Epreuve de Math´ ´ ematiques

Epreuve de Math´ ´ ematiques

La clart´e des raisonnements et la qualit´e de la r´edaction interviendront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.

L’usage d’un instrument de calcul et du formulaire officiel de math´ematiques est autoris´e.

Exercice 1

On s’int´eresse `a un syst`eme entr´ee-sortie susceptible d’ˆetre contrˆol´e.

Dans la partie A, on ´etudie syst`eme en l’absence de contrˆole.

Dans la partie B, on ´etudie syst`eme soumis `a un contrˆole.

Les parties A, B et C sont ind´ependantes dans leurs r´esolutions respectives.

Partie A

On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E1) suivante : 1

2y⁰(t) +y(t) = 10−β (E1)

o`uy d´esigne une fonction d´erivable de la variable r´eeelletetβ une constante r´eelle.

1) Montrer que la fonctionhd´efinie pour tout nombre r´eel tpar h(t) = 10−β est solution de l’´equation diff´erentielle (E1).

2) R´esoudre l’´equation diff´erentielle (E₁).

3) Montrer que la fonction f, solution de l’´equation diff´erentielle (E₁) et qui v´erifie f(0) = 10 est d´efinie surRpar : f(t) =β e^−2t+ 10−β

4) Calculer lim

t→+∞f(t) que l’on note f_∞.

Partie B

On rappelle que la fonction ´echelon unit´e est d´efinie par : U :

(U(t) = 0 sit <0 U(t) = 1 sit>0

et qu’une fonction d´efinie surRest dite causale si elle est nulle pour tout nombre r´eel strictement n´egatif.

On consid`ere la fonction causalegqui v´erifie la relation (E₂) suivante : 1

2g⁰(t) +g(t) = 13 Z t

0

10U(u)−g(u)

du + (10−β)U(t) (E2) et la condition g(0) = 10

On admet que la fonctiongadmet une transform´ee de Laplace not´eeG.

1) Montrer que la transform´ee de Laplace Ide la fonction id´efinie par : i(t) = 13

Z t

0

10U(u)−g(u) du est telle que :

I(p) = 130

p² −13G(p) p

2) En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (E2), d´eterminer une expression deG(p).

3) V´erifier que : G(p) =10

p − 2β

(p+ 1)²+ 5² 4) Dans cette question, on va d´eterminer lim

t→+∞g(t) que l’on note g_∞ et qui est la valeur finale du signal repr´esent´e par la fonctiong.

On rappelle que, d’apr`es le th´eor`eme de la valeur finale, g_∞= lim

p→0⁺p G(p) D´eterminer g∞.

5) a) D´eterminer la transform´ee de Laplace de la fonction qui `a tout nombre r´eeltassocie e^−tsin(5t)U(t) b) En d´eduire l’expression de g(t).

Partie C

Dans cette partie on prend β= 5

En annexe 1, `a rendre avec la copie, on a repr´esent´e, sur l’intervalle [0; +∞[ les courbes Cf et Cg

repr´esentatives des fonctionsf etg d´efinies dans les partie A et B avecβ = 5.

On admet ici que pour tout nombre r´eeltpositif ou nul :

f(t) = 5e^−2t+ 5 et g(t) = 10−2e^−tsin(5t) On rappelle quef∞ etg∞ sont les limites respectives des fonctionsf etg en +∞

On a donc : f∞= 5 et g∞= 10

1) a) V´erifier que pour pour tout nombre r´eelt positif ou nul on a : f(t)−f_∞ f∞

=e^−2t b) Soitt1 le nombre r´eel tel que :

f(t)−f_∞

f_∞ 60,02 pour toutt>t1

Calculer la valeur exacte det1, puis une valeur approch´ee det1, arrondie au dixi`eme.

2) Soitt₂ le nombre r´eel tel que :

−0,026 g(t)−g_∞

g_∞ 60,02 pour toutt>t2

Graphiquement, d´eterminer une valeur approch´ee de t2, arrondie au dixi`eme.

Dans ce probl`eme, on a ´etudi´e un syst`eme entr´ee-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement, puis dans la partie B contrˆol´e par une commande int´egrale.

On a montr´e que grˆace `a cette commande on peut stabiliser la sortie `a la valeur 10 ind´ependamment de la perturbationβ, au prix d’une d´et´erioration du temps de r´eponse du syst`eme et de l’apparition d’oscillations amorties.

Exercice 2

2.

On consid`ere le filtre dont la fonction de transfertT est d´efinie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : T(ω) = −jωk

1−jω 2 Le nombrekest un nombre r´eel strictement compris entre 0 et 1.

En associant trois filtres identiques au pr´ec´edent, on obtient un syst`eme dont la fonction de transfertH est d´efinie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :

H(ω) = T(ω)³ 1) On noter(ω) le module deH(ω) On a donc : r(ω) =

H(ω)

a) Montrer que le module deT(ω) est kω r

1 + ω² 4 b) En d´eduire r(ω)

2) a) Justifier qu’un argument de (−jkω)³ est π 2 Justifier qu’un argument de 1−jω

2 est −arctanω 2

En d´eduire qu’un argument de H(ω) not´e ϕ(ω), est d´efini sur l’intervalle ]0; +∞[ par : ϕ(ω) =π

2 + 3 arctanω 2

b) On noteϕ⁰ la d´eriv´ee de la fonctionϕ. Calculer ϕ⁰(ω) D´eterminer le signe deϕ⁰ sur l’intervalle ]0; +∞[

c) D´eterminer les limites de la fonction ϕen 0 et en +∞.

3) Dans le tableau ci-apr`es on donne les variations de la fonctionrsur l’intervalle ]0; +∞[

Recopier et compl´eter ce tableau en utilisant les r´esultats obtenus dans la question 2.

ω 0 +∞

r⁰(ω) +

8k³

r(ω) %

0 ϕ(ω)

ϕ⁰(ω)

4) Dans cette question, on se place dans le cas o`u k= 0,9

Lorsque ωd´ecrit l’intervalle ]0; +∞[ le point d’affixeH(ω) d´ecrit une courbeC.

En annexe 2, `a rendre avec la copie,la courbeC est trac´ee dans le plan complexe.

On noteω0la valeur deω pour laquelle le module deH(ω) est ´egal `a 1.

a) Placer pr´ecis´ement le pointM0 d’affixeH(ω0) sur le document r´eponse de l’annexe 2.

b) Calculer la valeur approch´ee arrondie `a 10<sup>−2</sup> pr`es du nombreω0, puis deϕ(ω0) ?

Annexe 1

Document-r´ eponse ` a rendre avec la copie

O 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Annexe 2

Document-r´ eponse ` a rendre avec la copie

O

−2 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2 2

(C)

Corrig´ e de l’´ Epreuve de Math´ ematiques

Exercice 1

On s’int´eresse `a un syst`eme entr´ee-sortie susceptible d’ˆetre contrˆol´e.

Dans la partie A, on ´etudie syst`eme en l’absence de contrˆole.

Dans la partie B, on ´etudie syst`eme soumis `a un contrˆole.

Les parties A, B et C sont ind´ependantes dans leurs r´esolutions respectives.

Partie A

On consid`ere l’´equation diff´erentielle (E₁) suivante : 1

2y⁰(t) +y(t) = 10−β (E₁)

o`uy d´esigne une fonction d´erivable de la variable r´eeelletetβ une constante r´eelle.

1) Montrer que la fonctionhd´efinie pour tout nombre r´eel tpar h(t) = 10−β est solution de l’´equation diff´erentielle (E1).

h(t) = 10−β h⁰(t) = 0 1

2h⁰(t) +h(t) = 10−β h(t) = 10−β est une solution de (E₁) 2) R´esoudre l’´equation diff´erentielle (E₁).

1

1 2

= 2 a pour primitive 2tdonc une solution g´en´erale de l’´equation sans second membre estt7→k e^−2t La solution g´en´erale de l’´equatione (E1) est : y(t) =k e^−2t+ 10−β

3) Montrer que la fonction f, solution de l’´equation diff´erentielle (E1) et qui v´erifie f(0) = 10 est d´efinie surRpar : f(t) =β e^−2t+ 10−β

Si f(0) = 10 on a : k−10 +β = 10 donc : k=β et f(t) =β e^−2t+ 10−β 4) Calculer lim

t→+∞f(t) que l’on note f∞. On a lim

t→+∞e^−2t= 0 donc : f∞= lim

t→+∞f(t) = 10−β

Partie B

On rappelle que la fonction ´echelon unit´e est d´efinie par : U :

(U(t) = 0 sit <0 U(t) = 1 sit>0

et qu’une fonction d´efinie surRest dite causale si elle est nulle pour tout nombre r´eel strictement n´egatif.

On consid`ere la fonction causalegqui v´erifie la relation (E₂) suivante : 1

2g⁰(t) +g(t) = 13 Z t

0

10U(u)−g(u)

du + (10−β)U(t) (E₂) et la condition g(0) = 10

On admet que la fonctiongadmet une transform´ee de Laplace not´eeG.

1) Montrer que la transform´ee de Laplace Ide la fonction id´efinie par : i(t) = 13

Z t

0

10U(u)−g(u) du est telle que :

I(p) = 130

p² −13G(p) p On sait que

10U(u)−g(u)

a pour transform´ee de Laplace : 10

p −G(p) par int´egation on a : I(p) = 131

p 10

p −G(p)

= 130

p² −13G(p) p

2) En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (E2), d´eterminer une expression deG(p).

1 2

p G(p)−10

+G(p) =130

p² −13G(p)

p +10−β p 1

2p+13 p + 1

G(p) =130

p² + 5 +10−β p p²+ 2p+ 26

2p G(p) =5p²+ 10p+ 130−βp p²

G(p) =10p(p²+ 2p+ 26)−2βp² p²(p²+ 2p+ 26) G(p) = 10

p − 2β

p²+ 2p+ 26

3) V´erifier que : G(p) =10

p − 2β

(p+ 1)²+ 5² 4) Dans cette question, on va d´eterminer lim

t→+∞g(t) que l’on note g_∞ et qui est la valeur finale du signal repr´esent´e par la fonctiong.

On rappelle que, d’apr`es le th´eor`eme de la valeur finale, g_∞= lim

p→0⁺p G(p) D´eterminer g_∞.

g∞= lim

p→0⁺p G(p) = lim

p→0⁺10− 2βp

p²+ 2p+ 26 or lim

p→0⁺

2βp

p²+ 2p+ 26 = 0 donc : g∞= 10

5) a) D´eterminer la transform´ee de Laplace de la fonction qui `a tout nombre r´eeltassocie e^−tsin(5t)U(t)

t7→sin(5t)U(t) _L 7−→

p7→ 5 p²+ 5²

t7→e^−tsin(5t)U(t) _L 7−→

p7→ 5

(p+ 1)²+ 5²

b) En d´eduire l’expression de g(t).

G(p) = 10

p − 2β

(p+ 1)²+ 5²

L⁻¹

7−→ g(t) =

10 +2

5β e^−tsin(5t)

U(t)

Partie C

Dans cette partie on prend β= 5

En annexe 1, `a rendre avec la copie, on a repr´esent´e, sur l’intervalle [0; +∞[ les courbes Cf et Cg

repr´esentatives des fonctionsf etg d´efinies dans les partie A et B avecβ = 5.

On admet ici que pour tout nombre r´eeltpositif ou nul :

f(t) = 5e^−2t+ 5 et g(t) = 10−2e^−tsin(5t) On rappelle quef_∞ etg_∞ sont les limites respectives des fonctionsf etg en +∞

On a donc : f_∞= 5 et g_∞= 10

1) a) V´erifier que pour pour tout nombre r´eelt positif ou nul on a : f(t)−f∞

f_∞ =e^−2t f(t)−f∞

f_∞ = 5e^−2t+ 5−5

5 =e^−2t

b) Soitt1 le nombre r´eel tel que : f(t)−f_∞

f_∞ >0,02 pour toutt>t₁

Calculer la valeur exacte det1, puis une valeur approch´ee det1, arrondie au dixi`eme.

f(t)−5

5 60,02 f(t)−560,1 f(t)6f∞+ 0,1 e^−2t>0,02 t>−1

2ln(0,02)

−2t>ln(0,02) t1=−1

2ln(0,02)'2 2) Soitt₂ le nombre r´eel tel que :

−0,026 g(t)−g_∞

g_∞ 60,02 pour toutt>t2

Graphiquement, d´eterminer une valeur approch´ee de t2, arrondie au dixi`eme.

−0,026 g(t)−10

10 60,02

−0,26g(t)−1060,2 g∞−0,26g(t)6g∞+ 0,2 On va voir sur la figure que : t₂'2,4

Dans ce probl`eme, on a ´etudi´e un syst`eme entr´ee-sortie, dans la partie A libre de tout asservissement, puis dans la partie B contrˆol´e par une commande int´egrale.

On a montr´e que grˆace `a cette commande on peut stabiliser la sortie `a la valeur 10 ind´ependamment de la perturbationβ, au prix d’une d´et´erioration du temps de r´eponse du syst`eme et de l’apparition d’oscillations amorties.

Exercice 2

2.

On consid`ere le filtre dont la fonction de transfertT est d´efinie sur l’intervalle ]0; +∞[ par : T(ω) = −jωk

1−jω 2 Le nombrekest un nombre r´eel strictement compris entre 0 et 1.

En associant trois filtres identiques au pr´ec´edent, on obtient un syst`eme dont la fonction de transfertH est d´efinie sur l’intervalle ]0; +∞[ par :

H(ω) = T(ω)³ 1) On noter(ω) le module deH(ω) On a donc : r(ω) =

H(ω)

a) Montrer que le module deT(ω) est kω r

1 + ω² 4 T(ω)

= −jωk

1−jω

2

= ωk

r 1 +ω

2

2 donc :

T(ω)

= kω r

1 + ω² 4

b) En d´eduire r(ω) r(ω) = H(ω)

= T(ω)

3= k³ω³ r

1 + ω² 4

!3

2) a) Justifier qu’un argument de (−jkω)³ est π 2 arg(−jkω) = 3π

2 donc : arg (−jkω)³

= 9π

2 , donc aussi : arg (−jkω)³

=π 2 Justifier qu’un argument de 1−jω

2 est −arctanω 2

arg 1−jω

2

= arctan −^ω₂

1

donc : arg 1−jω

2

=−arctanω 2

En d´eduire qu’un argument de H(ω) not´e ϕ(ω), est d´efini sur l’intervalle ]0; +∞[ par : ϕ(ω) =π

2 + 3 arctanω 2

En effet :

ϕ(ω) = arg (−jkω)³

−3 arg 1−jω

2 =π

2 −3

−arctanω 2

b) On noteϕ⁰ la d´eriv´ee de la fonctionϕ. Calculer ϕ⁰(ω) D´eterminer le signe deϕ⁰ sur l’intervalle ]0; +∞[

ϕ⁰(ω) = 3 1 2 ω²

4 + 1

donc : ϕ⁰(ω) = 6 ω²+ 4 >0

c) D´eterminer les limites de la fonction ϕen 0 et en +∞.

lim

ω→0⁺ϕ(ω) = π

2 lim

ω→+∞ϕ(ω) = 2π

3) Dans le tableau ci-apr`es on donne les variations de la fonctionrsur l’intervalle ]0; +∞[

Recopier et compl´eter ce tableau en utilisant les r´esultats obtenus dans la question 2.

ω 0 +∞

r⁰(ω) +

8k³

r(ω) %

0

2π

ϕ(ω) %

π 2

ϕ⁰(ω) +

4) Dans cette question, on se place dans le cas o`u k= 0,9

Lorsque ωd´ecrit l’intervalle ]0; +∞[ le point d’affixeH(ω) d´ecrit une courbeC.

En annexe 2, `a rendre avec la copie,la courbeC est trac´ee dans le plan complexe.

On noteω0la valeur deω pour laquelle le module deH(ω) est ´egal `a 1.

a) Placer pr´ecis´ement le pointM0 d’affixeH(ω0) sur le document r´eponse de l’annexe 2.

Le pointM₀ est `a l’intersection de la courbe Cet du cercle trigonom´etrique.

b) Calculer la valeur approch´ee arrondie `a 10<sup>−2</sup> pr`es du nombreω0, puis deϕ(ω0) ? k³ω₀³

r 1 + ω₀²

4

!3 = 1

kω0= r

1 +ω₀² 4 k²ω₀²= 1 +ω₀²

4

k²−1 4

ω₀²= 1 ω₀²= 4

4k²−1 ω₀=

r 4

4k²−1 '1,34 ϕ(ω₀)'3,34

On voit que la valeur de 3,34 radians, correspond bien `a l’angle de la figure, un peu sup´erieur `aπradians.

Annexe 1

Document-r´ eponse ` a rendre avec la copie

O 1 2 3 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

f_∞+ 0,1

t₁ g_∞+ 0,2

g_∞−0,2

t₂ f_∞

g_∞

Annexe 2

Document-r´ eponse ` a rendre avec la copie

O

−2 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2 2

(C)

• M₀

Compl´ ement : Annexe 2 bis

Document-r´ eponse ` a rendre avec la copie

On demande de placer sur la figure les points correspondant aux valeurs donn´ees dans ce tableau :

ω 0 2√

3

3 2 tan ^2π₉

2 2

tan ^2π₉ 2√

3 2

tan ^π₉ 2√

3 + 4 2

tan ₁₈^π +∞

ϕ(ω) π

2 π 7π

6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π

6 2π

r(ω) 0 0,7290 1,5489 2,0619 2,6217 3,7880 4,8392 5,2559 5,5702 5,8320

O

−2 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2 2

Compl´ ement : Annexe 2 bis

Corrig´ e du Document-r´ eponse ` a rendre avec la copie

On demande de placer sur la figure les points correspondant aux valeurs donn´ees dans ce tableau :

ω 0 2√

3

3 2 tan ^2π₉

2 2

tan ^2π₉ 2√

3 2

tan ^π₉ 2√

3 + 4 2

tan ₁₈^π +∞

ϕ(ω) π

2 π 7π

6

5π 4

4π 3

3π 2

5π 3

7π 4

11π

6 2π

r(ω) 0 0,7290 1,5489 2,0619 2,6217 3,7880 4,8392 5,2559 5,5702 5,8320

O

−2 2 3 4 5 6

−5

−4

−3

−2 2

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•