2M270 Alg`ebre lin´eaire II UPMC 2015–2016
Contrˆ ole Continu du 20 octobre 2015
Exercice 1. SoientEun espace affine r´eel de dimension3etR= (O, ~e1, ~e2, ~e3)un rep`ere cart´esien. On consid`ere l’application affinef:E → E d´efinie par
f(O+x1e~1+x2e~2+x3e~3) =O+ (2x1+ 3x3+ 2)e~1
+ (x1+x2+ 2x3−1)e~2 + (x2−x3+ 1)e~3
SoitX=x1
x2
x3
le vecteur des coordonn´ees du pointO+x1e~1+x2e~2+x3e~3 dans le rep`ere cart´esienR.
1. D´eterminer A∈M3(R)etB∈R3 tels que, pour toutX∈R3,
f(O+x1e~1+x2e~2+x3e~3) =AX+B.
2. Trouver un pointO0 ∈ E tel quef(O0) =O0.
(Indication: on cherchera `a r´esoudre l’´equationf(O+x1e~1+x2e~2+x3e~3) =O+x1e~1+x2e~2+x3e~3).
On suppose qu’un point M =O+x1e~1+x2e~2+x3e~3 admet pour vecteur coordonn´ees X0 = x0
1
x02 x03
dans le rep`ere cart´esienR0 (autrement dit,M =O0+x01e~1+x02e~2+x03e~3).
3. Expliciterx01,x02,x03en fonction de x1,x2,x3.
4. D´eterminer A0∈M3(R)etB0 ∈R3tels que, pour toutX0∈R3,
f(O0+x01e~1+x02e~2+x03e~3) =A0X0+B0.
Exercice 2. Soient E un espace vectoriel de dimensionn et F un sous-espace vectoriel de E. On consid`ere l’orthogonal F⊥ deF, c’est-`a-dire le sous-espace vectorielF⊥ deE d´efini par
F⊥={φ∈E∗:φ(v) = 0pour toutv∈F}.
1. Enoncer une formule du cours exprimant la dimension deF⊥ en fonction des dimensions deE etF. On consid´ere l’espace vectoriel E =R3 et, pour toutt ∈R, Ft le sous-espace vectoriel de E engendr´e par les vecteurs
v1(t) :=
1 2 0
, v2(t) :=
2 2t t−2
.
2. D´eterminer la dimension de Ften fonction de t∈R. 3. En d´eduire la dimension deFt⊥ pour toutt∈R. 4. Donner une base deFt⊥ pourt6= 2.
5. Donner une base deF2⊥.
Exercice 3. On consid`ere l’espace affineE=R2. Si P,Qsont deux pointsdistincts deE on d´esigne par(P Q) l’unique droite passant par ces deux points. Soient O, A, B trois points de E tel que les vecteurs −→
OA, −−→ OB forment une base deR2 (c’est-`a-dire, les pointsO,A, B ne sont pas align´es).
SoientA0∈(OA)et B0∈(OB)deux points,A06=O etB06=O. Soientα, β∈Rles uniques nombres r´eels tels
que −−→
OA0=α−→
OA, −−→
OB0 =β−−→ OB.
1. Soith:E → E l’application d´efinie pour tout pointP ∈ E parh(P) =O+α−−→
OP. Montrer quehest une application affine et d´eterminer sa partie lin´eaire.
Le but de l’exercice est de montrer que les trois assertions suivantes sont ´equivalentes : (a) α=β.
(b) h(B) =B0.
(c) les droites (AB)et(A0B0)sont parall`eles.
1
UPMC 2015–2016 Alg`ebre lin´eaire II 2M270
A l’´` ecole l’´equivalence entre (a) et (c) est usuellement appell´ee«Th´eor`eme de Thal`es». Pour d´emontrer l’´equi- valence entre ces trois assertions, on va montrer les implications (a)⇒(b), (b)⇒(c) et (c)⇒(a) :
2. On commence en supposantα=β. Montrer alors l’´egalit´eh(B) =B0. 3. On ne suppose plusα=β, mais on supposeh(B) =B0. Calculer−→
h(−−→
AB) et en d´eduire que les droites (AB)et(A0B0)sont parall`eles.
Dor´enavant on ne suppose ni α = β, ni h(B) = B0, mais on suppose que les droites (AB) et (A0B0) sont parall`eles. Il existe alors un nombre r´eelλ∈Rtel que
−−−→
A0B0=λ−−→ AB.
4. Montrer−−→
OB0= (α−λ)−→
OA+λ−−→ OB.
(Indication: on commencera on ´ecrivant−−→
OB0=−−→
OA0+−−−→ A0B0...) 5. Utilisant la d´efinition deβ en d´eduire(α−λ)−→
OA+ (λ−β)−−→ OB= 0.
6. Conclureλ=α=β.
(Indication: On utilisera que les vecteurs−→
OA,−−→
OB forment une base.)
Exercice 4. Soient λ∈Run nombre r´eel et Pλ,Qλ les sous-espaces affines de l’espace affineE =R3 donn´es par les ´equations suivantes :
Pλ: 2λx1+x2+ 4x3= 3 Qλ:
(x2−2x3= 1 x1+ (λ+ 2)x3= 1
1. D´eterminer les espaces vectorielsPλ,Qλqui dirigent respectivement dePλ et Qλ. 2. Quelle est la dimension dePλ etQλ?
3. D´eterminer les valeurs deλpour lesquelles les sous-espaces vectorielsPλ etQλengendrent tout l’espace (autrement dit, pour lesquelsPλ+Qλ=R3).
4. Pourλ6= 1,−3d´eterminer l’intersection dePλ et Qλ. 5. D´eterminer l’intersection deP1 etQ1. Que remarque-t-on ? 6. D´eterminer l’intersection deP−3et Q−3.
Exercice 5. On consid`ere la matrice
A=
1 0 2 4 0 1 3 2 2 −1 0 3 4 −1 3 9
.
1. Calculer l’inverseA−1 deA.
2. La famille de vecteurs
v1=
1 0 2 4
, v2=
0 1
−1
−1
, v3=
2 3 0 3
, v4=
4 2 3 9
,
forme-t-elle une base deR4? Justifiez votre r´eponse.
3. Calculer la base dualev∗1, . . . , v∗4.
2
