I. La fonction ϕ est de classe C

Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

Fonction non développable en série entière

Introduction

Nous savons qu’une fonction développable en série entière est de classeC^∞. Dans ce problème, nous allons montrer que la réciproque n’est pas vraie en considérant la fonctionϕ:R→Rdéfinie par

∀x∈R, ϕ(x)=





 exp

µ

−1 x

¶

si x>0 0 si x6^0.

Nous allons démontrer queϕest une fonction de classeC^∞surR, mais qu’elle n’est pas développable en série entière.

I. La fonction ϕ est de classe C

1. Montrer que la fonctionϕest continue surR.

2. Justifier que la fonctionϕest de classeC^1surR^∗et que

∀x∈R^∗, ϕ⁰(x)=





 1 x²exp

µ

−1 x

¶

si x>0 0 si x<0.

3. En déduire l’existence et la valeur des limites lim

x→0⁻ϕ⁰(x) et lim

x→0⁺ϕ⁰(x).

4. En déduire que la fonctionϕest de classeC^1surRet queϕ⁰(0)=0.

II. La fonction ϕ est de classe C

1. Justifier que la fonctionϕest de classeC^∞surR^∗.

2. Montrer par récurrence pour toutn∈Nqu’il existe un polynômeP_n∈R[X] tel que

∀x∈]0,+∞[, ϕ⁽ⁿ⁾(x)=P_n µ1

x

¶ exp

µ

−1 x

¶ .

3. Soitn∈N. En déduire l’existence et la valeur des limites lim

x→0⁻ϕ⁽ⁿ⁾(x) et lim

x→0⁺ϕ⁽ⁿ⁾(x).

4. En déduire par récurrence pour toutn∈Nqueϕ⁽ⁿ⁾est de classeC^nsurRet queϕ⁽ⁿ⁾(0)=0.

5. Conclure queϕest de classeC^∞surR.

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Jérôme Von Buhren http://vonbuhren.free.fr

III. Développement en série entière de ϕ

Dans cette partie, on suppose que la fonction ϕest développable en série entière. Ainsi, il existe un nombre réelr>0 et une suite de nombres complexes (a_n)_n∈Ntels que

∀x∈]−r,r[, ϕ(x)=

+∞X

n=0

a_nxⁿ.

1. Rappeler l’expression dea_nen fonction deϕpour toutn∈N. 2. En déduire queϕn’est pas développable en série entière.

Fin

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