Mathématiques fondamentales MAT1101 Notes de cours
K. Belbahri V. Hussin
Table des matières
Introduction xi
1 Les ensembles numériques usuels 1
1.1 Les ensembles N, Z, Q,R et C: tour d’horizon . . . 1
1.1.1 Exercices . . . 7
1.2 Les opérations arithmétiques usuelles . . . 7
1.2.1 L’addition et la multiplication . . . 8
1.2.2 Compatibilité avec l’égalité et l’inégalité . . . 12
1.2.3 La soustraction et la division . . . 14
1.2.4 L’exponentiation . . . 15
1.2.5 Valeur absolue . . . 15
1.2.6 À propos du symbole = . . . 15
1.2.7 Exercices . . . 16
1.3 Numération . . . 17
1.3.1 Base 10 . . . 17
1.3.2 Autres bases . . . 17
1.3.3 Exercices . . . 17
1.4 Autres systèmes de nombres . . . 17
1.4.1 Les nombres p-adiques . . . 17
1.4.2 Les quaternions . . . 17
1.5 Exercices . . . 17
2 Les nombres : point de vue intuitif 19 2.1 Systèmes des nombres . . . 19
2.1.1 Introduction . . . 19
2.1.2 Quelques repères historiques . . . 20
2.2 Qu’est-ce qu’un entier naturel ? Approche intuitive . . . 25
2.3 Quelques systèmes de numération historiques . . . 25 iii
2.3.1 Mésopotamie . . . 25
2.3.2 Égyptie ancienne . . . 25
2.3.3 Grèce antique . . . 25
2.3.4 Rome . . . 25
2.3.5 Système indo-arabe . . . 25
2.3.6 Maya . . . 25
3 Un peu de logique 27 3.1 Propositions. Connecteurs . . . 27
3.1.1 Négation d’une proposition ::p . . . 28
3.1.2 Connecteurs binaires . . . 29
3.1.3 La conjonction . . . 30
3.1.4 La disjonction . . . 31
3.1.5 La conditionnelle (ou implication logique) . . . 32
3.1.6 La disjonction exclusive . . . 35
3.1.7 La biconditionnelle . . . 36
3.2 Les lois de la logique . . . 37
3.2.1 Équivalences logiques . . . 39
3.3 Prédicats et quanti…cateurs . . . 42
3.3.1 Les quanti…cateurs . . . 44
3.3.2 Propriétés des quanti…cateurs . . . 45
4 Les ensembles 47 4.1 Vocabulaire . . . 47
4.2 Opérations sur les ensembles . . . 50
4.2.1 Propriétés . . . 51
4.2.2 Utilisation des quanti…cateurs . . . 52
4.3 Exercices . . . 52
5 Relations. Fonctions 55 5.1 Relations . . . 55
5.1.1 Exercices . . . 61
5.2 Relations d’ordre . . . 61
5.2.1 Exercices . . . 63
5.3 Relations d’équivalence . . . 64
5.3.1 Exercices . . . 65
5.4 Fonctions . . . 67
5.4.1 Équations . . . 73
TABLE DES MATIÈRES v
5.4.2 Exercices . . . 73
5.5 Les suites . . . 75
6 Les cardinaux 77 6.1 Introduction . . . 77
6.2 Ensembles …nis. Ensembles in…nis . . . 78
6.2.1 Exercices . . . 82
6.3 Opérations sur les cardinaux . . . 83
6.4 Nombres algébriques. Nombres transcendants . . . 85
6.4.1 Exercices . . . 86
7 Preuves et raisonnement mathématiques 89 7.1 Méthodes de preuves . . . 89
7.1.1 Énoncés mathématiques . . . 89
7.1.2 Règles d’inférence . . . 91
7.1.3 Contrevérités . . . 94
7.1.4 Méthodes de démonstration . . . 96
7.2 Sur les axiomes et postulats . . . 98
7.3 Discours mathématique . . . 102
7.4 Exercices . . . 106
8 Structures algébriques 109 8.1 Systèmes algébriques . . . 109
8.1.1 Propriétés des opérations . . . 111
8.1.2 Un exemple : les transformations du plan . . . 116
8.1.3 Isomorphismes . . . 118
8.1.4 Exercices . . . 119
8.2 Groupes et sous groupes . . . 120
8.2.1 Sous-groupes . . . 123
8.2.2 Symétrisation . . . 125
8.2.3 Exercices . . . 128
8.3 Anneaux et sous-anneaux . . . 130
8.3.1 Sous-anneaux. Idéaux . . . 131
8.3.2 Un exemple : l’anneau des polynômes . . . 132
8.3.3 Exercices . . . 132
8.3.4 Modules . . . 132
8.4 Corps et sous-corps . . . 132
8.4.1 Sous-corps . . . 136
8.4.2 Corps …nis . . . 136
8.4.3 Quelques corps non commutatifs . . . 136
8.5 Exercices . . . 139
9 Construction de N, Z et Q 141 9.1 Construction de N . . . 141
9.1.1 Les axiomes de Peano . . . 141
9.1.2 Le système algébrique (N;+; ; ) . . . 143
9.1.3 Raisonnement par récurrence . . . 144
9.1.4 Principe de bon ordre . . . 146
9.1.5 Exercices . . . 146
9.2 Construction de Z. . . 147
9.3 Le corps des rationnels . . . 149
10 Arithmétique 151 10.1 Les nombres premiers . . . 151
10.2 Exercices . . . 158
10.3 Algorithme d’Euclide . . . 159
10.3.1 Les fractions continues . . . 164
10.4 Équations diophantiennes . . . 164
10.4.1 Exercices . . . 169
10.5 Triplés de Pythagore . . . 169
10.5.1 Le dernier théorème de Fermat . . . 172
10.5.2 Exercices . . . 172
10.6 Méthode de descente in…nie . . . 172
10.6.1 Irrationnalité de p 2 . . . 172
10.7 Exercices . . . 173
11 Arithmétique modulaire 175 11.1 Congruences . . . 175
11.2 Caractères de divisibilité . . . 176
11.2.1 L’anneau Zm . . . 177
11.3 Équations de congruences . . . 179
11.4 Théorème du reste chinois . . . 184
11.5 Exercices . . . 188
TABLE DES MATIÈRES vii
12 Les nombres réels 189
12.1 Coupures de Dedekind . . . 192
12.2 Les nombres algébriques . . . 193
12.3 Les nombres transcendants . . . 196
13 Les nombres complexes 197 13.1 Introduction . . . 197
13.2 Opérations sur les complexes . . . 199
13.2.1 Addition et soustraction . . . 199
13.2.2 Multiplication . . . 199
13.2.3 Module. Conjugué . . . 200
13.2.4 Inverse et division . . . 201
13.2.5 Exercices . . . 202
13.3 Forme trigonométrique d’un complexe . . . 203
13.3.1 Racines de l’unité . . . 204
13.4 Équations . . . 205
13.5 Exercices . . . 207
14 Les équations algébriques 211 14.1 Petit historique . . . 211
14.2 Le second degré : El-Khawarizmi . . . 211
14.2.1 La méthode . . . 212
14.3 Incursion dans le 3ème degré : Fibonacci et Omar Khayyam . 218 14.3.1 Omar Khayyam (1048-1131) . . . 218
14.3.2 Début de l’algèbre en Europe . . . 218
14.3.3 Leonardo de Pise (Fibonacci) : 1180-1240 . . . 219
14.4 Cubique et biquadratique : L’École italienne . . . 219
14.4.1 Scipione del Ferro (1465-1526) . . . 219
14.4.2 Nicollo Fontana dit Tartaglia (1500-1557) . . . 220
14.4.3 Gerolamo Cardano (1501-1576) . . . 221
14.4.4 Luigi Ferrari (1522-1565) . . . 221
14.4.5 Le duel . . . 222
14.4.6 Rafael Bombelli (1566 - 1572) . . . 223
14.4.7 Quintique et plus : vers l’algèbre moderne . . . 223
14.5 Résolution de la cubique . . . 223
14.5.1 Rappel : Résolution de la quadratique . . . 223
14.5.2 La formule de del Ferro . . . 225
14.5.3 Preuve de la formule de del Ferro . . . 226
14.5.4 Formule de Cardano . . . 227
14.5.5 Résolution trigonométrique (De Viète) . . . 231
14.5.6 Réduction d’une cubique . . . 232
14.6 Résolution de la biquadratique (Luigi Ferrari) . . . 233
14.7 Autres méthodes de résolution . . . 236
14.7.1 Généralités . . . 236
14.7.2 Méthodes numériques : recherche des racines réelles . . 241
15 Construction avec la règle et le compas 243 15.1 Les 3 problèmes géométriques classiques . . . 243
16 Fonctions numériques élémentaires 249 16.1 Introduction . . . 249
16.2 Fonctions rationnelles . . . 252
16.2.1 Fonctions polynomiales . . . 252
16.2.2 Fonctions rationnelles . . . 254
16.3 Fonctions exponentielle, hyperboliques et circulaires . . . 259
16.3.1 La fonction exponentielle . . . 259
16.3.2 Fonctions hyperboliques . . . 260
16.3.3 Fonctions circulaires . . . 263
16.4 Exercices . . . 267
Postface 269
Préface
Ces notes représentent (à quelques variantes près) le cours de Mathéma- tiques fondamentales (MAT1101) tel qu’il a été enseigné durant les 5 der- nières années à l’université de Montréal. Elles sont en perpétuelle évolution, en fonction des objectifs du cours, des goûts particuliers de l’enseignant qui le délivre et de la nature du public visé (en grande majorité des futurs ensei- gnants du secondaire) ainsi que de son niveau (première année d’université).
ix
Introduction
Objectif
Notre but dans ce cours est d’introduire certains éléments de base en ma- thématiques qui sont utiles dans la formation des futurs mathématiciens. Il vise ainsi à rendre les étudiants aptes à e¤ectuer une démarche rigoureuse, à ré‡échir sur les énoncés mathématiques et à développer des habiletés à écrire correctement les mathématiques. Il devrait aussi permettre aux étu- diants (notamment, les futurs enseignants) de posséder une con…ance dans la transmission de leur savoir.
Méthodologie
Ces habiletés peuvent être acquises en observant et interagissant avec le professeur lors des séances de cours ainsi que de travaux pratiques. Il ne faut pas non plus négliger le temps qu’il faudrait passer à lire les détails d’une preuve ou un chapitre complet dans un livre de mathématiques. Un bon apprentissage des méthodes mathématiques et une bonne mémorisation des éléments passent aussi nécessairement par un important travail individuel de résolution de problèmes.
Programme et plan
Certains étudiants universitaires ont un grand besoin des mathématiques et doivent au cours de leurs études acquérir une bonne quantité de notions qu’ils pourront éventuellement appliquer dans leur domaine de spécialité propre (assurance, …nance mathématique, statistique, mathématiques appli- quées, biomathématique, physique, chimie, économie...). Les mathématiques forment aussi une partie importante de la formation générale des élèves du primaire et du secondaire. C’est donc une composante de base dans le système d’éducation en général. En particulier, il est important, de pouvoir avoir une compréhension poussée des concepts et méthodes avec une vision indépen- dante d’une application éventuelle des mathématiques. La matière du cours est adaptée aux besoins de formation des futurs enseignants des mathéma-
xi
tiques au secondaire. C’est toutefois un cours pertinent pour tout étudiant qui veut devenir mathématicien.
Nous allons donc développer un certain nombre de connaissances fonda- mentales en algèbre, arithmétique ou théorie des nombres, théorie des en- sembles et logiques mathématiques ainsi qu’en analyse mathématique.
Remarque. Les recoupements des sujets avec ceux de certains des cours du baccalauréat sont inévitables. Ce n’est pas un défaut, Ils devraient, no- tamment, permettre de consolider certains acquis et de donner une nouvelle vision des problèmes posés.
Chapitre 1
Les ensembles numériques usuels
1.1 Les ensembles N , Z , Q , R et C : tour d’ho- rizon
Le but de ce chapitre introductif (et du prochain) est de faire un survol rapide des di¤érents ensembles numériques que vous avez rencontré et ma- nipulé dans vos études antérieures. Nous revoyons, de manière pragmatique et intuitive, leurs structures, les opérations usuelles avec lesquelles on opère sur ces ensembles, ainsi que di¤érentes relations qui peuvent lier les nombres (égalité, inégalité, ...). Cette refamiliarisation nous servira, dans les prochains chapitres, à atteindre deux objectifs.
Le premier est de dégager quelques principes de base qui nous renseignent sur diverses propriétés des nombres. Nous verrons qu’en e¤et, les ensembles de nombres possèdent une richesse inouie, pour peu qu’on se donne la peine de regarder de plus près.
Le second objectif est de nous inspirer des propriétés des opérations sur les nombres pour les abstraire et de dégager des structures mathéma- tiques nouvelles. On peut peut a¢ rmer, sans grand risque d’être contredit, qu’aujourd’hui, sans structure, les mathématiques seraient bien peu de chose.
En e¤et, le processus d’abstraction permet de dégager l’essentiel de l’acces- soire, permet une économie de pensée et montre de nouvelles pistes à ex- plorer (construire d’autres ensembles ayant des propriétés intéressantes par exemple).
1
L’ensemble le plus fondamental que nous considérons est l’ensemble bien connuNdesentiers naturels(incluant le zéro). On désigne parfois l’ensemble des entiers naturels strictement positifs par N . Pour les écrire, on utilise les symboles (chi¤res)0;1;2;3;4:5;6;7;8;9 du système décimal (les nombres sont usuellement identi…és comme les nombres décimaux). Une façon fami- lière de décrire Nest la suivante :
N=f0;1;2;3; : : :g:
Ensuite vientZ, l’ensemble desentiers relatifs (ou bien lesentiers ration- nels) , c’est-à-dire des nombres dont la valeur absolue est un entier positif ou nul. On a donc
Z=f0; 1; 2; 3; : : :g: N Z.
Remarque 1 1. Le symbole est celui de l’inclusion pour les ensembles (N Z : N est un sous-ensemble ou une partie de Z). Par exemple, f1;2;3;4g N, mais 2 2 N, 4 2 N (ce sont des éléments de l’en- semble).
2. On utilise parfois les notations et 3. Ainsi, Z N (Z "contient"
N) et N 3 1 (N contient l’élément 1). Noter les deux sens du mot
"contient".
3. Le symbole = signi…e souvent (mais pas toujours) que l’objet à gauche du symbole est le même que (identique à, équivalent à) celui qui est à sa droite. Pour deux ensemblesAetB, écrireA=B nous dit donc que les lettres A et B désignent la même collection d’objet. Par exemple, l’ensemble A des solutions réelles de l’équation algébrique x2 1 = 0 est égal à l’ensemble B = f 1;1g. La relation = ("égal à") a des propriétés intéressantes que nous dégagerons plus loin. La négation de l’égalité est, naturellement, l’inégalité symbolisée par le signe 6=. Elle signi…e, évidemment, que les objets qui se trouvent de part et d’autre de ce signe sont di¤érents.
AprèsN et Z, on introduit l’ensemble Qdes nombres rationnels, c’est-à- dire des nombres qui s’expriment comme le quotient (ou le rapport) de deux entiers (dénominateur non nul) :
Q= p
q :p; q 2Z, q6= 0 :
1.1. LES ENSEMBLES N,Z, Q, R ETC : TOUR D’HORIZON 3 On a les inclusions
N Z Q.
En…n, pour clôre la courte liste des ensembles familiers, vient R, l’en- semble des nombres réels. Il est formé de tous les nombres positifs, négatifs et du zéro, rationnels et irrationnels. On a
N Z Q R.
Rappelons qu’un nombre est dit irrationnel s’il n’est pas rationnel. Des exemples de nombres irrationnels sont p
2; ; e, etc. mais il y en a beau- coup d’autres. Ces notions seront rendues plus précises plus loin, notamment à l’aide du système décimal.
Dé…nition 1 Un nombre réel x peut être dé…ni comme une suite de chi¤res (pris parmi les symboles 0;1;2;3;4:5;6;7;8;9) écrite sous la forme
x=a0:a1a2a3
où a0 est un nombre entier relatif ( élément de Z) et a1,a2, ... forment une suite …nie ou in…nie de chi¤res successifs. Cette façon d’écrire x s’appelle la
"représentation décimale" de x.
Exemple 1 Des exemples familiers de nombres réels sont p2 = 1:414 2: : :
2 = 1:570 8: : : 3
4 = 0:75 p3
2 = 1:259 9: : :
Une représentation pratique des nombres réels se fait en introduisant un axe (une droite orientée par une ‡èche de gauche à droite du moins vers le plus, sur lequel on indique clairement une origine (notée généralement par O), l’unité (le1) et étalonné de manière à identi…er chaque réel à un point sur l’axe (son abscisse). L’origine (abscisse 0) sert à séparer les nombres négatifs
des nombres positifs.
Cette façon de faire suppose notamment que les nombres réels sont totale- ment ordonnés par la relation d’inégalité (inférieur ou égal à). En e¤et, nous "savons" tous que deux réels x ety sont soit égaux (x=y) et sont re- présentés par le même point sur l’axe, ou bien sont tels que l’un est inférieur à l’autre (représentés donc par deux points sur l’axe). Ceci se traduit l’une des inégalités : x y ouy x.
Les nombres rationnels se distinguent des autres nombres réels (les irra- tionnels) par une particularité (ou propriété) qui leur est propre.
Dé…nition 2 Un nombre x est dit rationnel s’il est limité ou périodique, c’est-à-dire si sa représentation décimale peut s’écrire sous la forme
x=a0:(b1b2: : : bp) (c1c2: : : cq) (c1c2: : : cq): : :
Un nombre est dit irrationnel s’il n’est pas rationnel. Il ne peut donc pas s’écrire comme nombre limité ou périodique.
Exemple 2 Euler (1737, ) a donné une démonstration particulièrement in- téressante de l’irrationnalité du nombree. Partant du développement en série
e= 1 0! + 1
1! + 1 2! + 1
3!+: : :+ 1
n!+: : : ;
il a utilisé un raisonnement par l’absurde. Si e est rationnel, il peut s’écrire sous la forme d’une fraction irreductible e = pq (p et q étant des entiers positifs avec q >1). On déduit que le nombre
D=q! e 1 0!+ 1
1!+ 1 2!+ 1
3! +: : :+ 1
q! =q! 1
(q+ 1)! + 1
(q+ 2)! +: : :
1.1. LES ENSEMBLES N,Z, Q, R ETC : TOUR D’HORIZON 5 est un entier positif non nul (première égalité) et vaut (seconde égalité)
1
q+ 1 + 1
(q+ 1) (q+ 2) +: : : 1
(q+ 1) (q+ 2): : :(q+n)+: : : Puisque q >1, on peut majorer cette expression par
D < 1 2+ 1
22 +: : :+ 1
2n +: : := 1
Nous sommes arrivés à une impossibilité puisque D est un entier positif.
Nous verrons que, dans un sens à préciser (cardinalité), Il y a "plus" de nombres irrationnels que de nombres rationnels. Nous verrons également qu’il y a "autant" de rationnels que d’entiers (naturels ou relatifs), ce qui peut sembler, à première vue, paradoxal.
Remarque 2 Il est commode d’utiliser la notation succinte x=a0:b1b2: : : bpc1c2: : : cq
pour désigner le rationnel périodique
x=a0:(b1b2: : : bp) (c1c2: : : cq) (c1c2: : : cq): : : : Par exemple, 12:34517171717::: sera noté 12:34517.
Le lecteur aura observé que nous avons donné deux dé…nitions distinctes d’un nombre rationnel : rapport de deux entiers et représentation décimale particulière. Il faut se convaincre que les deux dé…nitions sont équivalentes.
Comment ? En démontrons que tout rationnel peut être décrit, indi¤érem- ment, par chacune des deux représentations. Ce point sera développé dans un chapitre ultérieur.
Notre liste d’ensembles n’est pas complète, loin s’en faut. Les ensembles évoqués plus haut en contiennent beaucoup d’autres su¢ samment impor- tants pour être discutés dans un cours de base comme celui-ci. Certains sont d’ailleurs familiers au lecteur : l’ensemble des nombres premiers, l’ensemble des nombres décimaux (les rationnels qui dont la représentation décimale est
…nie), etc. Nous en évoquerons d’autres dans des chapitres ultérieurs.
Il y un ensemble, peut-être moins familier, qu’il est important d’introduire d’ores et déjà. Il s’agit de l’ensemble Cdes nombres complexes. La nécessité
de son introduction est motivée par le fait que certaines équations algébriques n’ont pas de solutions réelles. La plus simple de ces équations est sans doute x2 + 1 = 0. Le membre de gauche de cette équation étant toujours positif (quel que soit le nombre réel par lequel on remplace l’inconnue x), il ne saurait être égal à0. L’ensembleCest construit pour contourner cet obstacle.
Transposons le nombre 1 à droite de l’équation : x2 = 1. Une solution de cette équation requiert l’introduction d’un nouveau "nombre" dont le carré est égal à 1:Si on note ce nombre "imaginaire" pari, l’équation aura alors deux solutions distinctes :iet i. En e¤et, on a bien (si on préserve les règles de calcul usuelles, notamment la règle des signes)( i)2 = ( i) ( i) =i i= i2 = 1. L’ensemble des nombres complexes est tout simplement l’ensemble des couples de nombres réels (a; b) associés de la façon suivante :
C= z =a+ibj(a; b)2R2 .
Comme suggéré plus haut, il faudra bien entendu dé…nir les lois arithmétiques surCde manière à préserver leurs propriétés acquises dans les ensembles vus précédemment. Pourb = 0, on voit que z =a 2R et on a ainsi la séquence d’inclusions
N Z Q R C.
Le nombre a s’appelle la partie réelle de z et est noté a = Rez et le nombreb est sa partie imaginaire :b = Imz. Ainsi, tout nombre complexe z s’écrit (forme algébrique)
z = Rez+iImz.
1.2. LES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES USUELLES 7 Puisqu’au fondz est un couple (a; b), on peut donc identi…erz à un point du plan (ou encore à un vecteur du plan) :
Nous reviendrons sur une construction plus abstraite de chacun des en- sembles énumérés ci-dessus.
1.1.1 Exercices
1. Montrer que 19:678 et 51:8271 peuvent s’écrire comme le quotient de deux entiers.
2. Donner l’expression décimale des quotients suivants : 2003 et 5578 . Dire s’ils sont limités ou périodiques.
3. Prouver que tout quotient de deux entiers est limité ou périodique.
4. Montrer que si xest irrationnel et r est rationnel non nul, alors x r, xr, xr, rx, x1 et x sont irrationnels.
5. Expliquer pourquoi a x peut être rationnel si a et x sont tous deux irrationnels.
6. Suites et séries géométriques.
7. Opérations sur les complexes.
8. Vecteurs du plan et nombres complexes.
9. Relation d’ordre partielle : divisibilité.
10. Nombres algébriques.
11. Construction de …gures géométriques.
1.2 Les opérations arithmétiques usuelles
Les opération arithmétiques usuelles qu’on fait sur les nombres sont l’ad- dition (+), la soustraction ( ), la multiplication ( ou ou absence de sym-
bole), la division ( ou =) et en…n l’exponentiation (exposant entier ou ra- tionnel).
Rappelons brièvement leurs propriétés (nous reviendrons plus loin sur leurs dé…nitions).
1.2.1 L’addition et la multiplication
L’addition (ainsi que la multiplication) est une opérationstablepour cha- cun des ensembles énumérés ci-dessus. En d’autres termes, l’addition (la mul- tiplication) de deux nombres pris dans un ensemble est encore un nombre appartenant au même ensemble. Ainsi, l’addition (la multiplication) de deux entiers naturels est un entier naturel, l’addition (la multiplication) de deux entiers relatifs est un entier relatif, etc. On dit également que ces ensembles sont fermés pour l’addition et pour la multiplication. De plus, l’addition et la multiplication sont des opérations (ou des lois de composition)internes.
Exemple 3 Si on se restreint à l’ensemble des entiers (ou des réels) négatifs, la multiplication n’est pas une loi stable puisque le produit de deux nombres négatifs n’est pas un nombre négatif. Par contre, l’addition est une loi stable sur ce même ensemble.
Le lecteur reconnaîtra ci-dessus une liste de propriétés utilisées de manière routinière par tout un chacun :
1. L’associativité
(a+b) +c = a+ (b+c) ; (a b) c = a (b c):
En d’autres termes, si on doit additionner trois nombres a, b et c, on peut commencer par additionnera et b puis ajouter c au résultat. On peut aussi ajouter à a le résultat de la somme de b et c. Le résultat …nal est le même.
On peut alors omettre les parenthèses, puisqu’il n’y a aucune ambiguïté : (a+b) +c = a+ (b+c) =a+b+c;
(a b) c = a (b c) = a b c
1.2. LES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES USUELLES 9 Cette propriété est généralisée à plus de 3 nombres. Il su¢ ra de faire l’opé- ration de gauche à droite :
a1+a2+a3+: : :+an 1+an = (a1+a2) +a3 +: : :+an 1+an
= ((a1+a2) +a3) +: : :+an 1+an ...
= (((a1+a2) +a3) +: : :+an 1) +an: et
a1 a2 a3 : : : an 1+an = (a1 a2) a3 : : : an 1 an
= ((a1 a2) a3) : : : an 1 an
...
= (((a1 a2) a3) : : : an 1) an:
Ce calcul se fait en n 1 étapes (n 1 étant tout simplement le nombre d’additions (multiplications) à e¤ectuer). Ceci justi…e en partie la règle qu’on apprend à l’école qui dit qu’il faut toujours commencer par les parenthèses les plus internes.
Exercice Est-il nécessaire de mettre les parenthèses les plus internes à gauche ? Par exemple, pour calculer S = 1 + 2 + 3 + 4, on peut très bien procéder comme suit
S = 1 + ((2 + 3) + 4),
c’est-à-dire calculer d’abord la somme interne 2 + 3 = 5, puis lui ajouter 4 pour obtenir9et en…n ajouter ce résultat à1pour obtenirS= 10. Noter que l’ordre des facteurs n’a pas été perturbé pendant ce calcul. Seul le placement des parenthèses est di¤érent. D’autres choix sont possibles. Les trouver. Et surtout, comment s’assurer qu’en général (lorqu’il y a n facteurs, n entier 1 non spéci…é), le résultat est le même, peu importe le placement des parenthèses ?
2. La commutativité
a+b = b+a;
a b = b a:
Le lecteur sait bien que cette propriété n’est pas vraie pour la soustraction : 2 3 n’est pas égal à3 2, ni pour la division : 4 2n’est pas égal à2 4.
3. Existence d’un élément neutre
C’est un élément appartenant à l’ensemble sous étude et qui ne change pas la valeur du nombre auquel on l’ajoute (le multiplie). Pour l’addition, cet élément est0 :
a+ 0 = 0 +a =a;
tandis que pour la multiplication, ce nombre est1 : a 1 = 1 a=a.
De plus, il y a un seul 0 et un seul 1 véri…ant la propriété de neutralité et 06= 1 (exercice).
4. Existence d’un inverse
L’inverse, (appelésymétrique ou l’opposé pour l’addition) d’un nombrea (noté a pour l’addition et 1a oua 1 pour la multiplication). Il véri…e, pour l’addition,
a+ ( a) = 0 et
a 1 a = 1:
pour la multiplication. Le lecteur sait bien sûr que le symétrique n’existe pas dans N (à part 0 qui est son propre symétrique), mais qu’il existe pour tous les autres ensembles de nombres énumérés ci-dessus. Pour ce qui est de l’inverse multiplicatif, il faut d’abord exclure 0 puisque le "nombre" 10 n’a aucune signi…cation. De plus, dans le cas des entiers non nuls (N , Z ), le seul nombre admettant un inverse est le nombre1. La construction moderne des ensembles de nombres est en partie justi…ée par le fait qu’on veut corriger cette situation : élargir N à un ensemble "plus grand" de manière à ce que tout entier naturel ait un symétrique dans une première étape (ce qui donne Z), puis élargirZde façon que tout entier relatif non nul ait un inverse mul- tiplicatif (ce qui aboutit à Q). Cette procédure s’appelle une symétrisation.
Ces constructions doivent satisfaire deux conditions essentielles :
1.2. LES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES USUELLES 11 1. Chaque étape donne un ensemble contenant (dans un sens que nous
préciserons) l’ensemble de l’étape précédente : N Z Q.
2. Les propriétés de l’addition et de la multiplication sont préservées si on les restreint à l’ensemble initial. Ainsi, la restriction de l’addition dans Z aux seuls nombres 0restitue ses propriétés initiales dans N. On voit que la construction d’un symétrique et d’un inverse permettent, entre autre, de résoudre des équations du type x+b=cet ax=b.
Le processus de symétrisation donne à chaque étape un ensemble ayant une structure algébrique plus riche et à laquelle les mathématiciens ont attri- bué un nom. L’un des objectifs de ce cours est justement de vous présenter ce processus. Il est bien entendu faux de croire que ce processus s’est fait au hasard. C’est plutôt le résultat d’une lente maturation et recherche (qui ont duré parfois des centaines, si ce n’est des milliers d’années) et est dû aux contibutions des mathématiciens et savants les plus talentueux de tous les temps et de tous les lieux.
5. Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
a(b+c) = (ab) + (ac) : à gauche ; (b+c)a = (ba) + (ca) : à droite.
En pratique, on omet les parenthèses dans le membre droit du signe =, à condition de convenir de la règle de priorité de la multiplication sur l’addition. En e¤et, confrontés à une opération mixte du genre
2 3 + 4, rien n’empêche, à priori, de l’interpréter comme
2 (3 + 4) = 2 7 = 14.
Au vu de la propriété de distributivité ci-dessus, on aurait alors 2 (3 + 4) = 2 3 + 2 4 = 2 (3 + 2) 4 = 40:
Si on utilise la commutativité de l’addition, on aurait 2 3 + 4 = 4 + 2 3 = (4 + 2) 3 = 18:
Priorité des opérations
Pour rappel, nous énonçons les règles de priorité des opérations arithmé- tiques. Il faudra vous convaincre de leur pertinence. En e¤et, dans certaines cultures, on lit de gauche à droite. Les règles ne doivent pas être a¤ectées.
Les voici :
Dans une séquence d’opérations arithmétiques impliquant les 4 opérations (+, , et ) ainsi que l’exponentiation (y compris les radicaux) :
1. En présence de parenthèses, on commence par les plus internes d’abord.
2. On commence par les exponentiations.
3. On e¤ectue ensuite les multiplications et les divisions (même priorité).
4. On e¤ectue les additions et les soustractions (même priorité).
5. Le calcul se fait de gauche à droite.
Exemple 4 Tout le monde sait que 16 4 2 = 8 et non pas 16 4 2 = 16 (4 2) = 2 en vertu des règles 3 et 5.
1.2.2 Compatibilité avec l’égalité et l’inégalité
Nous savons que les nombres (sauf les nombres complexes, mais on revien- dra sur ce dernier plus tard) sont naturellement ordonnés. Les relations "plus petit que", "plus petit ou égal a", "plus grand que" et "plus grand ou égal à"
sont familière dès l’école primaire et sont souvent illustrées (ou accompa- gnées) par le concept d’inclusion. En e¤et, si un ensemble …ni est inclus (est une partie) d’un autre ensemble …ni, on dit que le nombre d’élément du pre- mier est inférieur au nombre d’éléments du second. Si ces nombres d’éléments (nécessairement des entiers naturels) sont a et b, on écrit a b (ou a < b si l’inclusion est stricte). Cette idée decomparaison vaut pour un ensemble et un de ses sous ensembles. Prendre une portion d’un ensemble donne nécessai- rement un ensemble plus petit. Ceci a été compris par les grecs à tel points qu’Euclide l’a explicitement cité comme une de ses demandes (axiomes) : Le tout est plus grand que la partie. Une conséquence immédiate est qu’on élargit la comparaison (l’inégalité) à d’autres nombres que les entiers. On peut comparer des aires, des distances, des dettes, etc.
Dans le même ordre d’idées, comment comparer des ensembles de natures di¤érentes (où il n’est plus possible de passer par l’inclusion) ? Si je dis que
1.2. LES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES USUELLES 13 le nombre d’étudiants dans le cours de Mathématiques fondamentales est su- périeur au nombre de buts marqués dans la saison par l’Impact de Montréal, nous comparons des choses di¤érentes. Ceci renvoie au concept de nombre lui même (qui est une abstraction : voir chapitre 2), mais aussi au concept de corresponsdance ou de fonction injective. En e¤et, il su¢ t d’associer à chaque étudiant(e) du cours un but distinct marqué par l’Impact. La rela- tion est véri…ée si au bout du compte j’aurais épuisé le nombre de buts alors qu’il reste encore des étudiants non associés par ce processus.
On admet donc que tous les nombres réels peuvent être comparés par la relation , plus précisément, siaetbsont deux réels, on a toujours l’une des trois situations suivantes (trichotomie) :
–a < b;
–a=b; –a > b.
Ceci est illustré par un axe orienté (l’axe des réels).
Quelle que soit la con…guration initiale entre a et b, la relation reste inchangée si on ajoute (retranche) la même quantité au deux membres de l’inégalité (égalité) :
a < b)a+c < b+c a < b)a c < b c a = b)a+c=b+c:
On dit que l’addition est compatible avec les relations d’inégalité (égalité).
La propriété de compatibilité est-elle valide pour la multiplication ? Pas toujours. D’abord, il y a l’e¤et particulier du nombre 0. Il absorbe tout nombre par lequel il est multiplié : 0 a = 0. On ne peut donc pas dire que 0 a = 0 b (ou 0 a 0 b) entraîne a = b (ou a b). On a bien 0 2 = 0 ( 3) (0 2 0 ( 3)) mais certainement pas 2 = 3 (2 3).
En second lieu, il faut se rappeler que la règle des signes fait que le produit de deux nombres négatifs donne un nombre positif : ( 2) ( 3) = +6. Ainsi, l’inégalité 2< 1 ne permet pas de conclure 2 ( 3) < 1 ( 3). En fait, c’est l’inégalité opposée qui se produit !
On peut résumer les propriétés de la multpliplication par rapport à l’in- égalité comme suit :
a b etc 0)ac bc a < b etc 0)ac bc a < b etc >0)ac < bc
a b etc 0)bc ac a b etc < 0)bc ac a < betc < 0)bc < ac:
1.2.3 La soustraction et la division
La soustraction et la division sont les opérations inverses de l’addition et de la multiplication respectivement. Ce sont des lois internes, pas néces- sairement stables. En e¤et, il n’est pas toujours possible de soustraire dans N. L’opération a b n’a de sens que si a b. De même, il n’est pas tou- jours possible d’e¤ectuer une division dans N ou dans Z : l’opération a b n’est possible que si a est un multiple de b (b étant supposé di¤érent de 0).
Un point de vue moderne (et abstrait) consiste à ne pas considérer la sous- traction et la division comme des opérations nouvelles, mais plutôt comme des manifestations particulières de l’addition et de la multiplication. Ainsi, a b=a+ ( b) : on ajoute le symétrique deb au nombrea, étant entendu que le symétrique b est dé…ni par la propriété b+ ( b) = 0. Ce processus a été conceptualisé par les indiens dès le début du premier millénaire. Un nombre négatif étant conçu comme une dette et la propriétéb+ ( b) = 0 est naturellement interprétée comme "e¤acer ou payer sa dette". Pour que ceci soit possible, il faut donc dé…nir les nombres négatifs comme de nouvelles entités.
Pour la division, le processus est identique, au détail près que l’addition est remplacée par la multiplication (et qu’on ne divise pas par 0). Divisera parbrevient à se demander s’il existe un nombrectel quea =bc. Le nombrea s’appelle le dividende, le nombrebs’appelle le diviseur et le nombrecs’appelle le quotient de la division. Cette opération a également été comprise par les première civilisations et a mené au concept de fraction. Elle n’est pas toujours possible sia etb sont des entiers (dans N etZ) car il est possible qu’il y ait un reste. Je ne peux par exemple pas partager 11 bonbons en 3 parts égales (11 n’est pas un multiple de 3). La pratique ancestrale (partages, héritages, commerce, etc.) a fait que les nombres fractionnaires ont toujours existé dans les faits. Aujourd’hui, dans notre processus d’absraction, on considère la division comme une multiplication. Ainsi, a b est tout simplement a 1b ou encorea b 1 où 1b (b 1) est l’inverse deb, c’est-à-dire le nombre qui véri…e b 1b = 1. Si ce nombre n’existe pas (comme dans Z), il faut le construire par un processus d’elargissement (nous verrons comment plus loin).
1.2. LES OPÉRATIONS ARITHMÉTIQUES USUELLES 15 À ce stade, il est utile de rappeler une propriété importante des nombres réels, dite axiome d’Archimède.
Étant donnés deux réels positfs a et b tels que 0 < a < b, alors il existe un entier naturel n tel que na > b.
Intuitivement, ceci signi…e que si nous utilisons le nombreacomme étalon (unité de mesure), si on prend un nombre su¢ sant d’unités, on dépassera le nombre b : avec une cuillère à café, on pourra toujours vider l’océan, pour peu qu’on soit patient !
1.2.4 L’exponentiation 1.2.5 Valeur absolue
1.2.6 À propos du symbole =
Une règle en mathématique est que si un objet (nombre, ensemble, struc- ture, etc.) est représenté par plus d’un symbole (usuellement une lettre), par exemple par a et b, nous dirons que l’objet a est égal à l’objetb et et utilise le symbole =pour le signi…er :
a=b
Ainsi, les nombres naturels a = 1 + 7 3 et b = 32 4 sont égaux et nous avons a=b.
L’égalité véri…e les propriétés suivantes : 1. Pour tout objeta on a a =a (re‡exivité).
2. Pour tous objetsa et b, si a=b, alors b=a (symétrie).
3. Pour tous objetsa; b etc, sia=b et b=c, alors a=c(transitivité).
Ces 3 propriétés signi…ent que l’égalité est une relation d’équivalence (nous y reviendrons).
Sia et b représentent des objets distincts nous dirons que les objets a et b sont di¤érents (inégaux, s’il s’agit de nombres) et nous écrironsa 6=b.
Cependant, le symbole=peut être aussi utilisé dans des situations où les objets ne sont pas identiques :
– Deux fractions ab et dc sont égales si le produit des moyens est égale à celui des extrêmes : ad = bc. Pourtant, 23 et 46 ne sont pas les mêmes
objets. Par exemple, la deuxième est réductible (chaque terme est di- visible par 2) alors que la seconde ne l’est pas. Ou encore, la somme (ou le produit) du numérateur avec le dénominateur ne sont pas les mêmes :2 + 36= 4 + 6, etc.
– Deux triangles sont dit égaux si leurs trois côtés sont égaux (ont les mêmes longueurs). Pourtant, sur une …gure, deux triangles égaux peuvent être distincts (représentés par deux …gures di¤érentes).
– Deux vecteurs du plan sont égaux (on dit aussi équipollents) s’ils ont des caractéristiques communes (même direction, même module et même sens).
– etc.
En fait, ce qu’on veut dire par ces égalités est que ces objets possèdent les trois propriétés énumérées ci-dessus et que chacun est un simple représentant d’une classe d’objets véri…ant ces même propriétés. Il faut également s’assurer que les opérations éventuelles dé…nies sur ces objets ne dépendent pas du représentant particulier (compatibilité). Nous aurons l’occasion de voir ceci sur des situations concrètes (construction de Z ouQ par exemple, ainsi que dans le chapitre sur les relations).
1.2.7 Exercices
1. Montrer que06= 1.
2. Les équations x+b =cet ax =b ont-elles toujours une solution dans N? dans Z? dans Q? dans R? Expliquer.
3. L’addition est-elle distributive par rapport à la multiplication ? Fournir des exemples.
1.3. NUMÉRATION 17
1.3 Numération
1.3.1 Base 10
1.3.2 Autres bases 1.3.3 Exercices
1.4 Autres systèmes de nombres
1.4.1 Les nombres p-adiques 1.4.2 Les quaternions
1.5 Exercices
1. Peut-on munir l’ensemble S suivant des opérations d’addition et de multiplication usuelles de sorte qu’elles véri…ent les propriétés énoncées dans ce chapitre (associativité, commutativité, etc.) ?
S =fm+an:m; n2Z eta2Rg.
2. Une opération sur un ensemble E est dite unaire si à un élément de l’ensembleE elle associe un élément deE. Par exemple, l’opération qui consiste à associer à chaque entier relatif a son opposé a est unaire.
Deux opérations unaires dé…nies sur le même ensemble E sont dites commutatives si on obtient le même résultat quel que soit l’ordre dans lequel on les applique. Décider quelles sont les opérations commutatives dans la liste ci-dessous.
(a) Addition de 3, addition de 5 (E =N).
(b) Addition de 4, multiplication par 2 (E =N).
(c) dydx+ay, dydx ay (E est l’ensemble des fonctions réelles dérivables y=f(x)).
3. Réduire le membre de gauche de chacune des égalités ci-dessous au membre de droite en utilisant les propriétés des opérations +et .
(a) 5 (6 + 3) = 3 5 + 5 6:
(b) 5 (6 3) = (3 5) 6:
(c) 4 6 + 5 4 = 4 (5 + 6).
(d) a(b+ (c+d)) = (ab+ac) +ad:
(e) a(b(cd)) = (cd) (ab):
(f) a+ (b+ (c+d)) = ((a+b) +c) +d:
Chapitre 2
Les nombres : point de vue intuitif
“Dieu a créé les entiers naturels, tout le reste est l’oeuvre de l’homme”. Kronecker1.
2.1 Systèmes des nombres
2.1.1 Introduction
On trouve des traces d’activité mathématique chez l’homme datant de dizaines de millénaires, bien avant le début de l’Histoire. Le bâton d’Ishango (23000 avant J.C) est un os découvert par l’archéologue belge Jean de Heinze- lin (1920-1998) dans les années 1950 au bord du lac Rutanzige, à la frontière du Zaire et de l’Ouganda. Cet objet est recouvert de trois colonnes d’encoches qui font penser à un schéma mathématique (nombres premiers ? base 10 ?) ou à un calendrier lunaire. D’autres découvertes du même type ont été faites dans des cavernes en Europe notamment.
L’usage d’une forme ou d’une autre des mathématiques (qu’on pourrait historiquement dé…nir comme la science des grandeurs et des mesures et partages géométriques) a été une invention nécessaire aux activités les plus simples. Il y a 5000 ans, le berger mésopotamien utilisait sans doute un conte- nant (sac, bac, ...) dans lequel il mettait, le matin, une pierre pour chaque bête qui sortait paître. Le soir, au retour du troupeau, il s’appliquait à faire
1Kronecker
19
l’opération inverse : retirer un caillou pour chaque bête qui revenait au gîte.
La nature des bêtes ou celle des cailloux importait peu. Seule comptait l’as- sociation entre les deux ensembles. Ainsi est sans doute née la première for- mulation abstraite (inconsciente) de nombre : une correspondance entre deux ensemble. D’autres méthodes ont bien sûr été utilisées : encoches, noeuds, etc. pour le même but. Il est important de réaliser que cette représentation du nombre est loin de l’idée de numération. En e¤et, il est probable que notre berger ne savait sans doute pas compter au-delà de quelques unités. Cepen- dant, on ne peut pas non plus dissocier le concept de nombre du processus de dénombrement. En e¤et, les besoins de partage (héritage, terrain, ressources, etc.) sont le propre de l’activité humaine. Ainsi, nous voyons au moins deux concepts historiquement liés à lidée de nombre : la correspondance (bijective ou biunivoque) et l’énumération. Un peu de re‡exion montre que ces deux concepts sont étroitement liés repectivement à l’idée d’égalité (le nombre de bêtes dans le troupeau, au matin, est égal au nombre de pierres mises dans le sac) et d’inégalité (le nombre de bêtes, à leur retour le soir, est inférieur au nombre de pierres dans le sac : toutes les bêtes sont rentrées dans l’enclos mais il reste des pierres dans le sac).
Les nombres les plus simples sont les entiers positifs (ou entiers naturels) : N=f0;1;2;3; : : :g
On peut penser à un axe géométrique avec une origine, une unité et un sens :
2.1.2 Quelques repères historiques
Les civilisations les plus anciennes ont ont très vite ressenti la nécessité de construire des systèmes de nombres pour la vie dans la Cité. Divers dans leurs représentations, leur objectif commun le plus courant est ce que les grecs nommaient la logistique : résolution de problèmes de la vie quotidienne : arpentage, calcul d’impôts, salaires, calcul d’aire et de volumes divers (silos de grains), etc.
2.1. SYSTÈMES DES NOMBRES 21 On trouve des traces du nombre 0 dans les plus anciennes d’entre elles (Mésopotamie). D’autres civilisations ont senti la nécessité d’inventer (créer ?) ce nombre : les chinois, les indiens, les mayas.
Dès les premiers siècles de notre ère, on trouve un usage des nombres négatifs chez les indiens (dette). Ces nombres ne réapparaîtront que bien plus tard, avec beaucoup de réticences, chez les italiens de la Renaissance. Les nombres irrationnels (ou incommensurables) étaient connus des grecs, chez les pythagoriciens. Leur découverte s’est faite avec stupeur et rejet car elle heurtait profodément leur système atomiste de croyance (tout est nombre).
Le rapport de la diagonale d’un carré à son côté, ou le rapport d’une diagonale d’un pentagone régulier à un de ses côtés (le nombre d’or) n’entrait pas dans ce moule. On raconte que le découvreur de cette hérésie (Hippase de Métaponte) a péri noyé par ses pairs. Le plus célèbre des nombres irrationnels est sans aucun doute , le rapport du périmètre d’un cercle sur son diamètre2.
Aujourd’hui, les nombres irrationnels sont devenus "ordinaires’. On les ren- contre dans des situations banales comme la trigonométrie. : sin (600) = p23, les logarithmes : ln (2) etc.
Les grecs traitaient l’algèbre comme une partie intégrante de la géométrie.
Résoudre un problème d’algèbre passait par une construction géométrique, du moins en principe.
– Algèbre numérique : Égypte et surtout la Mésopotamie, dès le 4ième millénaire avant JC : 1ière phase de la création et de l’accumulation des mathématiques écrites.
– Algèbre géométrique : Grecs (6ième siècle avant JC - 4ième siècle après JC). C’était la création des mathématiqes abstraites (méthode axioma- tique, règles de la logique, arithmétique, théorie des nombres, etc.) par opposition à la logistique ou mathématiques du quotidien.
– Algèbre littérale : 1ier siècle au 16ième siècle (indiens, chinois, arabes, Europe médiévale)
2Ferdinand Lindemann (1852-1939) a montré en 1882 que est transcendant.
– Théorie des équations algébriques : 17ième siècle - début 19ième siècle – Algèbre moderne
Notions d’algèbre géométrique chez les grecs
Les règles de la logique ont été codi…ées par le philosophe grec Aristote, bien qu’elles aient été en usage dès le 6ième siècle avant J.C.
– Distributivité b(a1+a2+a3) =ba1+ba2+ba3 :
– Identité (a+b)2 =a2+ 2ab+b2 :
– Produit = aire d’un rectangle : ab = a+b2 2 a b2 2 dont voici la
2.1. SYSTÈMES DES NOMBRES 23 preuve géométrique :
Notations : AB=a, BD=b, AC =CD = (a+b)=2, DF =BD – Des problèmes équivalents à des équations du second degré étaient for-
mulés et résolus géométriquement. Il y avait 3 sortes :
1. Transformer un rectangle donné en carré, c-à-d. résoudreab=x2:
2. Étant donné un segment AB =a et une aire S, transformer AB en un rectangle de sorte que le dé…cit d’aire (en plus de S) soit un carré :
Si on pose BC = x, ceci revient à résoudre x(a x) = S. Les grecs savaient que ce problème n’a pas de solution (x positif) si S > a2=4). Ce type de problème est dit elliptique (dé…cit en grec).
3. Même chose, mais l’excès = carré (x(a+x) =S.) :
Ce type de problème est dit hyperbolique (excès).
Pour résoudre les 3 problèmes ci-dessus, on utilise l’identitéab= a+b2 2
a b 2
2 pour tansformerab,(a x)xet(a+x)xen di¤érences de carrés puis on résout à l’aide du théorème de Pythagore.
À titre d’exemple, examinons le premier problème (ré‡échir aux 2 autres).
Prendre un segment AC de longueur a+b. Soit O le milieu de AC. Tracer un demi-cercle de rayon OA = (a +b)=2. Tracer la perpendiculaire à AC émanant deH (AH =a). Elle coupe le demi-cercle enD. Alors DH =x est le côté du carré cherché.
Les grecs savaient également construire la racine carré d’un nombre :
2.2. QU’EST-CE QU’UN ENTIER NATUREL ? APPROCHE INTUITIVE25 Les triangles ACH et CHB sont semblables : AHCH = CHHB i.e. AH = CH2 ou encore CH =p
AH.
2.2 Qu’est-ce qu’un entier naturel ? Approche intuitive
Correspondance biunivoque. Fonction.
Égalité. Signi…cation et propriétés : re‡exivité, symétrie, transitivité.
Inégalité. Signi…cation et propriétés : re‡exivité, antisymétrie, transiti- vité. Ordre total.
Opérations : addition, multiplication, soustraction et division Propriétés. Stabilité des opérations.
Bases de numération. Tables de Pythagore. Calcul dans d’autres bases.
Algorithme de division.
2.3 Quelques systèmes de numération histo- riques
2.3.1 Mésopotamie 2.3.2 Égyptie ancienne 2.3.3 Grèce antique 2.3.4 Rome
2.3.5 Système indo-arabe
2.3.6 Maya
Chapitre 3
Un peu de logique
3.1 Propositions. Connecteurs
Dé…nition 3 Proposition (ou assertion) : énoncé, a¢ rmation non ambigüe vraie ou fausse (mais pas les deux à la fois).
Notation :p; q; r; s : : : (c’est donc un processus d’abstraction).
Dé…nition 4 Valeur de vérité : V si vraie et F si fausse (on utilise parfois 0 pour F et 1 pour V). Une représentation pratique est celle de la table de vérité :
p V F Exemples
–p:"Montréal est la capitale du Canada". Proposition fausse (sa valeur de vérité =F).
Exemple 5 –q:"2+2 = 4". Proposition vraie (sa valeur de vérité=V).
– "Il fait beau" ; "Je serai riche" ne sont pas des propositions.
– "x+ 1 = 3" n’est pas une proposition (contient une variable). Nous y reviendrons.
Dé…nition 5 La logique (formelle) est la science de la déduction. Son but est de fournir une méthode systématique qui permet de savoir si une conclusion donnée est la conséquence de prémisses données.
27
Remarque 3 Ce but n’est que partiellement réalisable. Cette dé…nition ne s’applique pas à la logique fonctionnelle.
Dé…nition 6 Un argument (raisonnement) est dit valide si sa conclusion est vraie dans tous les cas où ses prémisses sont vraies.
Dé…nition 7 Propositions équivalentes. Deux propositions p et q sont dites équivalentes si elles ont la même table de vérité. On écrit alors p , q.
On rencontre aussi des notations telles quep=q ou p q.
3.1.1 Négation d’une proposition : : p
La négation depest la proposition:p(oup), vraie quandpest fausse et fausse quandp est vraie. Sa table de vérité est donc :
p :p
V F
F V
La proposition :p se lit "non p" ou "il n’est pas vrai que p".
Remarque 4 Le symbole : est un connecteur à une place ou opérateur unaire : à une propositionp, il associe une autre proposition (en l’occurence, sa négation :p). C’est un exemple de fonction booléenne (ou de fonction propositionnelle : ne peut prendre que deux valeurs possibles) :
::fV; Fg ! fV; Fg: Il y a un total de22 = 4 opérateurs unaires. Les voici :
p :p V F
1 V F V F
2 F V V F
1 2 3 4
Dans cette table, la colonneV désigne une fonction propositionnelle toujours vraie (c’est-à-dire qu’elle prend pour valeur de véritéV, indépendamment de ses arguments). C’est une tautologie. La colonne F (ou 0) représente une fonction propositionnelle toujours fausse. C’est une contradiction.
3.1. PROPOSITIONS. CONNECTEURS 29 Exemples
– Soit p : "Montréal est la capitale du Canada". Alors:p : "Il n’est pas vrai que Montréal est la capitale du Canada". L’usage veut qu’on dise plutôt : "Montréal n’est pas la capitale du Canada".
– La négation dep: (2 >3) est:p: (2 3).
Une propriété de la négation
Loi de la double négation : :(:p),p: p :p :(:p)
V F V
F V F
3.1.2 Connecteurs binaires
Un connecteur à deux places (connecteur binaire ou opérateur binaire) associe à 2 propositions p et q une proposition r. La proposition r est un exemple de proposition composée (formée à partir de propositions simples à l’aide de connecteurs unaires et binaires).
Un connecteur à deux places est une fonction booléenne (ne prend que deux valeurs possibles) :
f(F; F);(F; V);(V; F);(V; V)g ! fF; Vg (p; q) ! r dont la représentation par une table de vérité est
p q r
1 V V ?
2 V F ?
3 F V ?
4 F F ?
Chaque point d’interrogation ? pouvant prendre deux valeurs (V ou F), il y a donc un total de 24 = 16 connecteurs à deux places. Les 5 plus courants
sont :
^ conjonction (opérateuret).
_ disjonction (opérateur ou).
! implication logique (ou conditionnelle).
implication réciproque, ! biconditionnelle.
disjonction exclusive (XOR).
Remarque 5 On peut parler de fonction booléennes ternaires, ..., n-aires.
On verra plus loin qu’il y a 22n fonctionsn-aires.
Nous les examinons maintenant tour à tour.
3.1.3 La conjonction
Dé…nitionConjonction. La conjonction de deux propositionspetqest la proposition notéep^q(lire "petq"), vraie quandpetqsont simultanément vraies et fausse dans tous les autres cas. Sa table de vérité est donc
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
Note Si on utilise la notation F = 0 et V = 1, on peut interpréter l’opérateur^comme la fonctionminou comme une multiplication ordinaire :
^ 0 1 0 0 0 1 0 1
Exemplep:"Montréal est la capitale du Canada" ;q :"2 + 2 = 4". Alors, p^q :"Montréal est la capitale du Canada et 2 + 2 = 4". Cette proposition est fausse.
3.1. PROPOSITIONS. CONNECTEURS 31 Propriétés de la conjonction
–p^q,q^p(commutativité).
–(p^q)^r,p^(q^r)(associativité) : p q r p^q (p^q)^r
1 V V V V V
2 V V F V F
3 V F V F F
4 V F F F F
5 F V V F F
6 F V F F F
7 F F V F F
8 F F F F F
p q r q^r p^(q^r)
V V V V V
V V F F F
V F V F F
V F F F F
F V V V F
F V F F F
F F V F F
F F F F F
–p^ :p,F(contradiction) :
p :p p^ :p
1 V F F
2 V F F
3 F V F
4 F V F
3.1.4 La disjonction
Dé…nitionDisjonction. La disjonction de deux propositionspetq est la proposition notéep_q(lire "pouq"), fausse quandpetqsont simultanément fausses et vraie dans tous les autres cas. Sa table de vérité est donc
p q p_q
1 V V V
2 V F V
3 F V V
4 F F F
Le ou est à prendre dans le sens inclusif (p etq peuvent être simultanément vraies : ligne 1 de la table).
Remarque 6 Si on utilise la notation F = 0 et V = 1, on peut interpréter
l’opérateur _ comme la fonction max ou comme p_q =p+q pq: _ 0 1
0 0 0 1 0 1
Exemplep:"Montréal est la capitale du Canada" ;q :"2 + 2 = 4". Alors, p_q :"Montréal est la capitale du Canada ou 2 + 2 = 4". Cette proposition est vraie.
Propriétés de la disjonction –p_q ,q_p (commutativité).
–(p_q)_r ,p_(q_r) (associativité) : p q r p_q (p_q)_r
V V V V V
V V F V V
V F V V V
V F F V V
F V V V V
F V F V V
F F V F V
F F F F F
q_r p_(q_r)
V V
V V
V V
F V
V V
V V
V V
F F
–p_ :p,V (tautologie) :
p :p p_ :p
V F V
V F V
F V V
F V V
3.1.5 La conditionnelle (ou implication logique)
Dé…nition 8 La conditionnellede deux propositionspetq est la proposition p ! q, fausse uniquement si q est fausse et p est vraie. Elle est vraie dans
3.1. PROPOSITIONS. CONNECTEURS 33 tous les autres cas. Sa table de vérité est :
p q p!q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
La proposition p s’appelle l’hypothèse (ou la prémisse) et la proposition q s’appelle la conclusion de l’implication logique p!q.
Terminologie "Si p alors q" ; "p implique q" ; "p entraîne q" ; "p su¢ t pour q" ; "q est une condition nécessaire à p".
Il est important de comprendre qu’il n’est pas question de déduction ou de causalité dans l’implication logique. Seule la forme de la proposition compte.
Examinons de plus près les 4 lignes de la table de vérité ci-dessus.
Considérons d’abord les cas oùp!q est vraie (lignes 1;3et 4).
– Ligne 1 (pest vraie). On voit queq est vraie. On peut alors interpréter cette ligne comme suit : "Si p alors q" ; "p entraîne q" ; "p est une condition su¢ sante pour q".
Exemple Soit p:"2 + 2 = 4" (vraie) et q :"2< 5" (vraie). On voit que p!q est vraie.
– Ligne 4 (q est fausse). Dans ce cas, on voit que p est fausse. On peut lire : "q est nécessaire à p".
Exemple Soit p :"2 + 2 = 5" (fausse) et q :"Montréal est la capitale du Canada" (fausse).À partir d’une premisse fausse, on peut conclure n’importe quoi. L’implication logique p ! q est donc vraie. Ceci s’applique aussi à la ligne 3.
En conclusion, si p est fausse, peu importe la valeur de vérité de q, l’im- plication logique p!q est vraie. Par contre, sipest vraie etqest vraie (ligne 1), alors p!q est vraie.
– Considérons maintenant la ligne 2 (p ! q est fausse). Dans ce cas, q est fausse. Pour démontrer que p!q est fausse, il su¢ t de trouver un exemple où q est fausse et p est vraie (c’est-à-dire uncontre-exemple).
Exemples
–p:"2<4" ;q :"2<5":Dans ce cas, p!q est vraie (ligne 1).
–p :"2 + 2 = 4" ; q :"Montréal est la capitale du Canada":Dans ce cas, p!q est fausse (ligne 2).
–p :"2 + 2 = 5" ; q :"Montréal est la capitale du Canada":Dans ce cas, p!q est vraie (ligne 4).
–p :"2 + 2 = 5" ; q :"Ottawa est la capitale du Canada":Dans ce cas, p!q est vraie (ligne 3).
Considérons l’énoncé suivant : "Si je fais un régime, je perds du poids".
Tel quel, cet énoncé n’est pas une proposition logique. On ne peut pas lui attribuer une valeur de vérité dénuée d’ambiguïté. Regardons-le de plus près.
Posonsp : "je fais un régime",q : "je perds du poids" et p!q : "Si je fais un régime, je perds du poids". On a les 4 possibilités suivantes :
1. Je fais un régime et je perds du poids. Alors pest vraie ; q est vraie et p!q :est vraie (ligne 1).
2. Je fais un régime et je ne perds pas de poids. Alors p est vraie ; q est fausse etp!q :est fausse (ligne 2).
3. Je ne fais pas de régime et je perds du poids. Alors p est fausse ;q est vraie etp!q :est vraie (ligne 3). Rien ne contredit la prémisse.
4. Je ne fais pas de régime et je ne perds pas de poids. Alorspest fausse ; qest fausse etp!q:est vraie (ligne 4). Rien ne contredit la prémisse.
En conclusion, le si...alors de tous les jours (celui utilisé dans les pro- grammes informatiques également) sous-entend une idée de causalité, mais pas celui de la logique formelle. Ce dernier correspond plutôt à l’idée que l’on se fait d’une promesse :
1. Si la prémisse p est vraie alors la conclusion q est vraie (ligne 1) et je tiens ma promesse :p!q est vraie.
2. Si la prémisse p est vraie et la conclusion q est fausse (ligne 2), je ne tiens pas mas promesse :p!q: est fausse.
3. Si la prémisse p est fausse, peu importe la conclusionq (lignes 3 et 4), je ne brise pas ma promesse : p!q est vraie.
Remarque 7 La table suivante montre que:p_qetp!qsont équivalentes.
On aurait donc pu dé…nir l’implication logique par la première. Cela aurait enlevé l’ambiguïté soulevée ci-dessus et montré que l’implication logique n’est
3.1. PROPOSITIONS. CONNECTEURS 35 rien d’autre qu’un connecteur binaire.
p q p!q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
:p :p_q
F V
F F
V V
V V
Remarque 8 La transitivité de l’implication logique (ourègle du syllogisme).
On véri…e (par une table de vérité) que la proposition composée[(p!q)^(q!r)]! (p!r) est une tautologie (toujours vraie, peu importe les valeurs de vérité
de p,q et r). On écrit tout simplement p!q!r et on dit que l’implication logique est transitive.
Dé…nition 9 L’implication réciproque et la contraposée. L’implication lo- giqueq !ps’appelle l’implication réciproquede la propositionp!q, tandis que :q ! :p s’appelle la contraposée de la proposition p!q.
Cherchons la table de vérité de cette dernière.
p q p!q
1 V V V
2 V F F
3 F V V
4 F F V
:q :p :q! :p
F F V
V F F
F V V
V V V
On voit que p!q , :q ! :p.
Attention L’implication réciproque q ! p n’a pas la même table de vérité que celle de l’implication directe p!q.
3.1.6 La disjonction exclusive
Dé…nition 10 La disjonction exclusive de deux propositions p et q est la proposition notéep q, fausse quandp etq ont même valeur de vérité (c’est- à-dire quand elles sont simultanément vraies ou simultanément fausses), et vraie dans les autres cas.
Voici sa table de vérité :
p q p q
1 V V F
2 V F V
3 F V V
4 F F F
Cette disjonction correspond donc à unou exclusif.
Exemple Considérons l’énoncé suivant : "Je me lèverai tôt ou je râterai mon emission préférée". Il est clair que les 2 événements p :"Je me lèverai tôt" et q :"je râterai mon emission préférée" ne peuvent pas survenir simul- tanément.
Remarque 9 Si on interprète V = 1 et F = 0, alorsp q est une addition modulo 2 :
0 1 0 0 1 1 1 0
3.1.7 La biconditionnelle
Dé…nition 11 La biconditionnelle des propositions p et q est l’implication, notée p$q, vraie quand p et q ont la même valeur de vérité et fausse dans les autres cas :
p q p$q
1 V V V
2 V F F
3 F V F
4 F F V
On lit :
– "p est nécessaire et su¢ sant pourq" ; – "p si et seulement siq" ;
– "Si palors q et réciproquement".
Propriétés de la biconditionnelle –p$q ,[(p!q)^(q!p)].
– Transitivité : [(p$q)^(q $p)]!(p$p) est une tautologie.
3.2. LES LOIS DE LA LOGIQUE 37 Exemples
–:(:p)$p
–(p!q)$(:p_q):
3.2 Les lois de la logique
Nous avons déjà vu qu’une proposition composée est une proposition obtenue à partir de propositions simples à l’aide de connecteurs unaires et binaires. Nous allons rendre ces dé…nitions plus précises.
Rappelons qu’une fonctionf d’un ensemble non vide Avers un ensemble non vide B est une règle qui associe à tout élément a de A un élément b = f(a) de B. On écrit f : A ! B. On supposera que les ensembles A et B sont …nis (contiennent un nombre …ni d’éléments) et le nombre d’éléments dans A sera noté jAj et celui de B, jBj. Posons A = fa1; a2; : : : ; ang (de sorte que jAj = n). Alors, la fonction f peut être représentée par une liste ordonnée [f(a1); f(a2); : : : ; f(an)]:
A f
1 a1 f(a1) ... ... ... n an f(an)
On a le résultat important suivant : il y a exactement jBjjAj fonctions di¤érentes de A dans B.
Exemple
– PrenonsA=B =fV; Fg. PuisquejAj=jBj= 2, il y a22 = 4fonctions de A dans B. Les voici :
1 2 3 4
V V V F F
F V F V F
– Prenons A = f(V; V);(V; F);(F; V);(F; F)g et B = fV; Fg. Puisque jAj = 4 et jBj = 2, il y a 24 = 16 fonctions de A dans B. Nous les donnerons plus loin.
– Prenons A=fa1; a2get B =f0;1;2g. Puisque jAj= 2 etjBj= 3, il y a32 = 9 fonctions de A dans B. Les voici :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 a1 0 0 1 1 0 2 1 2 2 a2 0 1 0 1 2 0 2 1 2
Dé…nitionFonctions booléennes n-aires. Soitn un entier strictement po- sitif. SoitA l’ensemble desn-uplets (c’est-à-dire des listes ordonnées) formés uniquement des lettres F (ou du nombre 0) et V (ou du nombre 1). On verra plus loin (chapitre sur les ensembles) que A est le produit cartésien A=fV; Fgn. SoitB =fV; Fg. Alors toute fonctionf :A!B s’appelle une fonction booléennen-aire.
Ainsi, si n= 1, la fonction est unaire ; si n= 2, elle est binaire ; si n= 3, elle est ternaire, etc.
Un peu de re‡exion montre que jAj = 2n et par conséquent, on déduit qu’il y a exactement jBjjAj= 22n fonctions booléennes. C’est un nombre qui croît très vite avec la taillen deA :
–n= 1 : 221 = 4 fonctions unaires ; –n= 2 : 222 = 16 fonctions binaires ; –n= 3 : 223 = 256 fonctions binaires ; etc.
Dé…nition Proposition composée. Une une proposition (ou un énoncé) composée est une fonction booléennen-aire, oùn est le nombre d’arguments (propositions simples) de la fonction. Formellement on a doncA =fV; Fgn, B =fV; Fg et
f : A!B
(p1; p2; : : : ; pn)!f(p1; p2; : : : ; pn)
où chacun despi est une proposition simple prenant les valeurs V ouF. Les pi s’appellent variables booléennes.
Dé…nition Tautologie. Une proposition composée est une tautologie si elle est égale àV quelles que soient ses variables booléennes. C’est unecontra- dictionsi elle vaut toujoursF. Dans tous les autres cas, c’est unecontingence.
Nous avons vu que si n = 2 (connecteurs binaires), il y a 16 fonctions booléennes. Nous avons également examiné 6 d’entre elles (plus 2 : la tauto- logie et la contradiction). Nous donnons ci-dessous la liste exhaustive des 16
