UNIVERSITÉ GRENOBLE-ALPES 2017-2018
Enseignant : Rémi Molinier Prépa Agreg
Exercices sur les anneaux
Merci beaucoup à Vincent Beck pour presque l’entièreté des exercices de cette longue liste.
1 La structure d’anneau.
Exercice 1 – Anneau de fonction SoitAun anneau etI un ensemble.
1) Montrer que l’ensemble F(I, A)des fonctions de I dansAest un anneau (commutatif si Al’est). Quel est l’élément neutre pour l’addition, la multiplication ?
2) On suppose queI est un espace métrique etA=R. Montrer que les fonctions continues surI forment un sous-anneau deF(I, A).
3) Pourx∈I, montrer que l’application
evx: F(I, A)−→A f 7−→f(x) est un morphisme d’anneaux appelémorphisme d’évaluation enx.
4) Déterminer les diviseurs de0 dansC(R,R).
5) Déterminer les éléments inversibles deF(I, A)? deC(R,R)?
6) Soitx0∈R. Montrer que l’ensemble{f ∈C(R,R)|f(x0) = 0}est un idéal maximal deC(R,R). Est-il principal ? Que se passe-t-il si on remplaceC(R,R)parR[X],C∞(R,R),F(R,R)?
7) Existe-t-il des éléments nilpotents non nuls dansC(R,R)?
8) SoitU un ouvert deCet Hl’anneau des fonctions holomorphes surU. Montrer queHest intègre si et seulement siU est connexe.
Exercice 2 – Diviseurs de 0
1) Déterminer les diviseurs de0 dansZ,D,Q,R,C,R[X].
2) Déterminer les diviseurs de0 dansZ/4Z. 3) Déterminer les diviseurs de0 dansZ/nZ.
4) Dans un anneau commutatif, montrer que le produitabest un non-diviseur de0si et seulement siaet b le sont.
5) Montrer qu’un sous-anneau d’un anneau intègre est intègre.
6) Un produit d’anneaux est-il intègre ? un corps ?
7) Soitk un corps etP ∈k[X]. Déterminer les diviseurs de0 dansk[X]/(P).
Exercice 3 – Éléments inversibles SoitAun anneau.
1) Montrer que l’ensembleA× des éléments inversibles deAest un groupe pour la multiplication.
2) Déterminer les éléments inversibles deZ,D,Q,R,C,R[X].
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13) Comparer les groupesF3(X)× etQ(X)×. 4) Déterminer les éléments inversibles deZ/4Z. 5) Déterminer les éléments inversibles deZ/nZ.
6) Montrer que siuest inversible etxnilpotent etux=xualorsu+xest inversible. En particulier, montrer que1 +xest inversible. Quel est l’inverse ?
7) Montrer que si f : A → B est un morphisme d’anneaux alors f induit par restriction un morphisme de groupes deA× dansB×. On suppose que f est surjectif, le morphisme deA× dansB× induit est-il surjectif ?
8) Montrer queZ/nZest intègre si et seulement siZ/nZest un corps si et seulement sinest premier.
9) Soitk un corps etP∈k[X]. Déterminer les éléments inversibles dek[X]/(P). En déduire quek[X]/(P) est un corps si et seulement siP est irréductible.
Exercice 4 – Éléments nilpotents et radical 1) Déterminer les éléments nilpotents deZ/nZ.
2) Soitk un corps etP ∈k[X]. Déterminer les éléments nilpotents dek[X]/(P).
3) On suppose queAest un anneau commutatif. Montrer que l’ensemble des éléments nilpotents deA est un idéal deA? Le résultat s’étend-il à un anneau non commutatif ?
4) On suppose encore queAest commutatif. On considère un idéal IdeA. Montrer que l’ensemble
√
I={x∈A| ∃n∈N, xn∈I}
est un idéal contenantI. Que vaut√
0? Calculerp√
I? 5) Décrire l’idéal deA/I correspondant à√
I.
6) Montrer que l’intersection des idéaux premiers de A contenant I est √
I (c’est une question difficile : on pourra montrer que si x /∈ √
I, l’ensemble des idéaux contenant I ne rencontrant pas l’ensemble {xn|n∈N} est non vide et admet un élément maximal qui est un idéal premier deA).
7) Montrer queA/√
0est un anneau réduit (i.e. n’a pas d’élément nilpotent non nul).
L’exercice suivant est FONDAMENTAL.
Exercice 5 – Caractéristique
1) Propriété universelle de l’anneau Z. Soit A un anneau unitaire. Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneaux unitairesf :Z→A. Vérifier qu’il est donné par f(k) =k1A.
Le noyau de l’unique morphismef :Z→Aest de la formenZpour un uniquen∈N. Cet entiernest appelé lacaractéristique de l’anneauA. C’est le plus petit entier non nul (s’il existe) tel quen1A= 0. Il vérifie aussi na= 0pour touta∈A(pourquoi ?).
2) Montrer que le sous-anneau premier deAest isomorphe à Z/car(A)Z. 3) Montrer que siAest un sous-anneau deB alors car(A) =car(B).
4) Soitg:A→B un morphisme d’anneau. Comparer la caractéristique deAet celle deB. En déduire que si car(A)et car(B)sont premiers entre eux alors il n’y a pas de morphisme d’anneaux entreAetB.
5) Quelle est la caractéristique deZ/nZ, deZ,Q, R,R[X]?
6) Quelle est la caractéristique deZ/4Z×Z/2Z? et celle deZ/8Z×Z/6Z? 7) Quelle est la caractéristique deQ
n∈NZ/nZ?
8) Quelle peut être la caractéristique d’un anneau intègre ? d’un corps ?
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29) Montrer qu’il n’existe pas de morphisme de corps entre deux corps n’ayant pas la même caractéristique.
10) Montrer qu’un anneau de caractéristiquep (premier) peut être muni d’une structure d’espace vectoriel sur le corpsFp=Z/pZ.
11) Montrer que siA et B sont deux anneaux de caractéristiquepet f :A→B un morphisme d’anneaux alorsf est Fp linéaire pour la structure définie dans la question précédente.
12) Montrer qu’il n’existe aucun morphisme d’anneaux unitaires deQ(resp.R,C,Z/nZavecn≥1) dansZ. 13) Montrer que l’unique morphisme d’anneaux unitaires f : Z → Q vérifie que pour tous morphismes
d’anneaux unitairesg, h:Q→A tel queg◦f =h◦f, on a h=g.
Exercice 6 – Anneau quotient
SoitAun anneau,I un idéal deA. On définit la relation d’équivalence surI RI par xRIy⇐⇒x−y∈I .
L’ensemble quotient se note A/I (c’est bien entendu cohérent avec la notation usuelle puisque I est un sous-groupe du groupe additifAetRI la relation habituelle).
1) SoitRune relation d’équivalence sur un anneauA. Montrer qu’il existe surA/Rune structure de groupe telle que la surjection canoniqueπ soit un morphisme d’anneaux (cette structure étant alors unique) si et seulement si R est compatible avec les deux lois de A. De plus, montrer que si ces conditions sont vérifiées, il existe un idéalI deAtel queR=RI (remarquer queI est nécessairement la class de0).
2) Décrire la classe dexpourRI.
3) Montrer que la relationRI est compatible avec les lois deA. En déduire qu’il existe une unique structure d’anneau surAtelle que la surjection canonique soit un morphisme d’anneaux.
4) Montrer que tout idéal deAest le noyau d’un morphisme (qu’on peut supposer surjectif) d’anneaux.
5) Propriété universelle du quotient.SoientAun anneau,Iun idéal deAetπ:A→A/Ila surjection canonique. On considère un anneauBetf :A→B un morphisme d’anneaux. Montrer l’équivalence des trois propriétés suivantes
(i) Il existe une application f :A/I →B telle que f =f ◦π i.e. telle que le diagramme suivant soit commutatif
A f //
π
B
A/I
f
==
(ii) I⊂kerf (iii) f(I) ={0A}.
Montrer que lorsque ces conditions sont vérifiées, l’application f est uniquement définie et que c’est un morphisme de d’anneaux. Vérifier que Imf = Imf et kerf = kerf /H et que f est donnée par f(x) =f(x)pour toutx∈A (oùx=π(x)désigne la classe dexdansA/I).
Morale (à retenir) : se donner un morphisme d’anneaux issu d’un quotient, c’est la même chose que de se donner un morphisme trivial sur l’idéal par lequel on veut quotienter. C’est donc très facile de construire des morphismes issus de quotients.
6) Montrer que l’application
Homann.A/IB−→Homgr.AB ϕ7−→ϕ◦π
est une application injective dont on déterminera l’image. Pour un élément de l’image, on décrira l’unique antécédent.
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37) Premier théorème d’isomorphisme.Soitf :A→Bun morphisme d’anneaux. Montrer quef induit un isomorphisme de groupes ϕ : A/kerf → Imf donné par ϕ(x+ kerf) = f(x) pour tout x ∈ A.
Qu’obtient-on lorsquef est surjectif ?
8) Applications. En utilisant l’exercice 5, montrer que Homann.Z/nZA a au plus un élément. à quelle conditionHomann.Z/nZA6=∅? En déduireHomann.Z/nZZ/mZ. Comparer avecHomgr.Z/nZZ/mZ. Exercice 7 – Théorème de correspondance
SoientAetB deux anneaux etf :A→Bun morphismesurjectifd’anneaux. On noteK= kerf,A (resp.
AK) l’ensemble des idéaux deA (resp. contenantK),Bl’ensemble des idéaux de B.
1) Montrer que l’application
α: A −→B I7−→f(I)
est bien définie. (On remarquera aussi que cette application n’est pas bien définie sif n’est pas surjectif : f(I)n’est pas un idéal).
2) Montrer que l’application
β: B−→A J 7−→f−1(J) est bien définie et à valeurs dansAK.
3) PourJ ∈H etI∈G, calculerα◦β(J)etβ◦α(I). En déduire queβ est injective,αest surjective et β etαsont des bijections réciproques l’une de l’autre entreAK etB.
4) Montrer que ces bijections induites par αet β conservent les inclusions, les intersections (attention, ce n’est pas purement formel), les idéaux premiers, les idéaux maximaux, les radicaux.
5) Deuxième théorème d’isomorphisme.SoitJ(resp.I) un idéal deB(resp.AcontenantK). Construire un isomorphisme de groupes entreA/β(J)etB/J (resp. entre A/I et B/α(I)).
6) Application. On considère un anneau A, K un idéal de A et f : A → A/K la surjection canonique.
Décrire des bijections respectant les inclusions, les intersections, les idéaux premiers et maximaux et les sous-groupes deA/K. Déduire de la question précédente, l’isomorphisme de groupeA/I∼= (A/K)/(I/K) pour tout idéalI deAcontenantK.
7) Application.Voir l’exercice 20.
8) Application. Soit k un corps et 0 6=P ∈ k[X]. Montrer que l’anneau k[X]/P n’a qu’un nombre fini d’idéaux.
9) Complément. On considère à présent A et B deux anneaux et f : A → B un morphisme d’anneau qu’on ne suppose plus surjectif. Donner un exemple d’idéal deAtel que f(I)ne soit pas un idéal de B.
Montrer que l’image réciproque d’un idéal (resp. premier) est un idéal (resp. premier). Est-ce le cas pour un idéal maximal ?
Exercice 8 – Morphismes d’anneaux Soitf :R→Run endomorphisme d’anneau.
1) Calculerf(n)pour n∈Zpuis pourf ∈Q.
2) Montrer quef(x)≥0six≥0(on caractérisera la positivité d’un réel en terme algébrique).
3) En déduire quef est croissante.
4) En déduire quef = IdR.
5) Soitf :C→Cun endomorphisme d’anneau. Montrer l’équivalence (i) f est l’identité ou la conjugaison ;
(ii) f est continu ;
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4(iii) f(R)⊂R;
(iv) f(x) =xpour toutx∈R. Exercice 9 – Matrice triangulaire
Soitkun corps. On considère le sous-anneau deMat2(k) A=
a b 0 c
|a, b, c∈k
1) Déterminer les éléments nilpotents deA? 2) Déterminer les inversibles deA?
3) Déterminer les éléments réguliers à droite, à gauche ? 4) Déterminer les idéaux deAet les quotients correspondants.
Exercice 10 – Anneau produit et idéaux On considère l’anneau produitA=A1× · · · ×An.
1) SoitI un idéal bilatère deA. Montrer queI=I1× · · · ×In oùIj est un idéal bilatère deAj. Quel est le quotient ?
2) On suppose que tous lesAi sont non nuls et commutatifs. Décrire les idéaux premiers deA? les idéaux maximaux deA?
3) On suppose que les Aj sont des corps. Combien A admet-il d’éléments maximaux ? En déduire qu’un produit de deux corps n’est jamais isomorphe à un produit de trois corps.
Exercice 11 – Opérations sur les idéaux SoitAun anneau.
1) SoitI etJ deux idéaux à gauche (resp. à droite, bilatère). Montrer queI+J={i+j|i∈I, j∈J} est un idéal à gauche (resp. à droite, bilatère).
2) SoitI et J deux idéaux à gauche (resp. à droite, bilatère). Montrer que IJ=
( n X
k=0
ikjk|n∈N, ik∈I, jk∈J )
est un idéal à gauche (resp. à droite, bilatère).
3) Montrer que(I+J) +K=I+ (J+K),(IJ)K=I(J K),(I+J)K=IK+J K etI(J+K) =IJ+IK. Montrer0 +I=I+ 0 =Iet AI=I(siI est un idéal à gauche). A-t-onIA=I?
Exercice 12 – Anneaux finis
1) Montrer qu’un anneau intègre fini est un corps.
2) Donner des exemples d’anneaux non intègres et finis.
3) Déterminer les anneaux à2,3et4 éléments.
Exercice 13 – Anneaux d’idempotents SoitAun anneau tel quea2=apour touta∈A.
1) Montrer queAest commutatif.
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52) Dans cette question (et dans cette question seulement), on suppose queAest intègre. Montrer queAest un corps et queAa deux éléments.
3) Montrer que tout idéal premier deAest maximal.
Exercice 14 – Manipulations algébriques SoitAun anneau tel quea3=apour touta∈A.
1) Déterminer les éléments nilpotents deA.
2) Soite∈Atel quee2=eeta∈A etb=ea(1−e). Calculerb2 et en déduire queea=ae.
3) En déduire que pour toutx∈Aalorsx2∈ZA.
4) Montrer que2x∈ZApour toutx∈A.
5) Montrer que3x2+ 3x= 0. En déduire que3x∈ZA.
6) Montrer queAest commutatif.
Exercice 15 – Anneaux de fonctions continues sur un compact SoitAl’anneau des fonctions continues de[0,1]dansR.
1) Soit x∈ [0,1]. Montrer que Ix ={f ∈A|f(x) = 0} est un idéal maximal de A. Quel est le quotient A/Ix?
2) Tous les idéaux deAsont-ils maximaux ? premiers ? 3) Ix est-il principal ?
4) Montrer que(Ix)2=Ix.
5) Montrer que tout idéal maximal deAest de la formeIx.
Definition 1(Idéal premier). SoitIun idéal deAun anneau commutatif. On dit queIest un idéal premier si les propriétés équivalentes suivantes sont vérifiées
(i) A/I est intègre ;
(ii) I6=A et xy∈I⇐⇒x∈I ouy∈I.
(iii) A\Iest une partie multiplicative deA.
Definition 2 (Idéal maximal). Soit I un idéal de A un anneau commutatif. On dit que I est un idéal maximal si les propriétés équivalentes suivantes sont vérifiées
(i) A/I est un corps ;
(ii) I6=Aet si J est un idéal tel queI⊂J alorsJ=AouJ =I;
(iii) I est un élément maximal (pour l’inclusion) parmi les idéaux distincts deA.
Exercice 16 – Idéaux premiers, idéaux maximaux
1) SoitA un anneau intègre. Montrer que si Acontient un nombre fini d’idéaux alors Aest un corps (on pourra considérer les idéaux de la forme(an)).
2) SoitAun anneau commutatif. Montrer qui siAcontient un nombre fini d’idéaux alors tout idéal premier est maximal.
3) SoitA un anneau tel que tout idéal est premier. Montrer queA est un corps (on pourra considérer les idéaux de la forme(x2)).
Exercice 17 – Lemme de Zorn et anneaux SoitAun anneau commutatif.
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61) On suppose queA6={0}. Montrer queA admet un idéal maximal.
2) SoitI6=A un idéal deA. Montrer qu’il existe un idéal maximal deAcontenantI (on pourra appliquer la question précédente àA/I).
3) Soitf ∈A. On noteS ={fn|n∈N}. à quelle condition l’ensemble des idéaux ne rencontrant pas S admet un élément maximal. Montrer qu’un tel idéal maximal est premier. En déduire que l’intersection des idéaux premiers deAest formée des éléments nilpotents deA.
2 Congruences et nombres premiers.
2.1 Congruences.
Exercice 18 – Congruences
1) Calculer le dernier chiffre de l’écriture décimale de777.
2) Déterminer le plus petit multiple de19dont l’écriture en base10ne comporte que des1.
3) Soientm, n∈N∗ premiers entre eux. Expliciter l’application inverse de l’isomorphisme du lemme chinois Z/mnZ−→Z/mZ×Z/mZ
4) Soientm, n∈N∗. Montrer queZ/nZ×Z/mZest cyclique si et seulement simetnsont premiers entre eux.
5) Soientm, n∈N∗. Montrer queZ/nZ×Z/mZest isomorphe à un groupe de la formeZ/aZ×Z/bZavec b|a. Donner une expression pouraetb en fonction demet n.
6) Soientm, ndeux entiers naturels non nuls et soitdleurpgcd. Montrer quepgcd(2m−1,2n−1) = 2d−1.
7) Soit(Fn)n>0la suite de Fibonacci (F0= 0,F1= 1et Fn+2=Fn+1+Fn pour n>0).
(i) Montrer que Fm etFm+1 sont premiers entre eux.
(ii) Montrer que Fn =Fm+1Fn−m+FmFn−m−1pour m < n.
(iii) Soientm, ndeux entiers naturels non nuls et soitdleurpgcd. Montrer quepgcd(Fm, Fn) =Fd.
Exercice 19 – Morphisme
1) Soientm, ndeux entiers supérieurs ou égaux à 1. Combien y a-t-il de morphismes d’anneaux deZ/mZ dansZ/nZ?
2) Combien y a-t-il de morphismes de groupes deZ/mZdansZ/nZ? 3) Combien y a-t-il de morphismes de groupes, d’anneaux deZ/mZdansC? Exercice 20 – Un exemple
SoitA=Z/34527Z.
1) Déterminer les éléments inversibles, nilpotents, diviseurs de0 dansA.
2) Déterminer les idéaux deA.
3) Quels sont les idéaux premiers deA, les idéaux maximaux ? 4) Donnez les inclusions des idéaux les uns dans les autres.
Exercice 21 – Parce que savoir faire l’algorithme d’Euclide est INDISPENSABLE
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71) Calculer lepgcdde P = 2X4−3X2+ 1et Q=X3+X2−X−1 dans Q[X] et U, V ∈ Q[X] tel que pgcd(P, Q) =U P +V Q. Même question dansR[X].
2) Calculer l’inverse deX3−X+ 1dansQ[X]/(X2+X+ 1).
3) Calculerpgcd(Xn−1, Xm−1).
4) Montrer quepgcd(m, n) = 1si et seulement simest inversible dans Z/nZ. Exercice 22 – Les carrés dans un corps fini
1) On suppose dans cette question quekest un corps fini de caractéristique2. Montrer que tout élément de kest un carré.
On suppose pour le reste de l’exercice quekest un corps fini de caractéristiquep6= 2. On noteq=pd =|k|.
Pour les questions c et e, proposer deux méthodes : l’une élémentaire (avec le théorème de Lagrange et le fait que dans un corps, un polynôme de degréda au plusdracines), l’autre reposant sur la cyclicité dek×. 2) Déterminer les solutions de l’équationx2= 1dansk.
3) Montrer que, dansk, il y a exactement(q+ 1)/2carrés (indication pour la méthode élémentaire : étudier le morphisme de groupesx∈k× 7→x2∈k×).
4) Montrer quex(q−1)/2∈ {±1} pour toutx∈k×.
5) Montrer quex∈k× est un carré dansksi et seulement six(q−1)/2= 1.
6) Montrer que−1est un carré dansksi et seulement si q= 1[4]. En déduire que −1 est un carré modulo psi et seulement sip= 1[4].
7) Application (voir [Tau92, théorème 5.3 p.368]) : un premier pas vers le théorème des 2 carrés.On suppose quep= 1[4]et on fixeu∈Ztel que−1 =u2[p]. SoitΓ⊆Z2 le sous-ensemble
Γ =
(a, b)∈Z2|a=ub[p]
Montrer que Γest un sous-groupe de Z2. Déterminer le groupe quotientZ2/Γ. Remarque : Ici le fait queu2=−1[p]n’a aucune importance. Cette propriété deusert en fait dans la suite de la démonstration du théorème des deux carrés.
2.2 Quelques critères élémentaires de primalité.
Les exercices suivants (exercices 23 et 27) sont extrêmement classiques.
Exercice 23 – Théorème de Fermat-Euler
[Dem97, Proposition 2.11, exercices 2.23 et 2.24] Il s’agit ici d’étudier quelques conséquences élémentaires du théorème de Lagrange (l’ordre d’un élément divise l’ordre du groupe) dans la théorie desZ/nZ.
1) Montrer que siaet nsont deux entiers premiers entre eux alors aϕ(n)= 1 [n]. Que se passe-t-il si nest premier ?
2) Soienta∈N∗et n≥2 tels quean−1= 1 [n]et ax6= 1 [n]pour tout diviseur strict xden−1. Montrer quenest premier.
3) Soientaetndeux entiers naturels non nuls. Montrer quen|ϕ(an−1).
4) Soient a, net m trois entiers naturels. On suppose quem est premier et que n | am−1. Montrer que n|a−1oum|ϕ(n). En déduire que tout facteur premier du nombre de Mersenne2m−1oùm >2 est congru à1 modulo2m.
Exercice 24 – Théorème de Wilson
[Dem97, exercices 2.16 à 2.19] Soit n≥2. Montrer que nest premier si et seulement si (n−1)! =−1 [n].
Lorsquenn’est pas premier, calculer(n−1)! [n]. Pour quelques compléments autour du théorème de Wilson : http://www.math.jussieu.fr/∼beck/pdf/cplt-wilson.pdf.
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8Exercice 25 – Nombres de Mersenne [Dem97, 3.2.4 et exercice 6.32]
1) Soientm≥2et n≥1des entiers. Montrer que simn−1est premier, alorsm= 2 etnest premier.
Un nombre de la forme2n−1 est appelénombre de Mersenne.
2) Soitpun entier premier et soitqun diviseur premier de2p−1. Montrer quepdiviseq−1.
Exercice 26 – Nombres de Fermat [Dem97, 3.2.3, exercices 5.14 et 6.32]
1) Soientm≥2 etn≥1 un entier. Monter que simn+ 1est premier, alors nest une puissance de2et m est pair.
Le nombre xn = 22n+ 1 est appelé le nième nombre de Fermat. Les nombres x0 = 3, x1 = 5, x2 = 17, x3= 257, x4= 65537sont premiers. Maisx5= 641×6700417ne l’est pas.
2) Montrer que sin 6=m sont non nuls alors xn et xm sont premiers entre eux (on pourra considérer un diviseur premier commun àxm quexn ou alors, comme dans la question d, factoriserxn−2 = 22n−1).
En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers.
3) Montrer quexn+1= (xn−1)2+ 1pourn≥0.
4) En déduire que, pourn≥1,
xn−2 =
n−1
Y
k=0
xk.
En particulier, on obtient quexm|xn−2 sim < n. Retrouver le résultat de la question b à savoirxm etxn sont premiers entre eux pourn6=m non nuls.
Dans les questions e et f , on considèren≥1et pun diviseur premier dexn. On suppose quep6=xn. 5) Montrer quep= 2n+1m+ 1 oùmadmet un diviseur premier impair.
6) Montrer que 2 est un carré modulop. En déduire que p= 2n+2m+ 1. On pourra utiliser le calcul du symbole de Legendre
2 p
= (−1)(p2−1)/8 et
2 p
= 2(p−1)/2[p].
Exercice 27 – Nombres de Carmichael
[Dem97, Propositions 3.25 et 3.27] On utilisera librement le fait que (Z/pZ)× est cyclique. Un entiernnon premier est dit de Carmichael sian−1= 1 [n]pour tout entierapremier à n.
1) Montrer qu’un nombre de Carmichael est sans facteur carré (regardern modulopk−1 si n=pkm avec pgcd(m, p) = 1) et produit d’au moins trois nombres premiers impairs.
2) Soitnun entier naturel supérieur strictement à 1. Montrer l’équivalence des propositions suivantes : (i) nest de Carmichael
(ii) Pour tout entiera, on a an =a[n].
(iii) nn’est pas premier,nest sans facteur carré etp−1divisen−1 pour tout diviseur premierpden.
3) Montrer que561est de Carmichael (c’est le plus petit nombre de Carmichael).
3 Propriétés arithmétiques des anneaux.
3.1 Divisibilité.
Exercice 28 – Divisibilité
SoientAun anneau commutatif (on ne suppose pasA intègre) eta, b∈A.
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91) Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes (i) il existec∈Atel queca=b;
(ii) b∈(a); (iii) (b)⊂(a);
Si ces conditions sont vérifiées, on dit queadiviseb et on écrita|b. On dit queaetb sontassociés sia|b etb|a
2) Montrer quea et bsont associés si et seulement si (a) = (b). Montrer que être associés est une relation d’équivalence surA.
On dit queaetb sontfortement associés s’il existe u∈A× tel queb=ua.
3) Montrer que être fortement associés est une relation d’équivalence.
4) Montrer que des éléments fortement associés sont associés.
5) Montrer que dans un anneau intègre des éléments associés sont fortement associés.
6) Donner un exemple d’éléments associés qui ne sont pas fortement associés (on pourra considérer l’anneau Q[X, Y, Z, T]/(X−Y Z, Y −T X)).
Exercice 29 – Élement premier, élément irréductible SoitAun anneau commutatif.
1) Soitp∈A. Montrer l’équivalence des deux propriétés suivantes (i) pest non nul non inversible et sip|ab alorsp|aoup|b; (ii) (p)est un idéal premier non nul.
Un élément vérifiant ces propriétés est appeléélément premier deA.
2) Soitp∈A. On suppose queA estintègre. Montrer l’équivalence des deux propriétés suivantes (i) pest non inversible et sip=abalorsaest inversible ou best inversible ;
(ii) (p)est non nul et maximal parmi les idéaux deA qui sont principaux et distincts deA.
Un élément vérifiant ces propriétés est appeléélément irréductible deA.
3) Déterminer les éléments premiers (resp. irréductible) d’un corps, deZ, k[T].
4) Montrer queT est un élément premier deA[T]si et seulement siAest intègre.
5) Montrer qu’un élément premier est toujours irréductible (siA est intègre).
6) Montrer que dans un anneau principal, un élément irréductible est premier.
Exercice 30 – PPCM et PGCD
[Dem97, Chapitre VII] SoitAun anneau commutatif. On ne suppose pas pour l’instant Aintègre.
1) Soient a1, . . . , am ∈ A. On dit que d ∈ A est un ppcm de a1, . . . , am si d vérifie les deux conditions suivantes
(i) ai|dpour touti∈ {1,2, . . . , m} (i.e.dest un multiple commun des ai) ;
(ii) pour toutd0∈Avérifiantai|d0, on ad|d0 (i.e.dest "le" plus petit multiple commun).
2) Soient a1, . . . , am ∈ A. On dit que d ∈ A est un pgcd de a1, . . . , am si d vérifie les deux conditions suivantes
(i) d|ai pour touti∈ {1,2, . . . , m} (i.e.dest un diviseur commun desai) ;
(ii) pour toutd0∈Avérifiantd0|ai, on ad0|d(i.e.dest "le" plus grand diviseur commun).
Des élémentsa1, . . . , amdont lepgcdest1 sont dit premiers entre eux.
Attention ppcm etpgcd n’existent pas forcément (voir l’exercice 38).
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103) Montrer quea1, . . . , am∈Aadmet un ppcmsi et seulement si l’idéal(a1)∩ · · · ∩(am)est principal (on a ainsi un condition simple d’existence desppcm: ce n’est pas le cas pour lespgcd).
4) On suppose que l’idéal(a1, . . . , am) est principal. Montrer que a1, . . . , am admettent un pgcd et qu’on a une relation de Bézout. Montrer que dansk[X, Y],X et Y ont1 commepgcdmais que l’idéal(X, Y) n’est pas principal.
5) Montrer quea1, . . . , amadmettent unpgcdsi et seulement si l’ensemble des idéauxprincipauxcontenant (a1, . . . , am)admet un élément plus petit élément.
6) Montrer que dans un anneau principalppcm et pgcdexistent toujours et qu’on dispose de relation de Bézout pour lepgcd.
Dans toute la suite de l’exerciceAest un anneau commutatifintègre.
7) Soita6= 0. Montrer que la famille(a1, . . . , an)admet unppcmsi et seulement si la famille(aa1, . . . , aan) en admet un. Donner le lien entre les deuxppcm.
8) Montrer que le résultat précédent n’est pas vrai pour les pgcd. Cependant, montrer qu’on a le résultat suivant : si lepgcdde la famille(aa1, . . . , aan)existe, montrer que celui de la famille(a1, . . . , an)existe et qu’on a la relationpgcd(aa1, . . . , aan) =apgcd(a1, . . . , an).
9) On suppose quexet yont unppcm. Montrer quem|xy. On écrit alorsxy=md. Montrer quedest un pgcdpourxety et que, pour tout a∈A\ {0}, pgcd(ax, ay)existe et vautad(avoir unppcmimplique avoir unpgcd).
10) Montrer que six, y et d sont tel quead soit unpgcd deax et ay pour tout a ∈A\ {0} alors on peut définirm tel quemd=xy et mest un ppcmde xet y. En déduire que (avoir unpgcdn’implique pas avoir unppcm).
11) Montrer que si l’idéal(x, y)est principal alors (x)∩(y)l’est.
12) On dit quexety sontfortement premiers entre eux sixety ont unppcmqui estxy. Montrer que des éléments qui sont fortement premiers entre eux sont premiers entre eux mais que la réciproque n’est pas vraie.
13) Montrer que sixety sont fortement premiers entre eux et six|yzalorsx|z (le lemme d’Euclide ou de Gauss est vrai dans un anneau intègre sous l’hypothèse fortement premier entre eux).
14) Montrer que dans un anneau factoriel, des éléments sont fortement premiers entre eux si et seulement si ils sont premiers entre eux. En déduire que des éléments fortement premier entre eux ne sont pas forcément étrangers.
15) SoitA un anneau intègre. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes (i) L’intersection de deux idéaux principaux deA est un idéal principal.
(ii) Tout couple d’éléments de Aadmet unppcm.
(iii) Tout couple d’éléments deAadmet unpgcd.
Si les conditions précédentes sont vérifiées alors les produitsxyet pgcd(x, y) ppcm(x, y)sont associés ; deux éléments sont premiers entre eux si et seulement si ils sont fortement premiers entre eux. Tout élément irréductible est premier.
16) Montrer qu’un anneau intègre est factoriel si et seulement si tout élément irréductible est premier et il n’existe pas de suite infinie(xi)i∈Ntelle que pour touti >0on axi|xi−1etxi n’est pas associé àxi−1. 17) Montrer qu’un anneau intègre est factoriel si et seulement si toute suite croissante d’idéaux principaux
est stationnaire et l’intersection de deux idéaux principaux est principal.
18) Montrer qu’un élémentp est irréductible si et seulement si pgcd(a, p) existe et vaut 1 oup pour tout a∈A.
19) Montrer qu’un élément irréductiblepest premier si et seulement sippcm(a, p)existe, pour touta∈A.
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113.2 Les différents types d’anneaux.
Definition 3 (Anneau factoriel). SoitAun anneau. On dit queA estfactoriel si (i) A est intègre ;
(ii) (Existence de la décomposition en irréductibles) Tout élément non nul peut s’écrit comme un produit d’irréductible : si a 6= 0 il existe des éléments (q1, . . . , qs) irréductibles dans A tel que a=q1· · ·qs.
(iii) (Unicité de la décomposition en irréductibles) La décomposition d’un élément non nul et non inversible en facteurs irréductibles est unique à l’ordre près et à la multiplication par des inversibles près : siq1· · ·qm=q01· · ·qs0 avec lesqietq0iirréductibles alorss=met il existeσ∈Smet des éléments ui∈A× tels que qi0 =uiqσ(i).
Exercice 31 – Anneaux factoriels SoitAun anneau intègre.
1) Démontrer l’équivalence des propositions suivantes (i) Aest factoriel ;
(ii) Tout élément non nul et non inversible possède une décomposition en produit d’irréductibles. Tout élément irréductible est premier ;
(iii) Tout élément non nul et non inversible est produit d’éléments premiers.
(iv) Tout élément non nul et non inversible possède une décomposition en produit d’irréductibles. L’an- neauA vérifie le lemme de Gauss : sia|bcet apremier avecb alorsa|c.
Dans un anneau intègre, on appelle système de représentants des éléments premiers un ensembleSd’éléments premiers deAtel que tout élément premier àAsoit associé à un élément et un seul.
2) Donner des systèmes de représentants des éléments premiers deZetk[X].
3) SoitA un anneau factoriel et S un système de représentants des éléments premiers de A. Montrer que tout élémenta∈A non nuls’écrit de manière unique sous la forme
a=ua Y
p∈S
pνp(a)
oùua∈A×,νp(a)∈Netνp(a) = 0sauf pour un nombre fini d’élémentsp∈ S. De plusνp(a)ne dépend pas du choix de p et de a dans leur classe pour la relation "être associé". L’entier νp(a) s’appelle la multiplicité depdansa.
4) SoitAun anneau factoriel etS un système de représentants des éléments premiers deAetK=Frac(A).
Montrer que tout élémentx∈K non nuls’écrit de manière unique sous la forme x=ua
Yp∈ Spνp(a)
où ua ∈ A×, νp(a) ∈ Z et νp(a) = 0 sauf pour un nombre fini d’éléments p ∈ S. En déduire que K×∼=gr.A××Z(S). En déduire queF3(X)× etQ× sont isomorphes.
5) SoitAun anneau factoriel eta, b, c∈Anon nuls avec aet bpremiers entre eux. Montrer que sia|c et b|calorsab|c.
6) SoitA un anneau factoriel, S un système de représentant des éléments premiers de A et a, b∈ A non nuls. Montrer que
(i) νp(ab) =νp(a) +νp(b);
(ii) a|b ⇐⇒ ∀p∈ S, νp(a)≤νp(b); (iii) Q
p∈ Spmin(νp(a),νp(b)) est un pgcd deaet b;
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12(iv) Q
p∈ Spmax(νp(a),νp(b)) est un ppcm deaet b.
Exercice 32 – Anneaux principaux
SoitA un anneau. Un anneau intègre est un anneaucommutatifnon réduit à 0 tel quexy 6= 0 implique x6= 0ouy6= 0. Un anneauprincipal est un anneauintègretel que tout idéal est principal.
1) Montrer que dans un anneau principal, tout idéal premiernon nulest maximal.
2) Montrer que dans un anneau principal,ppcmet pgcdexistent toujours.
3) Montrer qu’un anneau principal est factoriel.
Exercice 33 – Anneaux euclidiens
SoitAun anneau euclidien est unintègre tel qu’il existe une fonction appelée stathmeϕ:A\ {0} →Ntelle que pour touta, b∈A×A\ {0}, il existeq, r∈Atel quea=bq+ravecr= 0ouϕ(r)< ϕ(b)
1) Dans un anneau euclidien, écrire un algorithme d’Euclide étendu permettant le calcul d’une relation de Bézout.
2) Montrer qu’un anneau euclidien est principal.
3) Montrer quek[X]etZsont euclidiens.
Exercice 34 – Quelques idéaux non principaux
1) Montrer que2et X sont premiers entre eux dans Z[X]mais que1 n’est pas dans l’idéal(2, X).
2) Montrer que(2, X)n’est pas un idéal principal deZ[X].
3) Montrer que(X, Y)n’est pas un idéal principal deA[X, Y].
4) Montrer que(X)est un idéal premier deK[X, Y]. Quel est le quotient ?
5) Parmi les idéaux(2X), (X, Y)et(2, X, Y)deZ[X, Y], lesquels sont premiers ? maximaux ? 6) Soita∈A. Montrer queA[X]/(X−a)est isomorphe àA.
Exercice 35 – Corps et propriétés arithmétiques Soitkun corps.
1) Montrer quekest un anneau euclidien. Déterminer un stathme et la division euclidienne.
2) Montrer quekest un anneau principal.
3) Montrer quekest un anneau factoriel. Quels sont les éléments irréductibles dek? Exercice 36 – Anneau factoriel VS anneau principal
[Per81, Chapitre II Exercices 3.6 et 5.2, Corollaire 3.21]
1) SoitA un anneau principal. Montrer queAest factoriel.
2) SoitA un anneau factoriel tel que tout idéal de type fini est principal. Montrer queAest principal.
3) Soit A un anneau intègre et noethérien tel que tout idéal maximal est principal. Montrer que A est principal (on pourra d’abord montrer queAest factoriel).
4) Montrer queZ[X]et k[X, Y] sont factoriels mais non principaux. Donner un exemple d’anneau factoriel non noethérien (et donc non principal).
Exercice 37 – Anneaux principaux et intégrité
1) Montrer que tout idéal deZ/nZest principal et que sinn’est pas premier alorsZ/nZn’est pas principal.
2) Généraliser au cas d’un quotient d’un anneau principal quelconque.
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133) Montrer que tout idéal deZ2est principal et maisZ2 n’est pas principal.
4) Généraliser à un produit d’anneaux principaux.
Exercice 38 – Un anneau intègre non factoriel
[Per81, Chapitre II Exercice 3.4] [Dem97, Exercice 6.20] SoitZ[i√
5] ={a+ib√
5, a, b∈Z} ⊂C. 1) Montrer queZ[i√
5]est un sous-anneau deC. Montrer qu’il est intègre (et noethérien).
2) Déterminer le groupe des éléments inversibles de l’anneauZ[i√
5]. On pourra introduire l’application N :z=a+ib√
5∈Z[i√
5]7−→zz=a2+ 5b2∈Z. 3) Montrer quep= 2 +i√
5 est irréductible et que (p)n’est pas premier. En déduire que Z[i√
5]n’est pas factoriel.
4) Montrer que3et 2 +i√
5n’ont pas de ppcmet que9et 3(2 +i√
5) n’ont pas depgcddansZ[i√ 5].
Exercice 39 – Un autre exemple d’anneau intègre non factoriel Soitkun corps.
1) Montrer que l’ensembleA={P ∈k[T], P0(0) = 0}est un sous-anneau dek[T].
2) Montrer queA=k[T2, T3]et queA=k[X, Y]/X3−Y2. En déduire queAest noethérien.
3) Montrer queT2 et T3sont irréductibles dans A. Sont-ils premiers dans A? En déduire que An’est pas factoriel.
4) Donner deux factorisations en irréductibles deT6 dansA. Retrouver le fait queAn’est pas factoriel.
5) Exhiber un idéal non principal deA.
Exercice 40 – Éléments associés et intégrité
On considère l’anneau A = Z[X, Y, Z, T]/(X−ZY, Y −XT). On note x, y les classes de X et Y dans A.
Montrer quexety sont associés mais qu’il n’existe pas d’élément inversibleutel quexu=y (voir un autre exemple dans [Per81, Remarque II.3.7]).
Exercice 41 – Arithmétique des anneaux de polynômes [FGN01, Exercice 3.9] SoitAun anneau commutatif unitaire.
1) Montrer l’équivalence des trois propriétés suivantes (i) Aest un corps ;
(ii) A[X]est un anneau euclidien ; (iii) A[X]est un anneau intègre.
2) On suppose queAest un anneau euclidien qui n’est pas un corps vérifiant pour tout(a, b)∈A×A\ {0}
il existe un unique couple (q, r) tel que a = bq +r et r = 0 ou ν(r) < ν(b) (unicité de la division euclidienne). Montrer qu’il existe un corpsk tel queA=k[X].
Exercice 42 – Le théorème des deux carrés [Per81, Chapitre II.6] SoitZ[i] ={a+ib, a, b∈Z} ⊂C.
1) Montrer que c’est un sous-anneau deCappelé l’anneau des entiers de Gauss.
2) On définit l’application norme
N: Z[i]−→N z7−→zz .
Montrer queN est une fonction multiplicative puis déterminer les inversibles de l’anneauZ[i].
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143) Montrer queZ[i]est euclidien.
4) Montrer simet nsont tous deux sommes de deux carrés d’entiers, alorsmnest somme de deux carrés également.
5) Soit p un entier premier. Montrer que p est une somme de deux carrés si et seulement si p n’est pas irréductible dansZ[i].
6) à SAVOIR FAIRE ABSOLUMENT.Soitpun entier premier. Montrer que les anneauxZ[i]/(p)et Fp[X]/(X2+ 1)sont isomorphes. En déduire quepest irréductible dans dansZ[i]si et seulement si −1 n’est pas un carré dansZ/pZ.
7) Soitpun entier premier. Déduire de ce qui précède quepest une somme de deux carrés si et seulement sip= 1 ou2 [4].
8) Démontrer le théorème des deux carrés : soitnun entier naturel et n=Y
p
pvp(n)
sa décomposition en facteurs premiers. Alorsnest somme de deux carrés d’entiers si et seulement sivp(n) est pair pour tout entier premierptel quep= 3 [4].
Exercice 43 – L’anneauZ[√ Z[√n]
Z[√n]
n]
Soitn∈Zun entier qui n’est pas un carré. On notex∈Cune racine du polynômeX2−n.
1) Montrer que Q[x] := {a+bx|a, b∈Q} est un sous-corps de C de dimension 2 sur Q et isomorphe à Q[X]/X2−nvia le morphisme d’évaluation en x. En déduire que l’écrire sous la formea+bxdétermine aetb.
2) On définit l’application
σ: Q[x]−→Q[x]
a+bx7−→a−bx.
Montrer que l’applicationσest un automorphisme de Q-algèbre. Calculer son inverse.
3) On désigne parZ[x] :={a+bx, a, b∈Z}. Montrer queZ[x]est un sous-anneau deQ[x] et queσinduit par restriction un isomorphisme deZ[x].
4) Pourz=a+bx∈Q[x], on poseN(z) =zσ(z) =a2−b2n. Montrer queN(zz0) =N(z)N(z0)pour tous z, z0∈Q[x].
5) Montrer queN(z) = 0si et seulement siz= 0.
6) Montrer que siz∈Z[x]alorsN(z)∈Z.
7) Montrer que siz∈Z[x]alorsz est inversible dansZ[x]si et seulement siN(z)∈ {−1,1}.
8) Montrer qu’il existe une décomposition en irréductible dansZ[x].
9) Dans le cas oùn=−5, montrer queZ[x]n’est pas factoriel : on pourra considérer6 = 2·3 = (1−x)(1+x).
Déterminer les inversibles deZ[x]. Trouver un idéal non principal deZ[x].
10) Dans le cas oùn=−1, montrer que l’anneau Z[i]des entiers de Gauss est euclidien pour la fonctionN (pour effectuer la division euclidienne de aparb dans Z[i], on pourra considérer le quotient ab−1 dans Q[i]et choisir l’élément deZ[i]le plus proche : on fera un dessin). Déterminer les inversibles deZ[i].
11) Montrer que le résultat de la question précédente s’étend au cas oùn=−2,n= 2et n= 3.
Exercice 44 – Irréductibilité de polynômes SoitAun anneau intègre.
1) Montrer queaetbn’ont pas de diviseur commun alors aX+b est irréductible dansA[X].
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152) Montrer que si les élémentsa, b, cn’ont pas de diviseur commun et sib2−4acn’est pas un carré dansR alors le polynômeaX2+bX+cest irréductible dans A[X].
3) Montrer que la réciproque à la question précédente est vrai siAest factoriel et2est inversible dansR.
4) SoitK un corps. On noteM = (Xij)∈Matn(K[Xij, i, j])la matrice de taillen×ndont les coefficients sont des indéterminées. Montrer quedetM est un élément irréductible deK[Xij, i, j].
5) Montrer queχM est un élément irréductible deZ[X, Xij, i, j].
6) On écrit P =P0+· · ·+Pd∈A[X1, . . . , Xn] où lesPi sont les composantes homogènes de P (oùA est factoriel). Monter que siPd est irréductible alorsP l’est. Montrer que siP =Pd−1+Pd avecPd etPd−1
sont non nuls et sans facteurs communs alorsP est irréductible. On suppose que P =Pd−2+Pd avec Pd etPd−2 sont non nuls et sans facteurs communs et dest impair alorsP est irréductible. Trouver un contre-exemple sidest pair.
L’exercice suivant est un critère préparatoire à l’exercice 46.
Exercice 45 – Une condition nécessaire sur un anneau pour qu’il soit euclidien
[Per81, Proposition II.5.1] SoitAun anneau euclidien. Montrer qu’il existe x∈A\A× tel que la restriction de la surjection naturelleπ:A→A/(x)à A×∪ {0} est surjective. Montrer qu’alorsA/(x)est un corps.
Exercice 46 – Un exemple d’anneau principal non euclidien
[Per81, Chapitre II.5] On considère le sous-anneauAdeCengendré parα:= (1 +i√ 19)/2: A=Z[α] ={P(α), P ∈Z[X]}.
Le but de cet exercice est de démontrer queAn’est pas euclidien, puis de démontrer que Aest principal en utilisant une "division euclidienne affaiblie".
1) Vérifier queα2−α+ 5 = 0. Montrer queA={a+bα|a, b∈Z}.
2) Montrer queAest stable par conjugaison. On définitN(z) =zz pourz∈A. à l’aide deN, décrireA×. 3) Montrer queAn’est pas euclidien (utiliser le critère de l’exercice 45).
4) Soientz, z0∈Anon nuls. Montrer qu’il existe q, r∈Avérifiant les deux conditions suivantes : (i) N(r)< N(z0),
(ii) z=z0q+r ou2z=z0q+r.
(on pourra écrirez/z0=u+vα avecu, v∈Q, soitn=E(v)et discuter selon quev∈
n+13, n+23 ou pas).
5) Montrer que(2)est un idéal maximal deA (on pourra vérifier queA∼=ann.Z[X]/(X2−X+ 5)).
6) Montrer queAest principal.
Exercice 47 – Séries formelles
soitk un corps. Montrer quek[[X]] est un anneau euclidien.
Exercice 48 – Critère d’Eisenstein
Soit A un anneau factoriel, P ∈ A[X] avec P =anXn+· · ·+a0 (an 6= 0) et p∈ A un irréductible. On suppose que p - an, p | ai pour tout i ∈ {0,1, . . . , n−1} et p2 - a0. L’objectif est de montrer que P est irréductible sur Frac(A)[X].
1) On suppose que P n’est pas irréductible sur Frac(A)[X]. Montrer qu’on peut écrire P = QR avec degQ <degP et degR <degP etQR∈A[X].
2) Montrer queQ etR ont tous leurs coefficients sauf le coefficient dominant qui sont divisibles par p(on pourra réduire modulopl’égalitéP =QR).
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163) Obtenir une contraction en considérant le coefficient de plus bas degré deP. 4) En déduire que siP est primitif alorsP est irréductible surA[X].
5) Donner un exemple où P n’est pas primitif. En déduire que le critère d’Eisenstein ne donne pas l’irré- ductibilité dansA[X].
Exercice 49 – Application du critère d’Eisenstein
1) Soit P un nombre premier. Montrer que P(X) = Xp−1+Xp−2+· · ·+X+ 1 est irréductible sur Q (considérerP(X+ 1))
2) Montrer queXn−2est irréductible surQet surZ.
3) SoitAun anneau factoriel de caractéristique différentes de2, n∈Netn≥2. Montrer queX12
+· · ·+ Xn2
−1 est irréductible dansA[X1, . . . , Xn]. Que se passe-t-il en caractéristique2?
4 Le théorème chinois.
Definition 4 (Idéaux étrangers). SoitAun anneau commutatif unitaire. Pour deux idéauxIetJ deA, on dit queIet J sontétrangers siI+J =AoùI+J ={i+j∈A, i∈I, j∈J}. Autrement ditIetJ sont étrangers si et seulement si il existei∈I et j∈J tel quei+j = 1.
Exercice 50 – Idéaux étrangers
SoitAun anneau commutatif unitaire etI1, . . . , Ik des idéaux de A.
1) On suppose que les idéauxIi pour 1≤i ≤k sont deux à deux étrangers. Montrer queI1 est étranger avecI2· · ·Ik.
2) Montrer que pour toutm, n∈N, les idéauxI1m
et I2n
sont étrangers (au fait c’est quoi I1m
?).
3) Soitmet m0 deux idéaux maximauxdistinctsdeA. Montrer qu’ils sont étrangers. En déduire quemm etm0n sont étrangers pour tousm, n∈N.
Exercice 51 – Théorème chinois
SoientAun anneau commutatif unitaire etIetJdeux idéaux deA. On noteπI :A→A/IetπJ :A→A/J les surjections canoniques. On définit l’application
ϕ: A−→A/I×A/J x7−→(πI(x), πJ(x))
1) Vérifier queϕest un morphisme d’anneaux.
2) Calculerkerϕ.
3) Montrer queϕest surjectif si seulement siI etJ sont étrangers. Construire explicitement un antécédent de(a, b) = (πI(x), πJ(y))∈A/I×A/J.
4) On définit IJ := {Pn
k=1ikjk|n∈N, ik∈I, jk∈J}. Montrer que IJ ⊂I∩J. Donner un exemple où IJ I∩J.
5) On suppose queIet J sont étrangers. Montrer que I∩J =IJ.
6) Conclure que siI et J sont étrangers alorsϕinduit un isomorphisme entreA/IJ et A/I×A/J donné parx7→(πI(x), πJ(x))oùxdésigne la classe dex∈AmoduloIJ.
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177) SoitI2 ⊂I1 deux idéaux d’un anneaux commutatif unitaire. Pour i∈ {1,2}, on note πi :A →AIi les surjections canoniques. Montrer que l’applicationπ1passe au quotient parπ2i.e. construire un morphisme π1,2:A/I2→A/I1 tel que le diagramme suivant commute :
A π1 //
π2
A/I1
A/I2 π1,2
;;
La commutativité du diagramme s’écrit aussi : à la classe dexmoduloI2, on associe la classe dexmodulo I1. Par exemple, comme4Z⊂2Z, on peut parler de la classe modulo 2d’un élément deZ/4Z.
8) Réécriture du théorème chinois.Vérifier que le lemme chinois s’écrity∈A/IJ7→(πI,IJ(y), πJ,IJ(y)) est un isomorphisme.
Exercice 52 – Lorsqu’il a plusieurs idéaux
Soient Aun anneau commutatif unitaire etI1, . . . , Ik des idéaux deA deux à deux étrangers. Montrer que l’application
ϕ: A−→A/I1× · · · ×A/Ik x7−→(π1(x), . . . , πk(x))
est surjective de noyauI1· · ·Ik et induit un isomorphisme entreA/I1· · ·Ik et A/I1× · · · ×A/Ik.
Remarque : La démonstration se fait évidemment par récurrence sur k. Cela donne ainsi une méthode pour la résolution de système de congruence (pour des idéaux étrangers) à plus de deux équations : en appliquant la question c de l’exercice 51, on remplace les deux premières équations par une équation de congruence modulo le produit des idéaux. On réduit ainsi le nombre d’équations. La question a de l’exercice 53 propose un exemple concret d’application de cette méthode.
Exercice 53 – Théorème chinois Résoudre dansZle système d’équation 1)
x= 1 [3]
x= 4 [5]
x= 0 [7]
2)
x= 4 [15]
x= 8 [21]
3)
x= 11 [15]
x= 8 [21]
4) Trouver dansZ/7Z[X] les polynômes tel quef(0) = 3,f(1) = 0et f(2) = 6.
5) Interpréter les problèmes d’interpolations de Lagrange et d’Hermite comme des problèmes de congruence.
En déduire l’existence et l’unicité de leur solution.
6) Un algorithme de recherche de solutions d’un système de congruence dans un anneau euclidien.On considère le système d’équation
x=b1 mod (a1) ...
x=bn mod (an)
où lesai sont premiers entre eux deux à deux. Décrire un algorithme de construction de solutions sous la forme
x=γ1+γ2a1+· · ·+γka1a2· · ·ak−1
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18où lesγisont à calculer. Expliquer pour l’intérêt de cette méthode est de permettre d’ajouter une équation au système de congruence sans qu’on ait besoin de faire tous les calculs. Pour les analystes numériciens, comment s’appelle cette méthode dans le cas de l’interpolation de Lagrange ? Est-ce que ça marche dans un anneau principal ?
Exercice 54 – Lemme chinois et algèbre linéaire
Soientkun corps,Eunk-espace vectoriel de dimension finie etuun endomorphisme deEdont le polynôme caractéristique est scindé.
1) Décomposition de Dunford.Montrer qu’il existe des endomorphismesdet ndeE avecddiagonali- sable,nnilpotent,u=d+netdn=nd. Montrer quedetnsont des polynômes enuet qu’un tel couple est unique. On pourra considérerP un solution du système
P=λ1 mod (X−λ1)n ...
P=λr mod (X−λ)n où lesλi sont les valeurs propres distinctes deu.
2) Montrer que les projecteurs sur un sous-espace caractéristique deuparallèlement aux autres sous-espaces caractéristiques deusont des polynômes enu. On pourra considérerP un solution du système
P= 1 mod (X−λ1)n P= 0 mod (X−λ2)n
...
P= 0 mod (X−λr)n
où lesλi sont les valeurs propres distinctes deu.
Exercice 55 – Algèbre de dimension finie
Soitkun corps etAunek-algèbre commutative de dimension finie.
1) Montrer queAest intègre si et seulement siAest un corps (comparer avec le fait qu’un anneau commutatif fini est intègre si et seulement si un corps).
2) En déduire que tout idéal premier deAest un idéal maximal.
3) Montrer queAa un nombre fini d’idéaux maximaux (vérifier que si lesmisont des idéaux maximaux dis- tincts, la suite d’idéauxQj≤imjest strictement décroissante). On note pour la suiteM={m1, . . . ,mn} l’ensemble des idéaux maximaux deA.
4) Montrer queJ :=m1· · ·mn=m1∩ · · · ∩mn. En déduire quex∈J si et seulement si1−axest inversible poura∈A.
5) SoitI un idéal de A. Montrer que IJ =I implique I = 0(on pourra considérer une partie génératrice minimale de l’idéalI).
6) En déduire qu’il existen∈Ntel queJn= 0.
7) En déduire que A est isomorphe à un produit d’algèbre locale (i.e. avec un unique idéal maximal) de dimension finie.
8) Soit B un anneau commutatif unitaire quelconque. Montrer que tout élément nilpotent est dans tout idéal premier. Soitf ∈B, à quelle condition l’ensemble des idéaux deB qui ne rencontre pas l’ensemble des puissances def admet un élément maximal ? Montrer qu’un tel idéal est un idéal premier deB. En déduire que l’intersection des idéaux premiers deB est l’ensemble des éléments nilpotents deB.
9) En déduire queJ est l’ensemble des éléments nilpotents de A. Retrouver le fait que Jn = 0 (attention au piège !).
10) Montrer que A est réduite (i.e. que le seul élément nilpotent de A est 0) si et seulement si A est un produit de corps.
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195 Équations diophantiennes.
Exercice 56 – Equations linéaires
Trouver toutes les solutions entières de chacune des équations suivantes : 1) 19x+ 11y= 3,
2) 18x+ 24y= 12, 3) 37x+ 17y= 5, 4) 21x+ 14y= 7, 5) 1995x+ 2793y= 1596
Exercice 57 – Systèmes d’équations linéaires Résoudre les systèmes linéaires diophantiens suivants : 1)
4x−2y− z= 5 x+ 3y−4z= 7 2)
3x+ 2y− 5z= 2 2x+ 6y−10z= 4 x+ 2y− 3z= 2 3)
2x− y+ 2z= 1 5x−3y+ 3z= 2
−x −2z= 3
Exercice 58 – Exemples d’équations diophantiennes non linéaires 1) Trouver toutes les solutions entières de l’équationx2−y2= 459.
2) L’équation x3−y2= 2: (i) Montrer que Z[i√
2]est euclidien.
(ii) Montrer que si (x, y) est une solution entière de l’équationx3−y2 = 2, alors il existe a, b∈Z tels quey+i√
2 = a+ib√ 23
. En déduire toutes les solutions entières de l’équationx3−y2= 2.
3) Sur les équations de Fermat.[Sam67]
(i) Trouver toutes les solutions entières de l’équation x2+y2=z2. (Indication : on pourra d’abord se ramener au cas oùx >0,y >0,z >0,pgcd(x, y) = 1 etxest pair).
(ii) Soientx, y, zdes entiers tels quexyz6= 0etx4+y4=z2. à l’aide de la question précédente montrer qu’il existe x0, y0, z0 des entiers tels que x0y0z0 6= 0, |z0| <|z| et x04+y04 =z02. En déduire qu’il n’existe pas d’entiersx, y, ztels que xyz6= 0etx4+y4=z4.
Exercice 59 – Le théorème de la base adaptée : sous-module donné par une partie génératrice Dans chacun des cas suivants, déterminer les facteurs invariants, une paire de base adaptées ainsi que des équations du sous-module deZn engendré par les vecteursei :
1) n= 5,e1=
−1
−4 1 2
−4
,e2=
−2 3 1 5
−3
,e3=
−5 3 5
−3 3
.
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202) n= 5,e1=
−5 4
−6
−6
−3
,e2=
−6 6
−12
−6
−6
,e3=
−3 3
−6
−3
−3
.
3) n= 4,e1=
−3 5
−2 0
,e2=
0
−2 0
−2
,e3=
3 11
0 8
.
4) n= 4,e1=
−1 0 0 1
,e2=
−7 12
−9 7
,e3=
10
−9 9
−10
,e4=
−6 12
−9 6
.
Exercice 60 – Théorème de la base adaptée : sous-module donné par des équations
Résoudre les systèmes linéaires suivants. Dans chaque cas, donner une base adaptée pour l’espace des solu- tions.
1)
−4x+ 2y+ 3z+ 3t+ 4u= 0 5x− y−3z−3t+ 7u= 0
−4x + 2z+ 2t−7u= 0
−x+ y+ z+ t+ 6u= 0 2)
x+ 3y−2z+ 3t= 0 x+ 3y−8z+ 9t= 0 2y+ 4z−4t= 0 3)
−3x− 4y+ 3z= 0 [6]
− 9y+ 9z= 0 [6]
3x+ 12y−12z= 0 [6]
en notantS ⊂Z3 l’espace des solutions, montrer queZ3/Sest fini et calculer son cardinal.
4)
−5x− 7y− 2z+ 5t= 0 [6]
−21x+ 19y−10z+ 7t= 0 [6]
−13x+ 3y− 6z+ 7t= 0 [6]
6 Polynômes.
Proposition 1(Propriété universelle des polynômes). Soit(B, ρ)uneA-algèbre commutative etb1, . . . , bn∈ B. Il existe un unique morphismeϕdeA-algèbres deA[X1, . . . , Xn]dansB tel queϕ(Xi) =bi.
Il est donné par
ϕ
X
(i1,...,in)∈Nn
ai1,...,inX1i1· · ·Xnin
= X
(i1,...,in)∈Nn
ai1,...,inb1i1· · ·bnin
ϕest appelé le morphisme d’évaluation en lesbi.
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21Exercice 61 – Fonctorialité
SoitA, B deux anneaux commutatifs etf :A→B un morphisme d’anneau.
1) Montrer quef s’étend en un morphisme deA-algèbres de A[[X]]surB[[X]]envoyantX surX.
2) Montrer de même quef s’étend de façon unique en un morphisme deA-algèbres deA[X1, . . . , Xn] sur B[X1, . . . , Xn]envoyantXi surXi.
3) En déduire que siI est un idéal de A, on a un morphisme surjectif de A[X]dans(A/I)[X]. Quel est le noyau (le comparer à l’idéal engendré parIdansA[X]) ?
Exercice 62
1) Montrer que1 +X est inversible dansA[[X]].
2) Montrer que1 +X est un carré dansQ[[X]].
3) Soitk un corps. Déterminer les idéaux dek[[X]].
Exercice 63
Déterminer le nombre de monômes deA[X1, . . . , Xn]de degré totalm.
Exercice 64
SoitKun corps. À quelle condition sur la familleai l’endomorphisme deA-algèbre deK[X1, . . . , Xn]donné parX17→a1X1 etXi 7→Xi+aiX1est-il un automorphisme ?
Peut-on remplacer Kpar un anneau commutatif quelconque ? Exercice 65
Soita= (a1, . . . , an)∈An. Montrer que l’ensemble des polynômesP ∈A[X1, . . . , Xn]tel queP(a) = 0est l’idéal engendré par lesXi−ai.
Exercice 66
Montrer que A[X, Y]/hY3−X2i est isomorphe à la sous-A-algèbre de A[T] formé des polynômes dont le coefficient enT est 0(on pourra montrer que cette dernière algèbre est engendré par T2 etT3).
Exercice 67 – Racines d’un polynôme
1) On considère le corps (ou plutôt l’anneau à division) des quaternionsH. Montrer que le polynômeX2+ 1 a au moins trois racines (et même une infinité).
2) On considère l’anneau commutatif non intègre A = k[X]/X2 où k est un corps infini. Montrer que le polynômeT2deA[T] admet une infinité de racines.
Exercice 68
TrouverP ∈Z[U, V, W]tel que
P(X+Y +Z, XY +Y Z+XZ, XY Z) =X2Y2+X2Z2+Y2Z2+X2Y Z+Y2XZ+Z2XY.
Exercice 69 – Division euclidienne et polynômes
SoitAun anneau commutatif unitaire etP, Q∈A[X]oùQest un polynôme à coefficient dominant inversible.
1) Montrer que la restriction de la surjection canonique induit une bijection ("A-linéaire") entre l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal ànetA[X]/(Q).
