LE RAYONNEMENT D’UN CORPS NOIR - solution
1. Il suffit de v´erifier que : – ∆−→
E −c12
∂2−→ E
∂t2 = 0 (´equation de Maxwell) – div(−→
E) = 0 (condition de Gauss) – les conditions aux limites sont v´erifi´ees.
2.
Fig.1 –vecteurs d’onde Pour chaque triplet (l, m, n), le vecteur d’onde −→
k du rayonnement est fix´e. Il s’agit d’un point dans l’espace (kx,ky,kz). Ceci peut ˆetre repr´esent´e dans la figure 1, o`u le huiti`eme de sph`ere de rayon kest aussi repr´esent´e.
Fixer une fr´equence ν maximale revient `a fixer une valeur maximale de k = 2πν/c. Le nombre nν de vecteurs d’onde correspondant `a une fr´equence maximaleν est donc le rapport entre le volume d’un huiti`eme de sph`ere de rayonk= 2πν/cet le volume associ´e `a un point, soit :
nν=
1
8(4πk3/3)
π Lx
π Ly
π Lz
=4πν3
3c3 LxLyLz
3. La condition−→e .−→
k = 0 permet de fixer une des trois composantes de−→e (le vecteur est dans un plan de normale
−
→k). Donc, pour chaque triplet (l,m,n), il est possible de d´efinir deux modes ind´ependants. Le nombreNν est ainsi le double du nombre de triplets (l, m,n) correspondant `a une fr´equence comprise entre 0 etν:
Nν = 2nν= 8πν3
3c3 LxLyLz
Le nombre de modes par unit´e de volume et unit´e de fr´equence (la densit´e de modes) est donc :
ρ(ν) = 1 LxLyLz
dNν
dν =8πν2 c3 4. Par d´efinition, l’´energie moyenne<E >d’un mode est de la forme :
<E>=
R∞ 0 EdP R∞
0 dP
Dans la statistique de Boltzmann on on obtient une ´energie moyenne constante<E>=kBT. La densit´e d’´energie uν est alors obtenue en multipliant la densit´e de modes par l’´energie moyenne de chaque mode. On obtient :
uν= 8πν2 c3 kBT
L’application num´erique donne `a 3000K et 1014Hzuν= 3,85.10−16J/Hz/m3, puis `a 2.1014Hzuν= 15,4.10−16J/Hz/m3. On constate que ces valeurs s’´eloignent fortement de la courbe exp´erimentale. En fait, la fonction parabolique enν n’est valable que pour des fr´equences tr`es faibles.
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5. En appliquant l’hypoth`ese de PlanckE=nhν, on obtient comme ´energie moyenne d’un mode :
<E >=
P∞
0 nhνe−nhν/kBT P∞
0 e−nhν/kBT = hν ehν/kBT −1 La densit´e d’´energie est alors :
uν =8πν2 c3
hν ehν/kBT −1
L’application num´erique donne `a 3000K et 1014Hzuν= 1,56.10−17J/Hz/m3, puis `a 2.1014Hzuν= 5,2.10−17J/Hz/m3. On constate que ces valeurs sont plus proches de la courbe exp´erimentale. On constate ´egalement que, pour des fr´equences faibles (hν << kBT), la formule de Planck co¨ıncide avec celle issue de la statistique de Boltzmann.
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