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Correction devoir surveillé n°7
Exercice 1
Calcul direct ou avec projeté… On pouvait aussi définir un repère et utiliser les coordonnées.
a. . cos; 5 3 cos 15
b. . . . 4 0 16 car et perpendiculaires.
c. . . . . . 0 . 4 0 Donc : . 15 16 1
d. . . . . 0 . 15
e. . . . . . . 4 0 0 15 11 Exercice 2
1) .
Or 4 ; 3√2 √6 18 6√12 6 24 12√3 et 4√3 1 43 2√3 1 16 8√3
D’où . 4 24 12√3 16 8√3 12 4√3 et donc . 6 2√3
De même, . % & 4 16 8√3 24 12√3 4 4√3 et donc
. 2 2√3
2) En utilisant la formule du produit scalaire avec cosinus : . cos' d’où cos' () (*.(*() On a donc : cos' -√,√++,√- +,√--√.√+/,+ /√.+√+,+√+,√/
0 /√,+√0 √ On en déduit : ' 10
On effectue le même calcul avec l’autre produit scalaire : cos2 )( )*)(.)* √-,,.√- et donc 2 1-. On peut enfin calculer le troisième angle : ' 101- et donc ' 31
Exercice 3
1) 4 4 4 4 24 car comme 4 est le milieu de %&, on a 4 4. 2) .5 5 cos61017 3 4 cos 6-107 12 6√7 et donc .5 6√2
3) 4. 5 . 5 . .5 . .5
Or . 0 car et sont orthogonaux, . . cos61107 6√2 et .5 0 car les vecteurs sont orthogonaux.
D’où 4. 5 0 6√2 6√2 0 0.
Ceci montre que les vecteurs 4 et 5 sont orthogonaux et donc que les droites 4 et 5 sont perpendiculaires.
