Accélération de Convergence

Accélération de Convergence

1 Accélération de convergence

1.1 Construction d’un sous-espace sécant

Le principe consiste à réduire l’opérateur tangent (inconnu et on ne souhaite pas le calculer) à un sous espace (Line Search Multidimension)

A chaque itération est associé un couple

{ ^{⃗ U}

i

, ⃗ R

_i

}

vérifiant l’équation suivante :

⃗ F

_ext

( ^{⃗ U}

i

) ^{− ⃗ F}

int

( ^{⃗ U}

i

) ^{=⃗ R}

i

Il faut définir un produit scalaire auquel on associe la norme Euclidienne (le choix de la norme n’est pas unique) :

-

⃗u⋅⃗v=

∑

i=1 q

(

^uiv_i

)

-

‖⃗ v‖=⃗ v⋅⃗ v

Remarques :

1- La norme Euclidienne est choisie parce que la minimisation (dérivation) fait apparaitre un système linéaire (facile à résoudre).

2- On minimise

⃗ R ⋅⃗ R

mais on pourrait envisager de minimiser le travail associé à l’incrément de déplacement :

⃗ ΔU⋅⃗ R

En sélectionnant

⃗ R

_n l’un des résidus (au choix), après

m+ 1

itérations, on peut construire ^m vecteurs

( ^{⃗ R}

i≠n

−⃗ R

_n

)

constituant un espace vectoriel (Ils ne sont pas nécessairement libres). Une base orthonormée

{ ^{⃗ b}

i

}

constituée de p vecteurs (

p≤m

) est fabriquée à l’aide du procédé d’orthogonalisation de Gram-Schmidt :

⃗b₁=β₁

(

^⃗R1−⃗R_n

)

⋮

⃗b_i≠n=β_i

[ ⁽

^{⃗Ri−⃗Rn}

⁾

^−k=1

^∑

ⁱ⁻¹

^{( (}

^pik−pnk

⁾

^⃗bk

⁾ ]

¿

{¿^{¿ ¿ ¿

¿ Avec :

β_i=‖(^⃗Ri−⃗R_n)⁻

∑

k=1 i−1

(

(^pik−p_nk)^⃗bk

)

^‖

p_jk=⃗R_j⋅⃗b_k

¿

{¿ ¿ ¿

¿

Il est à présent possible d’écrire n’importe quel vecteur

⃗ R

dans le sous espace affine associé par la relation suivante :

⃗R=⃗R_n+

∑

i=1 p

(

^λi⃗b_i

)

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1.2 Minimisation du résidu

L’opération suivante consiste à déterminer les

λ

_k

tel que la norme

‖⃗ R _acc ‖

soit minimale.

∀ k ∈ [

1; p

] ^∂ ( ^{⃗ R}

acc

⋅⃗ R

_acc

)

∂ λ

_k

=2 ∂⃗ R

_acc

∂ λ

_k

⋅⃗ R

_acc

=0

⇒ ∀ k ∈ [

1

; p ]

2

∂ ⃗ R

_acc

∂ λ

_k

⋅⃗ R

_acc

=0

Calcul du terme

∂⃗ R

_acc

∂ λ

_k

∂⃗R_acc

∂λ_k =

∂

(

^⃗Rn+

^∑

i=1 p

(

^λi⃗b_i

) )

∂λ_k =

∂

( ^∑

i=1 p

(

^λib⃗_i

) )

∂λ_k =

∑

i=1

p

(

^∂∂

⁽

^λλi⃗bkⁱ

⁾ )

⁼

^∑

i=1 p

(

^∂∂λλkⁱ

⃗b_i

)

⁼

^∑

i=1 p

(

^δ_ik^⃗b_i

)

^{= ⃗b}_k

Ce qui donne, en l’introduisant dans la relation précédente et en développant :

∀ k ∈ [

1

; p ] ^⃗ R ⋅ ∂⃗ R

_acc

∂ λ

_k

=0

⇒ ( ^{⃗ R}

ⁿ

^{+ ∑}

i=1 p

( ^λ

i

⃗ b

_i

) ) ^{⋅⃗ b}

^k

⁼⁰

⇒⃗ R

_n

⋅⃗ b

_k

+ [ ^∑

^i=1p

^{( λ}

ⁱ

^{⃗ b}

ⁱ

⁾ ] ^{⋅⃗ b}

^k

⁼⁰

⇒⃗ R

_n

⋅⃗ b

_k

+ [ ^∑

^i=1p

^{( λ}

ⁱ

^{( ⃗ b}

^k

^{⋅⃗ b}

ⁱ

^{) )} ] ⁼⁰

⇒⃗ R

_n

⋅⃗ b

_k

+ [ ^∑

^i=1p

^{( λ}

ⁱ

^δ

^ki

⁾ ] ⁼⁰

⇒⃗ R

_n

⋅⃗ b

_k

+ λ

_k

=0

⇒ λ

_k

=−⃗ R

_n

⋅⃗ b

_k

Précédemment on a déjà calculé

⃗ R

_n

⋅⃗ b

_k lors de l’orthogonalisation :

p

_nk

=⃗ R

_n

⋅⃗ b

_k

⇒ λ

_k

=− p

_nk

Les

λ

_k

minimisant

‖⃗ R‖

sont déjà déterminés durant la fabrication de la base orthonormée. Ainsi, le nouveau résidu projeté (corrigé) vaut :

⃗R_acc=⃗R_n−

∑

i=1 p

(

^pni⃗b_i

)

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Le nouvel incrément de déplacement

⃗ ΔU

_acc

sera calculé à l’aide de l’opérateur

K

(raideur élastique par défaut dans Cast3M mais on pourrait choisir autre chose) et sera ajouté au déplacement

⃗ U

_n associé au résidu

⃗ R

_{n de}

référence :

⃗ ΔU

_acc

= K

⁻¹

⋅⃗ R

_acc

⇒⃗ U

_i+1

=⃗ U

_n

+⃗ ΔU

_acc

Le comportement peut à nouveau être évalue par

⃗ F

_ext

( ^{⃗ U}

_i+1

) ^{− ⃗ F}

_int

( ^{⃗ U}

_i+1

) ^{=⃗ R}

_i+1 et l’opération se poursuit à chaque itération.

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