Second degré – Feuille d’exercices
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Définitions
Exercice 1 :
a) Dans chacun des cas, écrire le trinôme sous la forme et préciser les valeurs de 𝑎, 𝑏 et 𝑐 :
1) 3) 5)
2) 4) 6)
b) Vérifier que le nombre 𝛼 est une racine des trinômes suivants :
1) avec 𝛼 = 1 3) avec 𝛼 =()
2) avec 𝛼 = −1 4) avec 𝛼 = 1 − √2
Exercice 2 : compléter les identités suivantes afin de faire apparaître une identité remarquable :
1) 3) 5)
2) 4) 6)
Exercice 3 : dans chacun des cas suivants, déterminer mentalement les valeurs des nombres réels et .
1) 3)
2) 4)
Forme canonique
Exercice 4 : soient 𝑓 et 𝑔 les fonctions polynômes du second degré définies sur IR par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥(− 12𝑥 + 22 et 𝑔(𝑥) = −2𝑥(+ 8𝑥 − 2
Déterminer les formes canoniques de 𝑓 et 𝑔.
Exercice A : détermination de formes canoniques.
Déterminer les formes canoniques des polynômes du 2nd degré suivants : 𝐴 = 𝑥(+ 6𝑥 + 1
𝐵 = −2𝑥( + 10𝑥 𝐶 = 3𝑥(− 9𝑥 − 15 𝐷 = (6 − 2𝑥)(
c bx ax2 + + x
x 3
2
1- 2 + 3x2-5+2x (7x+2)2-(1-5x)2 2 2
5+ x ÷
ø ç ö
è
æ +
- 2
2 3 5
3 2
x
x -3(2x-x2 -1)
5 3 2x2 + x-
3 1 6
2-7x+ x
11 4
7x2- x- -x2+x+2- 2
2 2-14x+...=(x-...)
x x2+10x+...=(x+...)2 +3 2x2 -4x+2=...(x-...)2
2 2-...x+9=(x-...)
x 9x2+...x+1=(...x+...)2 50x2+60x+19=...(5x+...)2 +...
) )(
2 ( 14
2-9x+ = x- x-a
x 3x2 -3x-6=b(x-2)(x+a)
) )(
3 ( 6 8
2x2- x+ =b x- x-a 2 (2 )( 4)
2
2 - 9x+ =b x+a x-
x
Exercice 5 : voici la courbe représentative d’une fonction polynôme 𝑓 de degré 2.
a) Déterminer la forme canonique de 𝑓.
Expliquer la démarche.
b) Déterminer la forme factorisée de 𝑓.
Expliquer la démarche.
c) En déduire la forme développée de 𝑓.
Exercice 6 : dans chacun des cas suivants, proposer une fonction trinôme admettant le tableau de variations proposé. On donnera les formes canoniques et factorisées (si elle existe) de cette fonction.
Extremum et variations
Exercice 7 : on considère les fonctions f et g définies sur IR par : et . Dresser le tableau des variations des fonctions f et g.
Courbes
Exercice 8 : les paraboles représentées ci-dessous sont les représentations graphiques des fonctions où avec i prenant les valeurs 1, 2, 3 et 4.
1) Quel est le signe des discriminants des fonctions trinômes ? Justifier la réponse.
2) Ranger les nombres par ordre croissant.
3) Ranger les nombres par ordre croissant.
4) Ranger les nombres par ordre croissant.
5) Quels sont les signes des nombres ?
Exercice 9 : soit 𝑓 un polynôme du 2nd degré défini sur ℝ par : f(x) = x(-2x + 7 a) Montrer que f(0) = f(2).
b) En déduire les coordonnées de l’extremum de la courbe représentative de 𝑓.
c) Sans calculer, que peut-on dire de f(-3) et f(5) ?
5 3 )
(x =-x2+ x-
f g(x)=2x2 -6x+1
i i i
i x a x bx c
f ( )= 2+ + ai ¹0
ci
i i
i a
q b -2
= ai
bi
P1
P2
P3
P4
Exercice B : courbes et variations
La parabole ci-contre est dessinée dans un repère dont les vecteurs de base n’ont pas été représentés.
Retrouver, en justifiant la réponse, l’équation de cette parabole parmi les équations proposées.
1) 4) 7)
2) 5) 8)
3) 6) 9)
Racines et factorisation
Exercice 10 : résoudre dans ℝ les équations suivantes :
1) 5)
2) 6)
3) 7)
4) 8)
Exercice 11 : résoudre dans ℝ les équations suivantes :
1) 2) 3)
Exercice 12 : factoriser les trinômes suivants :
1) 2) 3)
Exercice 13 : somme et produit de racines
Considérons un polynôme 𝑓 du 2nd degré de la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥(+ 𝑏𝑥 + 𝑐 (avec 𝑎 ≠ 0) dont le discriminant ∆ est strictement positif. Appelons 𝑥E et 𝑥( ses deux racines.
a) Rappeler l’expression de ces 2 racines 𝑥E et 𝑥( en fonction de 𝑎, 𝑏 et ∆. b) Somme : montrer que 𝑥E+ 𝑥( = −GH.
c) Produit : que vaut le produit 𝑥E× 𝑥( ?
On pourra penser à l’identité remarquable (𝑢 − 𝑣)(𝑢 + 𝑣) = 𝑢(− 𝑣(.
Problèmes
Exercice 14 : on considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥( + 𝑏𝑥 + 𝑐, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont des nombres réels. On note 𝐶L la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé.
1) Déterminer les nombres réels 𝑎, 𝑏 et 𝑐 tels que 𝐶L coupe :
• L’axe des ordonnées au point 𝐴 d’ordonnée 6 ;
• L’axe des abscisses au point 𝐵 d’abscisse 2 ;
• La droite d’équation 𝑦 = 𝑥 au point 𝑃 d’abscisse 1.
5
2-4 +
-
= x x
y y=x2-4x-5 y=-x2-4x-3 3
2 -2 -
= x x
y y=-x2-4x-5 y= x2 +4x-5 5
2+4 +
-
= x x
y y=-x2+4x-3 y=-x2-2x-5
0 12 2
2x2 - x- = 3x2+x 12+1=0 0
2 1
2 +5x+ =
x x2+2x 3-1=0
0
2+ +2=
-x x 2t2-3t+ 2=0
0 1 7 3 2 + + =
- x x 2(1-3u)=u2 -3(2u+1)
0 ) 3 2 )(
1 2
( x+ x2 - x+ = 0
2 1 3 2
+ = + + x
x
x (2x+1)(4x2 +4x-15)=0
2 5
12x2+ x- 4x2-20x+25 -3x2+4x+4
2) Construire la courbe 𝐶L.
3) Calculer les coordonnées du second point d’intersection de 𝐶L avec la droite d’équation 𝑦 = 𝑥.
Exercice 15 : on se place dans un repère orthogonal (𝑂; 𝐼, 𝐽).
Déterminer la fonction 𝑓 définie sur ℝ par𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥(+ 𝑏𝑥 + 𝑐, où a, b et c sont des nombres réels que l’on déterminera, dont la courbe représentative passe par les point 𝐴(2 ; 1), 𝐵(5 ; −8) et 𝐶(0 ; −3).
Exercice 16 : quelles sont les abscisses des points d’intersection des paraboles (𝑃) et (𝑃’) d’équations respectives 𝑦 = 4𝑥(+ 2𝑥 − 5 et 𝑦 = 6𝑥(− 5𝑥 − 15 ?
Exercice C : Modélisation
a) Un rectangle a pour périmètre 14 cm et pour aire 12 cm2. Quelles sont les dimensions de ce rectangle ?
b) On considère un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 37 cm et le périmètre 84 cm.
Peut-on retrouver les dimensions de ce triangle ?
c) Un rectangle a pour périmètre 34 cm et chacune de ses diagonales a pour longueur 13 cm.
Calculer les dimensions de ce rectangle.
Exercice 17 : on juxtapose deux carrés de côtés a et b (en centimètres) comme ci-contre.
Calculer a et b de telle sorte que le domaine coloré ait une aire de 218 cm2 et un périmètre de 66 cm.
Exercice 18 : on considère un segment [AB] de longueur 1 et un point M variant sur [AB]. On note . Le triangle AMP est équilatéral et MBQR est un carré.
1) On note H le milieu du segment [AP]. Calculer HM puis l’aire du triangle AMP.
2) Montrer que la somme des aires de AMP et MBQR est égale à .
3) La fonction S admet-elle un extremum ? Si oui, préciser sa nature, sa valeur et où placer M pour atteindre cet extremum.
Exercice 19 : 𝐴𝐵𝐶 est un triangle rectangle en 𝐴 tel que 𝐴𝐵 = 3 et𝐴𝐶 = 4. 𝑀 est un point du segment [𝐵𝐶], 𝑃 est le projeté orthogonal de 𝑀 sur le segment [𝐴𝐵] et 𝑄 est le projeté orthogonal de 𝑀 sur le segment [𝐴𝐶].
On appelle 𝑥 la longueur 𝐶𝑀 et 𝐴(𝑥) l’aire du rectangle 𝐴𝑃𝑀𝑄.
1) Exprimer la longueur 𝑀𝑄 en fonction de 𝑥.
2) Exprimer la longueur 𝐴𝑄 en fonction de 𝑥.
3) En déduire que 𝐴(𝑐) s’écrit sous la forme 𝐴(𝑥) = −E((Y𝑥(+E(Y 𝑥 4) Quelle est l’aire maximale du rectangle 𝐴𝑃𝑀𝑄 ?
x AM =
) (x
S 2 1
4 4 ) 3
( + 2- +
= x x
x S
A M B
H P
R Q
a b
R R − 3 Exercice D : 2nd degré et géométrie
ABCD est un rectangle tel que et .
Les points E, F, G et H sont placés respectivement sur les segments [AB], [BC], [CD] et [DA] de telle sorte que .
1) Démontrer que le quadrilatère EFGH est un parallélogramme.
2) On désigne par l’aire du quadrilatère EFGH.
a) Dans quel intervalle varie le nombre x ? b) Montrer que
3) L’aire du parallélogramme EFGH peut-elle être égale à la moitié de celle du rectangle ABCD ? au quart de celle
de l’aire du rectangle ABCD ? Si oui, pour quelles valeurs de x ?
4) Pour quelle valeur de x l’aire du parallélogramme EFGH est-elle minimale ?
En route vers le Grand Oral :
Exercice E : polynôme électrique
On rappelle qu’en courant continu, à partir de deux résistors de résistances respectives R1 et R2, on obtient une résistance équivalente r dans une association en parallèle qui vérifient : .
Deux résistors de résistances respectives ohms et ohms sont montées en parallèle. On veut déterminer une valeur approchée à près de R pour que la résistance équivalente soit de ohms.
1) Montrer que R vérifie la relation .
2) En déduire que R vérifie l’équation puis répondre au problème.
Maths C Qui ? #3 : le second degré d’Al-Khwarizmi
=16
AB BC=12 x
DH CG BF
AE = = = =
) (x A
192 28
2 )
(x = x2 - x+ A
2 1
1 1 1
R R r = + R (R-3)
10-2 4
4 1 3
3 2
2 =
- -
R R
R
0 12
2 -11R+ =
R
Exercices supplémentaires
Exercice 𝜶 : équation du 2nd degré avec paramètre Soit 𝑚 ∈ ℝ. On considère l’équation suivante :
(𝑚 − 1)𝑥(− 4𝑚𝑥 + 4𝑚 − 1 = 0 1) Pour quelles valeurs de 𝑚 cette équation est-elle du second degré ? 2) On suppose que 𝑚 ≠ 1. Pour quelles valeurs de 𝑚 l’équation admet-elle :
a) Une unique solution réelle ? b) Deux solutions réelles distinctes ? Exercice 𝜷 :
1) Compléter l’algorithme Python ci-dessous qui détermine le nombre de solutions d’une équation du 2nd degré du type 𝑎𝑥(+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
2) Modifier cet algorithme pour qu’il donne les solutions éventuelles de 𝑎𝑥(+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
