse m n’est soumis qu’à la force FG

gravitationnelle créée par un astre sphérique fixe de centre O et de masse M. On note r=OP et uG_r =OP OPJJJG/

. Quelle est l’énergie potentielle associée à cette force ? Une démonstration valable que le mouvement soit rectiligne ou non sera préférée.

2) Quelle est la condition nécessaire portant sur r et sur la vitesse v du projectile pour qu’il s’écarte indéfiniment de O ? On admettra que cette condition est suffisante.

3) Calculer, littéralement et numériquement, la vitesse v_T de la Terre dans le référentiel héliocentrique.

4) On se place dans le référentiel géocentrique. On lance de la surface de la Terre un projectile à la vitesse vG₀ . A quelle condition ce projectile s’écarte-t-il indéfiniment de la Terre ?

5) Cette condition étant remplie, quelle est la relation entre ^v₀ et la vitesse ^v₁ du projectile en un point P1 situé à une distance de la Terre grande par rapport à R_T et petite par rapport à D ?

6) On se place dans le référentiel héliocentrique. Quelle est la vitesse ^v′G₁ du projectile en P1 ? 7) A quelle condition sur v₁′ le projectile s’écarte-t-il indéfiniment du Soleil ?

8) On désire lancer le plus économiquement possible un projectile de la surface de la Terre de sorte qu’il s’évade du système solaire. Pour l’instant, on ne tient pas compte de la rotation de la Terre autour de l’axe des Pôles. Dans quelle direction faut-il choisir vG₁

? Exprimer et calculer numériquement sa norme.

9) Calculer, littéralement et numériquement, la vitesse minimale de lancement de la Terre pour que le projectile quitte le système solaire, cette vitesse étant calculée dans le référentiel géocentrique.

v0

10) En réalité, le tir a lieu dans le référentiel terrestre. Comment tirer parti au mieux de la rotation de la Terre autour de l’axe des Pôles ?

V37. Tir vers le Soleil.

Dans un référentiel galiléen, se trouvent deux points matériels, O de masse M et P de masse m négligeable devant M.

Le point O est immobile ; P se meut sur une droite passant par O ; on note x son abscisse, supposée positive, par rapport à O.

1) Pour x > 0, exprimer la mesure algébrique de la force F subie par P en fonction de M, m, x et de la constante de Cavendish G = 6,67.10^–11 SI.

2) A l'instant t = 0, on abandonne avec une vitesse nulle le point P à l'abscisse a. Exprimer sa vitesse à un instant quelconque t en fonction de x.

3) Exprimer t en fonction de x. On donne :

( )

si 0 : ( ) 3/ 2 1 arccos

1/ 1/

dx x x x

x a f x a

a a a

x a

⎡ ⎤

≤ ≤ =

∫

− =− ⎢⎢⎣ − + ⎥⎥⎦^.

4) De la Terre, on lance une sonde vers le Soleil. Expliquer pourquoi il est préférable que, une fois la sonde un peu écartée de la Terre, la vitesse de la sonde dans le référentiel géocentrique soit l'opposé de la vitesse de la Terre dans le référentiel héliocentrique. Quelle doit être la vitesse de lancement depuis la surface terrestre ?

5) La Terre décrit un tour autour du Soleil en TT = 1 an = 365,25 jours sur une orbite de rayon rT. Exprimer la masse du Soleil M en fonction de G, rT et TT.

6) La sonde décrit une trajectoire rectiligne si l'on néglige l'attraction qu'exerce sur elle la Terre. Que pensez-vous de cette approximation ? Négligeons aussi le rayon du Soleil devant le rayon de l'orbite terrestre. Montrer que la durée t1 de son voyage est égale à T 32. Calculer t en jours.

VI36. Satellites de télécommunication (d’après mines-ponts 2007 MP).

On se propose d'étudier quelques aspects du fonctionnement de satellites de télécommunication en orbite autour de la Terre. Sauf mention contraire, on considérera que la Terre est un corps de symétrie sphérique, de masse , de rayon

et de centre O, immobile dans l'espace, sans rotation propre. La constante de gravitation est G = 6,67 10

MT

6400 km RT =

–11 m³.kg^–1.s^-–2 .

‰ 1– Un satellite de masse est en orbite circulaire de centre O, de rayon , à une altitude de l'ordre de quelques centaines de kilomètres (orbite basse). Exprimer sa période de révolution , sa vitesse v et sa vitesse angulaire Ω en fonction de et des constantes du problème.

MS r₀ h

Torb

r0

‰ 2 – Soient et l’énergie cinétique du satellite et son énergie potentielle dans le champ de gravitation de la Terre ( à l’infini) ; établir le « théorème du viriel » : .

Ec E_p

p 0

E = 2E_c+E_p=0

‰ 3 – A chaque position P du satellite correspond un point Q sur la Terre à la verticale de ce point. L'ensemble des points Q définit la trace de la

trajectoire. Pour un observateur situé en Q, la durée de visibilité τ d'un satellite est l'intervalle de temps entre son apparition sur l'horizon (point A de la Fig. 1) et sa disparition sous l'horizon (point B). Calculer pour

. On donne

orb/ T τ m

10 8× ⁵

=

h arccos 8 / 9( )=27,27° =0, 476 rad

‰ 4 – Pour les besoins de la téléphonie mobile, on place sur des orbites polaires (c'est-à-dire contenues dans un plan méridien terrestre, plan contenant l’axe des Pôles) un ensemble de satellites, identiques, appelé « train de satellites ». Ces satellites sont disposés régulièrement sur leur orbite polaire commune, à l'altitude de 800 km. Calculer le nombre minimal de satellites nécessaires pour former un « train » afin que tous les points au sol, dans le même plan méridien que l'orbite, voient au moins un satellite à tout instant.

Lors du concours, mais pas lors du DS, il avait été posé la question, trop difficile : Combien d'orbites polaires de ce type faut-il pour couvrir la surface de la Terre, c'est à dire pour que chaque point de la surface terrestre voie au moins un satellite à tout instant ? Combien doit-on disposer de satellites en tout ?

Fig. 1 : Satellite P, point Q et ligne des horizons AB. Le plan orbital représenté est dit polaire (la ligne des pôles est N'SNS').

‰ 5 – Quels sont les avantages et les inconvénients d'un satellite géostationnaire, c’est-à-dire fixe en référentiel terrestre, comparé au train de la question 4 ?

‰ 6 – La Terre est entourée d'une atmosphère qui s'oppose au mouvement du satellite. La force de frottement f_a G créée par l'atmosphère est proportionnelle au carré de la vitesse du satellite et elle s'exprime par v fG_a vvG

α

−

= , où a une valeur positive, constante dans cette question. Déterminer la dimension de

α α. Écrire le théorème de

l'énergie cinétique en supposant que le théorème du viriel établi à la question 2 reste applicable en présence de fK_a . Établir l'équation différentielle vérifiée par h.

‰ 7 – Un satellite de masse placé sur une orbite d'altitude 800 km subit une diminution d'altitude d'environ 1 m par révolution ; sa vitesse est, en norme, très peu affectée au bout d'une révolution. En déduire une estimation au premier ordre de (ne pas s'étonner de la petitesse extrême du résultat !).

2000 kg MS =

α

‰ 8 – En réalité, les frottements dépendent de la densité de l'atmosphère et donc de l'altitude. Dans un certain domaine d'altitudes, α varie selon la loi ^α

( )

h ^=γ/h^β, où γ et β sont positifs. Le même satellite que celui de la question 7 (perdant 1 mètre par révolution pour h≈800km) perd, à l'altitude de 400 km, 2 mètres par révolution.

Calculer γ et β.

Cette loi de dépendance avec l’altitude vous paraît-elle logique ?

Réponses

I. ( _{1 2})

2

1/ 1/

T g

r m m

= +

A .

II. 1) translation ; 3) m <M/1000; 4) ³_{2 2} 4

r GM

T =

π ; 5)

2 3 30

2

4 ^T 2.10 kg

S

T

M r

GT

= π = ; 2

29, 8 km/s

T T T

v r T

= π = ;

6) ; 7) si , c’est une ellipse, si , c’est une parabole, si , c’est une branche d’hyperbole ; 8) : segment Terre-Soleil ;

p /

E =−GMm r E <0 E =0 E >0

0

v → v → 2v_T : parabole ; 9) vGH =vGG +vG_T

; 10) vGH

est dans la boule de centre 0G

et de rayon 2v_T ; vG_G

est dans la boule de centre −vG_T

et de rayon 2v_T ; 11) où est la vitesse de libération de la Terre ; 12) entre ¹¹ et ; 13) .

2 2

0 LT

v =v +v_∞² /s

vLT

km/s 73 km/s 0< <v 73 km

III. 1) ¹ 0,1 1 1/

α= =

+ µ ; 2.a)

1 1

D a^′= D a = ^µ

+ µ + µ ; GM⁽¹₃ ⁾ D

ω= + µ ; 2.b) m M^′ 2.c)

2

2

GMm GM m

m OP PT PL

− ω =− + ′₂ ; 2.e) ; 2.f) ; 2.g) si , ;

.

3 3

µ ≈ α α= 0,160 µ =1 α=1/ 2

1/ , 1

µ → µ α → − α

IV. 1) E_p ^GMm

=− r ; 2) 1 ² 2 0

mv GMm

− r ≥ ; 3) _T GM^S 29800 m .s ¹

v D

= = − ; 4) 1 ²₀

2 0

T T

mv GM m

− R ≥ ; 5)

2 2

1 0

2 _T

T

v v GM

= − R ; 6) vG₁′=vG₁+vG_T

; 7) v₁′ ≥= 2v_T ; 8) vG₁ et vG_T

parallèles et de même sens ;

( )

¹

1 2 1 _T 12300 m.s

v = − v = ⁻ ; 9) _{0 1}^{2 2 T} 16600 m .s

T

v v GM R

= + = −¹ ; 10) tirer horizontalement dans le sens ouest-est à partir d’un point de l’Equateur.

V. 1) F ^GMm₂

=− x ; 2) ^{v =− 2GM}

(

¹_x ⁻_a¹

)

^{; 3) t =−} ₂^{f x( )}_GM ; 4) vitesse de lancement : racine de la somme des carrés de la vitesse de la Terre sur son orbite autour du Soleil (30 km/s) et de la vitesse de libération de la Terre (11 km/s), soit 32 km/s ; 5)

2 3 2

4 _T

T

M r

= GTπ

; 6) 1 65 jours

32 TT

t = = .

VI. 1) ₃

0

GMT

Ω= r ;

03 orb 2

T

T r

= π GM ;

0

GMT

v = r ; 3) T^orb 6, 6

τ = ; 4) 7 ; 40 satellites ; 6) ^[α^]=ML⁻¹ ;

c p a

dE =−dE +fG ⋅drG

; ^{2 T( T )}

S

dh GM R h

dt M

α +

=− ; 7) ^{12 1}

0

3.10 kg.m 2

S T orb

M h GM r T

− −

α= ∆ = ; 8) ;

;

β=1 2, 5.10⁻6kg

γ=

Corrigé

I.

( )( )

1 1 1 1 2 2 2 2 1 2

2 2

1 2 1 2 2 1 2 1

1 2

2 2

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

m a m g T m a m g T a a GM GM

T T g g r r GM r r r

g g T

m m

m m m m r r m m

= − = + =

− − − +

− = + = = =

⎛ ⎞⎟

⎜

+ + ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠

r

Or _{1 2 2 1}

3

1 2 1 2

2 2

1 1 1 1

GM g

r r r r T

r r

m m m m

− = = =

⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟

⎜ + ⎟ ⎜ + ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A A

A .

II.

1) (G) est en translation par rapport à (H) ; en effet, ces référentiels ont leurs axes parallèles.

2) A condition de ne pas considérer les champs gravitationnels des astres autres que la Terre, (G) est approximativement galiléen au voisinage de la Terre.

(T) est aussi approximativement galiléen dans les mêmes conditions ; toutefois, il l’est moins que (G) ; en particulier, la force de Coriolis −2mωG ∧vG

, qui existe dans (T) et non dans (G), est importante si la vitesse est grande, cas des satellites, dont le mouvement se détermine plus facilement dans (G).

3) Il faut ; en effet, les mouvements sont homothétiques dans le rapport m dans le référentiel du centre de masse.

/1000

m <M /M

4) ^{FG =maG GMm}_r^{2 =m}

( )

²_T^{π 2r} _T^{r32 =GM}_4π^{2 .}

5)

( )

( )

( )

2 11 3 11

2 3 30

2 11 7 2 7

4 1, 5.10 2 1, 5.10

4 2

2.10 kg 29, 8 km/s

3,16.10 6, 67.10 3,16.10

T T

S T

T T

r r

M v

GT ⁻ T

π × π×

π π

= = = = = =

×

6) L’énergie potentielle est la fonction de la position, si cette fonction existe, dont la variation est égale à l’opposé du travail de la force :

Ep

2 2

p GMm r GMm p GMm

dE F dr u dr dr E

r r r

=− ⋅^{G JJG} = ^G ⋅^JJG = =− . Ce qui montre que l’énergie potentielle existe.

7) La trajectoire est une conique de foyer O. Son genre dépend de ¹₂ ² GMm E mv

= − r . Si , c’est une

ellipse, si E , c’est une parabole, si E , c’est une branche d’hyperbole.

0 E <

=0 >0

8) Pour que la météorite reste dans le système solaire, il faut et il suffit que dans (H) ₂^{1 2} GMm 0

E mv . Or

= − r <

T2 T

GM v

r = . Donc la condition équivaut à 0< <v 2v_T.

Si v → 0, la trajectoire tend vers le segment Terre-Soleil ; si v 2v_T, la trajectoire tend vers une parabole.

→

9)

vitesse absolue vitesse relative vitesse d'entrainement

H G T

vG = vG + vG

10) vG_H

est dans la boule de centre 0G

et de rayon 2v_T ; vG_G

est dans la boule de centre −vG_T

et de rayon 2v_T.

11) Exprimons que l’énergie dans (G) ¹₂^{mv2 GM mT}

− r se conserve :

2 2

1 1

2 0 T 2

T

mv GM m mv

R ^∞

− = ou où est la vitesse de

libération de la Terre.

2 2 2

0 LT

v =v +v_∞ v_LT =11km/s

12) D’après ce qui précède, la vitesse d’une météorite varie entre 11km/s et

( )

[ ]²

112 + 2+1 ×29, 8 =73 km/s

13) En raison du freinage par l’air, la vitesse peut être inférieure, donc . En outre, il faut tenir compte du mouvement de la Terre par rapport à (G), soit quelques centaines de m/s, ce qui en gros ne change rien.

0 < <v 73 km/s

sphère à l’intérieur de laquelle doit se trouver l’extrémité du vecteur vitesse de la météorite

0G vT

−G vGG

2v_T 2 1

III.

1) Soit FG_T et FG_L

les forces exercées par la Terre et la Lune sur le mobile P . La condition d’équilibre est

T L 0 FG +FG = G

.

• P est sur la droite TL car les deux forces doivent avoir même direction.

• P est sur le segment TL car les deux forces doivent avoir des sens opposés.

• Les deux forces doivent avoir même module :

( )

2

2 2

1 1 1

1 0

1 1

GMm GM m D

PT PL D

′ ⎛⎜ α ⎞⎟

= ⇒µ =⎜⎜⎝ − α ⎟⎟⎠ µ = α− α = + µ = ,1

1/ .

αD

T O

D

a

a'

P L

2.a) La figure montre que a+a′=D.

La loi fondamentale de la dynamique pour la Terre et pour la Lune s’écrit

2

2 2

2

M a GMM D M a GMM

D ω = ′

′ω ′= ′

.

D’où :

1 1

Ma =M a′ ′⇒a′ = D a = µ

+ µ + µ

D ; ces formules signifient que O est le centre de masse de la Terre et de la Lune.

( )

2 3

1 GM GM

a D D

ω= = + µ

′

2.b) Si m M′, ce qui est le cas normalement.

2.c) Comptons positivement

1

OP D de la Terre vers la Lune, ce qui évite d’avoir à distinguer deux cas selon que P est entre O et L ou entre O et T.

OL LP D

= + = − α

+ µ

2

2 2

GMm GM m

m OP PT PL

− ω =− + ′ .

2.d)

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

3 2 2

2 2

2

2

1

1 1

1 1 1

1

1 1

1 1

GM D GM GM

D D D D

⎛ ⎞ ′

+ µ ⎜ ⎟

− ⎜⎜⎝ + µ− α ⎟⎟⎠=− − α +α µ

2 2

+ + µ α =− + α

− α

− − α µ = − α

α − α

−

2.e) Si α est un infiniment petit, ^{( ) 3}

2

1 2 1

1 3 + α − − α

µ ≈ = α

α

.

2.f) ^α=

( )

₃^{µ 1/ 3} =^0,160. La résolution numérique avec une calculatrice de l’équation de d) donne .

=

→ µ α → − α

0,151 α= 2.g) – Si µ =¹, α 1/ 2 : la position d’équilibre est en O.

– La formule est invariante dans la transformation µ , qui revient à échanger les rôles de T et L.

1/ , 1

IV.

1) GMm_{2 r p} GMm_{2 r} GMm_{2 p} GMm

F u dE F dr u dr dr E

r

r r r

=− =− ⋅ = ⋅ = =−

G G G G G G

.

2) La conservation de l’énergie entre la position courante et une position très éloignée, où la vitesse du projectile est , s’écrit :

v_∞ 1 ²

2 2

GMm 1 ₂

v mv

r ^∞

= − =

E m . Comme l’énergie cinétique est positive ou nulle, une condition nécessaire pour parvenir à l’infini est 1 ² 0

2 mv GMm

− r ≥ . Le cours sur les mouvements dans un champ newtonien selon une conique montre que cette condition est suffisante.

3) Appliquons la loi fondamentale de la dynamique à la Terre :

2 11 30

1

2 11

6, 67.10 2.10

29800 m .s 1, 5.10

S T T S

T T

GM M v GM

M v

D D

D

− × −

= ⇒ = = = .

4) 1 ₀² 2 0

T T

mv GM m

− R ≥ .

5) ¹ ₁^{2 1 2}_{0 1}² ₀^{2 2}

2 2

T T

T T

GM m GM

mv mv v v

R R

= − ⇒ = − .

6) vG_a =vG_r +vG_e

montre que vG₁′=vG₁+vG_T .

7) 1 ₁² ₁ 2 ₁

0 2

2

S S

T

GM m GM

mv v v v

D D

′ − ≥ ⇒ ′≥ ⇒ ′≥= .

8) Il faut choisir vG₁ et vG_T

parallèles et de même sens si on souhaite la vitesse de lancement la plus petite possible, c’est-à-dire le plus petit possible pour donné ;

v0

v1 v₁′

( ) ( )

¹

1 _T 2_T 1 2 1 _T 2 1 29800 12300 m.s

v +v = v v = − v = − × = ⁻ . 9)

11 24

2 2

0 1 6

2 2 6, 67.10 6.10

12300 16600 m.s

6, 37.10

T T

v v GM R

− −

× ×

= + = + = ¹ .

10) Pour profiter de l’élan donné par le mouvement propre de la Terre, il faut tirer horizontalement dans le sens ouest-est à partir d’un point de l’Equateur. En pratique, le freinage par l’air atmosphérique rend plus difficile de définir précisément l’optimum.

V.

1) GMm₂

F ⁼⁻ x .

2) L’énergie se conserve : ^{12mv2 −GMm}_x ^=−GMm_a ^{⇒ v =− 2GM}

(

_x¹⁻_a¹

)

^.

3) ( )

[ ( )] ( )

2 2

2 1/ 1/

x ax

a

f x f

dx dx

v t t

dt GM x a GM GM

= ⇒ = − =− = =−

∫

− ^{x .}

4) Dans le référentiel héliocentrique, la vitesse initiale de la sonde doit être nulle ou parallèle à la droite qui la joint au Soleil, sinon la trajectoire serait une ellipse dont le Soleil occuperait un des foyers et ne passerait pas par le Soleil ; une vitesse initiale nulle est plus économique, c’est-à-dire nécessite une vitesse de lancement moins élevée.

Il faut donc lancer la sonde de sorte que sa vitesse par rapport à la Terre soit l'opposé de la vitesse de celle-ci dans son mouvement autour du Soleil ; la vitesse de lancement depuis la surface terrestre est la racine de la somme des carrés de la vitesse de la Terre sur son orbite autour du Soleil (30 km/s) et de la vitesse de libération de la Terre (11 km/s), soit 32 km/s ; en pratique, cette vitesse est trop élevée pour pouvoir être obtenue avec les fusées actuelles ; les sondes tirées vers le Soleil sont lancées à vitesse plus faible et accélérées par des passages à proximité d’autres planètes comme Vénus ou Mercure.

5) Appliquons la loi fondamentale de la dynamique à la Terre :

2 2

2 2

4 4

T T

T T

T T

GMM r

M r M

r = Tπ ⇒ = Gπ ³

T2

T .

6) La masse de la Terre étant petite par rapport à celle du Soleil, on peut négliger l’action de la Terre sur la sonde dès qu’elle s’est un peu écartée de la Terre :

3

1 2 3 2

(0) 65 jours

2 32

2 2 4 /

a rT T T

T T

f r T

t GM r T

=− = = = =

×

π

π .

On peut aussi calculer cette durée en remarquant que le trajet de la sonde est la limite d’une demi ellipse de foyer le Soleil quand cette ellipse s’aplatit sur le segment Terre-Soleil, donc que cette durée est la demi période du mouvement sur cette ellipse. Or la troisième loi de Kepler affirme que pour les satellites d’un même astre le cube du grand axe est proportionnel au carré de la période ; le rapport de la période de la Terre, qui décrit une orbite de grand axe , à la période de cette ellipse, de grand axe , est

2r_T rT 2³. Donc ^{t1 =TT/ 2 2}

(

³

)

^{=TT/ 32.}

VI.

‰ 1 – ₂ ² _{0 3}

0 0

T S T

S

GM M GM

M r

r ^{= Ω ⇒ Ω=} r ;

03

2 2

orb T

T r

GM

= π= π

Ω ; ₀

0

GMT

v r

=Ω = r .

‰ 2 – ²

0

1

2 2

T S

c S

E M v GM M

= = r .

2

T S T S

p

GM M GM M

E Fdr dr

r r

=−

∫

=

∫

=− ^.

D’où 2E_c +E_p =0.

‰ 3 –

0

cos OQ R^T

OA r

ϕ = = ; si h =800 km, 8

arccos 27,27 ϕ = 9 = ° ;

p

2 0 2 180

2 27,27 6, 6

orb

AB

π π

= = = =

τ ϕ

T r

.

‰ 4 –

= = 27 , 27 ° 2

, 7

4 , arccos 6

ϕ

. D’où

6 , 6

27 , 27

180 =

=

= ϕ π τ

T

. Il faut un train de 7 satellites pour couvrir un méridien. Nous supposerons ces 7 satellites équidistants.

Cherchons à couvrir la surface de la Terre par plusieurs trains de tels satellites.

Préliminaire : distance angulaire entre deux points d’une sphère.

Soit deux points et d’une sphère de centre O. Exprimons l’angle en fonction des latitudes et et des longitudes et de et .

A1 A₂ ^θ=(^{OA OA}₁^, ₂) λ1

λ2 L₁ L₂ A₁ A₂

1 1 1 1 1 1

1 cos cos _x cos sin _y sin

OA

OA = λ L u + λ L u + λu_z JJJJG

G G G

2 2 2 2 2 2

2 cos cos _x cos sin _y sin

OA

OA = λ L u + λ L u + λu_z JJJJG

G G G

1 2

1 2

cos OA OA

OA OA θ= ⋅

JJJJG JJJJG

D’où :

( )

1 2 1 2 1

cosθ=cosλ cosλ cos L −L +sinλ sinλ₂

′

E E ′

<

.Solution qualitative du problème de couvrir toute la Terre.

Soit P orbites polaires, chacune comportant satellites équidistants. L’orbite de rang n coupe l’Equateur en deux points, notés E , où la vitesse des satellites est dirigée vers le nord, et E , où la vitesse des satellites est dirigée vers le sud. Il est raisonnable de postuler que ces points se succèdent sur l’Equateur dans l’ordre

et que E E sont équidistants. Soit α et

.

N

n n

1, 2, 3,..., _P, 1, 2, 3,..., _P

E E E E E E E′ ′ ′ E′ ₁, ₂, ₃,..., _P =

(

OE OE_P, 1

)

(OE OE₁, ₂)

β=

Détermination de la valeur maximale de α.

Exprimons que tout point d’un fuseau compris entre les orbites et 1 reste à tout instant en vue d’un satellite. Comme on cherche à ce que soit le plus grand possible, le satellite en question est probablement l’un de ceux des deux orbites de rangs et 1. Le point le plus éloigné des orbites est le milieu I de ; il est le plus éloigné des satellites quand il est au centre d’un rectangle sphérique dont les sommets sont occupés par quatre satellites de latitudes ± , deux sur l’orbite de rang ¹, deux sur l’orbite de rang (comme les deux orbites sont parcourues en sens contraire, le quadrilatère AB se déforme au cours du temps) ; I est hors de vue des satellites si N , car alors les cercles de visibilité des satellites ne recouvrent pas le rectangle ; il est en vue des satellites si :

P β

P E E_P^′ ₁

ABCD /N

π P

CD 7

( )

8 cos cos , cos cos

9 OI OA 2

N

π α

ϕ

= < =

D’où N ≥7 et

( )

max cos

2 arccos

cos /N α α ϕ

< = π

E’P E1 E2 E3 E4 EP

Détermination de la valeur maximale de β.

A B

C I

Equateur

Exprimons que tout point d’un fuseau compris entre les orbites et 2 reste à tout instant en vue d’un satellite. A un instant donné, la couverture la plus efficace suppose que chaque satellite A d’une orbite ait même latitude que le milieu

de l’arc BC joignant deux satellites consécutifs de l’autre orbite (figure). Comme, contrairement au cas précédent, les satellites se meuvent dans le même sens, cette configuration se maintient au cours du temps. C’est sur l’Equateur que le fuseau à couvrir est le plus large : la valeur maximale de β correspond à dans la figure :

1

M o

(OI OA, )=(OI OB, )=ϕ

β ϕ

( ) ( ) ( )

cosϕ=cosOI OB, =cos π/N cos −

( )

max cos

arccos

cos /N β β ϕ ϕ

< = + π

Discussion du nombre de satellites.

(

^,

)

^{( 1)}

1

P P

OE OE P

P

π α

π α β

= ′ = + −

= + −

β

Comme P^{( )}α et P( )β sont des fonctions décroissantes et comme α et βsont bornés supérieurement,

( )

( )

min

2 arccos cos cos /

1 cos

arccos cos / P P N

N π ϕ

π ϕ ϕ

π

−

> = + +

N 7 8 9 10

Pmin 5,40 4,44 4,08 3,88

On peut donc couvrir toute la Terre avec 6 orbites de chacune 7 satellites, 5 orbites de chacune 8 satellites ou 4 orbites de chacune 10 satellites. Il faut au moins 40 satellites.

‰ 5 – Un satellite géostationnaire est dans une position fixe. C’est un avantage, car on peut braquer les

antennes dans une direction fixe. Au contraire, avec un train de satellite, il faut envoyer ou recevoir les ondes dans toutes les directions et en outre il faut fréquemment changer de satellite, ce qui est un inconvénient.

Il suffit de trois satellites géostationnaires pour couvrir la plus grande partie de la Terre ; par contre, on ne peut pas couvrir les deux régions polaires.

Un satellite géostationnaire est dans le plan de l’Equateur, beaucoup plus loin (36 000 km) de la Terre que le train de satellites ; la puissance émise est plus grande et le coût de lancement est plus élevé.

L’aller et retour du signal de la Terre à un satellite géostationnaire prend environ 0,2 s, ce qui est un petit handicap dans les télécommunications.

‰ 6 – ^{[ ] [ ]}

[ ]

2 1

2 2

2

F MLT

v L T ML

− −

α = = − = .

Le satellite est soumis à l’attraction de la Terre FG_grav

qui dérive de l’énergie potentielle et à la force non conservative

Ep

fGa

: dE_c =

(

FG_grav +fG_a

)

⋅drG =−dE_p +fG_a ⋅drG

. Compte tenu de 0, on peut obtenir une équation différentielle portant sur v t :

2E_c +E_p =

( )

(

²

)

^{3 2} 2 ⁰

0

1 1 1

2

c a S T

S S S

d dv v t dv t GM

dE f dr M v v r r

dt dt M M v v v M

α α α

=− ⋅^{G G} =α = =

∫

= − = − ^;

ou sur ^{h t( )} :

( ) ( )

( )

2 3/2

2 2

2 2

T T S

p

T T T

S S

GM d GM M GM

v dE v vdt

r dt r

dr GM r dh GM R h

dt M dt M

= =− α − =− α

α α +

=− =−

T

r

‰ 7 – En faisant dans l’équation différentielle précédente les substitutions dh → −∆h =−1m et

03 orb 2

T

dt T r

→ = π GM , on obtient

( )

3 12 1

2 6 2

0 0

2.10 3.10 kg.m

2 4 4 7,2.10

S S

T orb

M h M h

GM r T r

− −

∆ ∆

α= = = =

π π× .

‰ 8 – Quand on divise h par 2, est multiplié par 2 et les autres facteurs varient peu, donc ; .

∆h β=1

( ) 2, 5.10 6kg

h h ⁻

γ = α =

A basse altitude α décroît avec l’altitude z comme la densité de l’air, soit comme exp(−z H/ ) ; on ne voit pas de raison théorique pour la loi de décroissance proposée, qui paraît une loi empirique ; cette loi est bien conforme à l’idée que le freinage diminue avec l’altitude ; elle en peut être valable dans l’atmosphère.