Brève communication. Généralisation des extrapolations polynomiales et rationnelles

R

’

. M

C LAUDE B REZINSKI

Brève communication. Généralisation des extrapolations polynomiales et rationnelles

Revue française d’automatique informatique recherche opération- nelle. Mathématique, tome 6, n^oR1 (1972), p. 61-66

<http://www.numdam.org/item?id=M2AN_1972__6_1_61_0>

© AFCET, 1972, tous droits réservés.

L’accès aux archives de la revue « Revue française d’automatique infor- matique recherche opérationnelle. Mathématique » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).

Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit conte- nir la présente mention de copyright.

Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques

http://www.numdam.org/

R.A.I.R.O.

(6* année, R-l, 1972, p. 61-66)

Brèves communications

GENERALISATION DES EXTRAPOLATIONS POLYNOMIALES ET RATIONNELLES

par Claude BREZINSKI (*)

Résumé. — Extrapolation d'une suite convergente par des polynômes et des fractions rationnelles d*une fonction <p(x) à choisir. Théorèmes de convergence et d* accélération de la convergence. Application à la résolution de f{x) — 0 qui débouche sur de nouveaux algo- rithmes.

Dans sa thèse, Laurent [3] a étudié les conditions de convergence de pro- cédés d'extrapolation à l'aide de polynômes généralisés de la forme :

*»(*)= É *.fo(*)-tfo)]

(i)

où 9 est une fonction numérique, définie sur [0, T\> strictement croissante et continue à droite en zéro.

Dans la pratique on dispose des algorithmes de Richardson et de Romberg qui correspondent à cp(x) = x et x%. Nous allons généraliser ces algorithmes à une fonction 9 quelconque possédant les propriétés précédentes. On obtient ainsi un nouvel outil d'extrapolation utilisable en pratique. Dans la seconde partie, on étudie des extrapolations à l'aide de fractions rationnelles généra- lisées et on donne un algorithme qui généralise le p'-algorithme [1].

Appliqués à la résolution de f(x) = 0 ces deux algorithmes d'extrapolation généralisée débouchent sur un grand nombre de procédés numériques. Cer- taines de ces méthodes sont nouvelles, d'autres sont déjà connues mais on les retrouve ici dans le cadre unifié de l'extrapolation.

Extrapolation polynomiale

Étant donnés p + 1 couples (xⁱ⁹ y^t) où les x^t sont tous différents, on sait qu'il existe un et un seul polynôme (1) de degré p qui passe par ces points.

(1) Attaché aux Services Techniques des Armées.

Revue Française d'Automatique, Informatique et Recherche Opérationnelle n° R-l, 1972.

6 2 C. BREZINSKI

Appelons r<"> la valeur en x = 0 du polynôme (1) de degré k tel que Pk(xt) = yt

pour i = «, ..., w + &. r£n) peut être calculé à l'aide de la formule de Neville- Aitken, d'où l'algorithme d'extrapolation polynomiale généralisée :

Tl$=yn Vu

r(B)

_[<p(*

) <m\Tf*

Si { xft } est une suite strictement décroissante d'abscisses positives telles que lim xk — 0, Laurent a montré qu'une condition nécessaire et suffisante pour

fc->oo

que, pour toute suite convergente {yk } on ait : lim r£n) = lim yk V n

k-*-co fc-*co

est qu'il existe a > 1 tel que :

<p(0) —

Cette condition est dite condition (a). Si cp admet un développement limité de Taylor au voisinage de zéro alors une condition nécessaire pour que la condition (a) soit vérifiée est que lim ^ ^ ^ 1. Cette condition, on le voit,

/c-*oo Xk

rejette les choix xt = 1/Log / et xx = 1/z.

Donnons maintenant une condition d'accélération delarconvergence. Le résultat obtenu est une généralisation d'un théorème de Germain-Bonne [2] que l'on retrouve en prenant cp(x) = x et k = 0.

Théorème : Supposons que la condition (a) soit vérifiée, alors une condi- tion nécessaire et suffisante pour que { T^lx } converge vers & plus vite que { Tkn) } est que :

démonstration : Si { T ^ } converge vers S plus vite que { T£B) } alors

= 0 = lim

Revue Française d'Automatique, Informatique et Recherche Opérationnelle

or VA: > 0 x^n+k+1 < xⁿ⁺¹ donc puisque 9 est strictement croissante

<?(x^n+k+1) < <p(*.+ i) et par conséquent :

(Q) v j f c H m

„_«, <p(*B) — 9(0)

ce qui démontre la condition nécessaire. Réciproquement, si la condition du théorème est vérifiée, alors { T^l x } converge vers S plus vite que { 7^n)} .

REMARQUES :

1° Si les abscisses xn sont choisies de sorte que

9{Xn+1} _ ? (0) = ^ " ^ ^ V n

on voit immédiatement que la condition nécessaire et suffisante précédente devient

lim ^ — = - 4 T V k S* 0

Pour k = 0 et q>(0) = x , { T[n)} converge plus vite que { 7$B)} en pre- nant x„ = A7$B) ce qui n'est autre que le choix fait par Germain-Bonne [2],

2° Soit y(x) la fonction à extrapoler en zéro. Le problème est de choisir une fonction 9 qui donnera de bons résultats. Si y(x) # xet y(x) possèdent des développements limités de Taylor au voisinage de zéro, alors on compose sim- plement deux développements limités. L'extrapolation à l'aide de <p(x) ^ x peut cependant donner de meilleurs résultats ou être plus stable. Si y(x) ne possède pas de développement limité de Taylor au voisinage de zéro, alors une extrapolation à l'aide d'une fonction 9, qui en possède un, a peu de chance d'être intéressante. Il peut alors être utile de prendre une fonction 9 ne pos- sédant pas de développement limité de Taylor au voisinage de zéro. Dans tous les cas pour choisir une fonction 9 déterminée, il faut avoir des raisons théo- riques de le faire. Nous en verrons plus loin une application à la résolution de ƒ ( * ) = 0 .

Extrapolation rationnelle

Dans ce paragraphe, nous donnons un algorithme d'extrapolation ration- nelle généralisée. L'ensemble des fonctions pour lesquelles il donne la limite exacte en zéro, contient l'ensemble des fonctions pour lesquelles l'algorithme précédent est exact. Cet algorithme est donc plus précis que le précédent, ce qui ne veut cependant pas dire que les résultats qu'il donne sont meilleurs. Ce

n° R-l, 1972.

6 4 C. BREZINSKI

nouvel algorithme est basé sur l'extrapolation par des fractions rationnelles de la forme :

(2)

Appelons p ^ la valeur en zéro de la fraction rationnelle (2) de degré k telle que Rk(x^ — yi pour i = n9 ..., rc + 2k obtenue par la méthode d'inter- polation de Thiele. On a :

1 («) _ on-n r 9(x»+fc+i) — 9(0) <?(*») — 9(°)

P*+i — Pfc-i -r — 7-777 r r -_

Application à /(x) = 0

Nous allons appliquer les deux algorithmes prédécents à la résolution de x = F(x) où F est une fonction réelle de la variable réelle x.

Remarquons d'abord que tout ce qui vient d'être dit reste valable si 9 est une fonction strictement décroissante de x. Posons /(x) — x — F(x). Si la racine S est simple, ƒ est strictement monotone au voisinage de S, De pius, si /(x) possède un développement-limité de^Taylor au voisinage de S par rapport à x, alors x en possède un par rapport à/(x). Il est donc justifié de remplacer x par un polynôme en/(x) au voisinage de S; ce qui revient à prendre <p(x) =f(x) et à extrapoler en x = S. On obtient ainsi de nombreux algorithmes de réso- lution de /(x) = 0 [dans la suite nous appelerons itérations de base, les itéra- tions xⁿ⁺¹ = F(xⁿ)].

1° Extrapolation linéaire des itérations de base

Xn+i + F(Xn+l) Xn 2 Xn + 1 + Xn+2

On reconnaît le procédé A2 d'Aitken. Le théorème nous donne une condi- tion nécessaire et suffisante pour que { T{n) } converge plus vite que { xn }. On doit avoir :

= lim * " - " ~J% * » + ')= lim donc { T *1II)} peut converger plus vite que { xn }.

Revue Française d*Automatique, Informatique et Recherche Opérationnelle

2° Méthode de Steffensen.

L'extrapolation linéaire précédente s'écrit encore :

r ( n ) = [s, - F(xn)]F(xn) - [F(xn) - F(F(xn))]xn

xn-2F(xn) + F(F(xn)) xn-F(F(xn))-[F(xn)f

xn-2F(xn) + F(F(x„))

Si nous prenons xn+1 = T[n) on retrouve la méthode de Steffensen qui est d'ordre deux.

3° Cette troisième possibilité d'utilisation consiste à laisser se continuer les itérations de base comme pour la première méthode mais à effectuer des extra- polations non plus linéaires sur les itérations de base mais de degré de plus en plus élevé :

x0 donné xk+1 — F(xk) k ^ 0 T(on)=xn V «

j £ ) _ [*» - F(xⁿ))Ti^n+1}- [x^{n+k+ x} - F(

Xn n+k+l

Axn — Axn+k+1

4° Extrapolation de degré k des itérations de base.

Au lieu de prendre deux itérés de base et faire une extrapolation linéaire comme dans la première méthode, on peut prendre k + 1 itérés de base et effectuer une extrapolation par des polynômes généralisés de degré k. On con- sidère donc la suite { j£n) } obtenue à partir des itérations de base.

5° On peut faire comme dans la seconde méthode mais avec des poly- nômes de degré k. Cela revient donc à poser xn+l = Tin\

6° Reprenons la première méthode et posons xn+2 = T["y on retrouve régula falsi :

_ ƒ(*») » xn+ 1 — ƒ(*» + l) ' Xn

-*-M + 2 — T? \ T? \

7° On peut faire la même chose que dans la méthode 6 mais en prenant

xn+k+i = Tkn) » Tln) &a n t obtenu à partir de k + 1 points initiaux au lieu de deux.

8° x0 et x1 étant donnés, on calcule T\0) et on prend x2 = T[°\ puis sur ces trois valeurs, on calcule x3 = T£0) et ainsi de suite.

n° R-ï, 1972.

66 C. BREZÏNSKI

On obtient évidemment les huit algorithmes correspondants en utilisant une extrapolation rationnelle généralisée avec cp(jc) = /(x).

Donnons par exemple les résultats numériques des méthodes 1 et 8 appli- quées à x = e~* avec x0 = 0. On obtient :

Méthode 1 Extrapolation polynomiale

0,6I2699836780282039 0,567598911354 531636 Of 567201829372173711 0,567144303059276191 0,567143299954168291 0,567143290565629235

Extrapolation rationnelle 1,00000000000000000 0,565828727712364331 0,567441606777643165 0,567142450175753599 0,567143344665007396 0,567143290387723216

Méthode 8 Extrapolation polynomiaîe

0,612699836780282039 0,567069643303389589 07567I4329836578100T 0,5Ó7143290409783855 0,567143290409783868

Extrapolation rationnelle 1,00000000000000000 0,565828727712364331 0,56714437521*090025 0,567143290409793653 0,567143290409783873 Pour les itérations de base, la trentième à 6 chiffres exacts.

Je tiens à remercier M. le Professeur P. J. Laurent pour ses suggestions concernant ce travail.

BIBLIOGRAPHIE

[1] C. BREZINSKI, Méthodes d'accélération de la convergence en analyse numérique.

Thèse, Grenoble, 1971.

[2] B. GERMAIN-BONNE, Accélération de la convergence d'une suite par extrapolation, Colloque d'Analyse Numérique d'Anglet, 1971.

[3] P. J. LAURENT, Étude de procédés d'extrapolation en analyse numérique. Thèse, Grenoble, 1964.

Revue Française d* Automatique, Informatique et Recherche Opérationnelle n° R-l, 1972.