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1) Montrer quef est continue sur R

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Academic year: 2022

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UNIVERSITÉ JOSEPH FOURIER 2014-2015

UE Mat 123

Devoir à rendre la semaine du 6 avril

On veut étudier la fonction définie parf(x) =x2Arctan1x si x6= 0etf(0) = 0.

1) Montrer quef est continue sur R.

2) Montrer quef est dérivable surR. Sa dérivée est-elle continue ? Déterminer la pente de la tangente au graphe de f à l’origine.

3) On veut étudier le comportement de la fonctionf au voisinage de l’infini.

a) En utilisant par exemple le théorème des accroissements finis sur [0,t], t > 0, montrer que0<Φ(t)< t3, oùΦ(t) =t−Arctant.

b) En déduire que pour x >0, on a 1

x− 1

x3 <Arctan1 x < 1

x.

c) Montrer que le graphe def possède une asymptote, que l’on déterminera, lorsque x→+∞. Quelle est la position du graphe de f par rapport à cette asymptote ?

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