Equations - Inéquations

Equations - Inéquations

I) Equation du premier degré à une inconnue:

a) Equation : Définition :

On appelle équation toute égalité dans laquelle un nombre inconnu est remplacée par une lettre appelée inconnue.

Exemple:

4x² + 2 = 3x + 1 est une équation mathématique d’inconnue x.

Vocabulaire :

• Membre de gauche d’une équation ( ou premier membre ) : Expression située à gauche du signe « = » de l’équation.

• Membre de droite d’une équation ( ousecond membre ) : Expression située à droite du signe « = » de l’équation.

Par exemple, dans l’équation précédente, 4x² + 2 est le membre de gauche ( ou premier membre ) et 3x + 1 est le membre de droite ( ou second membre ).

b) Equation du premier degré à une inconnue : Définition :

Une équation est dite du premier degré à une inconnue x lorsqu’elle peut s’écrire sous la forme ax + b = cx + d où a, b, c et d sont des nombres donnés avec a différent de c.

Exemple :

7x + 5 = 2x + 4 est une équation du premier degré à une inconnue x.

c) Tester si une valeur est une solution d’une équation :

On dit qu’un nombre a est solution d’une équation, si en remplaçant l’inconnue x par a, l’égalité obtenue est vraie.

Exemple :

Soit 3x + 2 = 2x + 5 (E) une équation donnée.

Tester si les nombres x = 2 et x = 3 vérifient cette équation.

Cas où x = 2 :

Membre de gauche Membre de droite

3x + 2 = 3 × 2 + 2 3x + 2 = 6 + 2

3x + 2 = 8

2x + 5 = 2 × 2 + 5 2x + 5 = 4 + 5

2x + 5 = 9

Comme 8 est différent de 9, on en déduit que le nombre 2 n’est pas solution de l’équation 3x + 2 = 2x + 5

Cas où x = 3 :

Membre de gauche Membre de droite

3x + 2 = 3 × 3 + 2 3x + 2 = 9 + 2

3x + 2 = 11

2x + 5 = 2 × 3 + 5 2x + 5 = 6 + 5

2x + 5 = 11

Comme 11 est égal à 11, on en déduit que le nombre 3 est solution de l’équation 3x + 2 = 2x + 5

c) Résolution d’une équation du premier degré à une inconnue :

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue c’est trouver la valeur de x qui rend l’égalité vraie.

Pour cela, on dispose de plusieurs outils :

Règle n°1 : une égalité ne change pas si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres.

Règle n°2 : une égalité ne change pas si on multiplie ou si on divise par un même nombre non nul ses deux membres.

Exemple :

Résoudre l’équation 5x – 4 = 3x + 2.

D’après la définition, il s’agit d’une équation du premier degré à une inconnue que l’on va résoudre en appliquant les deux règles précédentes.

5x – 4 = 3x + 2

5x – 3x – 4 = 3x + 2 – 3x On soustrait 3x à chaque membre( règle 1 ) 2x – 4 = 2 On réduit les deux membres

2x – 4 + 4 = 2 + 4 On ajoute 4 à chaque membre( règle 1 ) 2x = 6 On réduit les deux membres

=

Conclusion : 3 est la solution de l’équation 5x – 4 = 3x + 2.

d) Mise en équation d’un problème :

Exemple : Trouver un nombre tel que son triple diminué de 4 soit égal à son double augmenté de 7.

Voici le plan de rédaction à appliquer :

1) Choix de l’inconnue :

Dans cette partie, on désigne l’inconnue que l’on choisie.

Notons x le nombre cherché.

2) Mise en équation du problème :

Dans cette partie, on écrit l’équation qui va nous permettre de trouver la solution du problème, en utilisant les données de l’énoncé.

3x – 4 = 2x + 7

3) Résolution de l’équation :

Dans cette partie, on résout l’équation déterminée au 2)

3x – 4 = 2x + 7

3x – 2x – 4 = 2x + 7 – 2x x – 4 = 7

x – 4 + 4 = 7 + 4 x = 11

4) Réponse :

Dans cette partie, on répond à la question posée.

Le nombre cherché est 11.

II) Inéquation du premier degré à une inconnue : a) Inéquation :

Définition :

On appelle inéquation toute inégalité dans laquelle un nombre inconnu est remplacée par une lettre appelée inconnue.

Exemple :

5x + 7 < 3x + 2 est une inéquation mathématique d’inconnue x.

b) Sens d’une inéquation :

Les différents sens d’une inéquation sont :

< : se lit « strictement inférieur à », par exemple 3 < 4.

> : se lit « strictement supérieur à », par exemple 5 > 2.

≤ : se lit « inférieur ou égal à », par exemple 8 ≤ 9.

≥ : se lit « supérieur ou égal à », par exemple 7 ≥ 1.

c) Inéquation du premier degré à une inconnue : Définition :

Une inéquation est dite du premier degré à une inconnue x lorsqu’elle peut s’écrire sous la forme ax + b < cx + d , ax + b > cx + d ,

ax + b ≤ cx + d , ax + b ≥ cx + d où a, b, c et d sont des nombres donnés avec a différent de c.

Exemple :

3x – 2 ≤ 5x + 3 est une inéquation du premier degré à une inconnue x.

d) Tester si une valeur est une solution d’une inéquation :

On dit qu’un nombre a est solution d’une inéquation, si en remplaçant l’inconnue x par a, l’inégalité obtenue est vraie.

Exemple :

Soit 3x + 2 < 2x + 5 (E) une inéquation donnée.

Tester si les nombres x = 1 et x = 4 vérifient cette inéquation.

Cas où x = 1 :

Membre de gauche Membre de droite

3x + 2 = 3 × 1 + 2 3x + 2 = 3 + 2

3x + 2 = 5

2x + 5 = 2 × 1 + 5 2x + 5 = 2 + 5

2x + 5 = 7 Comme 5 est inférieur à7, on en déduit que le nombre 1est

solution de l’inéquation 3x + 2 < 2x + 5

Cas où x = 4 :

Membre de gauche Membre de droite

3x + 2 = 3 × 4 + 2 3x + 2 = 12 + 2

3x + 2 = 14

2x + 5 = 2 × 4 + 5 2x + 5 = 8 + 5

2x + 5 = 13 Comme 14 est supérieur à 13, on en déduit que le nombre 4

n’est pas solution de l’inéquation 3x + 2 < 2x + 5

e) Résolution d’une inéquation :

Résoudre une inéquation du premier degré à une inconnue c’est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l’inégalité vraie.

Pour cela, on dispose de plusieurs outils :

Règle n°1 : une inégalité ne change pas si on ajoute ou si on soustrait un même nombre à ses deux membres.

Règle n°2 : on ne change pas le sens d’une inégalité si on multiplie ou si on divise par un même nombre non nul ET positif ses deux membres.

Règle n°3 : on change le sens d’une inégalité si on multiplie ou si on divise par un même nombre non nul ET négatif ses deux membres.

Exemple n°1 :

Résoudre l’inéquation 4x + 5 ≥ x + 14.

D’après la définition, il s’agit d’une inéquation du premier degré à une inconnue que l’on va résoudre en appliquant les règles précédentes.

4x + 5 ≥ x + 14

4x – x + 5 ≥ x + 14 – x On soustrait x à chaque membre( règle 1 ) 3x + 5 ≥ 14 On réduit les deux membres

3x + 5 – 5 ≥ 14 – 5 On soustrait 5 à chaque membre( règle 1 ) 3x ≥ 9 On réduit les deux membres

≥

Conclusion : Les solutions de l’inéquation 4x + 5 ≥ x + 14 sont tous les nombres supérieurs ou égaux à 3.

Exemple n°2 :

Résoudre l’inéquation -2x + 1 < 9.

D’après la définition, il s’agit d’une inéquation du premier degré à une inconnue que l’on va résoudre en appliquant les règles précédentes.

-2x + 1 < 9

-2x + 1 – 1 < 9 – 1 On soustrait 1 à chaque membre( règle 1 ) -2x < 8 On réduit les deux membres

>

Conclusion : Les solutions de l’inéquation -2x + 1 < 9 sont tous les nombres strictement supérieurs à - 4.

f) Représentation graphique des solutions d’une inéquation :

On représente les solutions d’une inéquation sur une droite graduée : Exemple n°1 :

Les nombres inférieurs ou égaux à -3 sont coloriés en rouge sur cette droite graduée.

Exemple n°2:

Les nombres strictement supérieurs à 1 sont coloriés en rouge sur cette droite graduée.