LES NOMBRES COMPLEXES

(1)

L'Histoire des nombres complexes commence en pleine renaissance Italienne avec Giralomo Cardano (1505-1576) plus connu sous le nom de Jérôme Cardan et Nicolo Tartaglia ( vers 1500-1557) qui s'opposèrent dans des défis "algébriques" entremêlés de contre verses sordides (accusations de vols de formules, plagiat, etc.), sans oublier Scipione Del ferro, Antonio Maria fior et Ludovici Ferrari qui dans cette affaire, ne jouèrent pas les simples "porteurs d'eau".

En tout état de cause, Cardan publie en 1547 une formule, appelé formule de CARDAN qui donne une solution de l'équation x³ = px + q

I Découverte des nombres complexes Voici ce que publia Cardan en 1547

" une solution de l'équation x³ = px + q est x = + "

1) Soit l'équation x³ = 1 , vérifier les résultats donnés par la formule de Cardan

2) Soit l'équation x³ = 2x + 4, à l'aide de la formule de Cardan trouver une solution de l'équation et en déduire toutes les solutions.

3) On considère maintenant l'équation x³ = 15x + 4, justifier que la formule de Cardan ne peut pas s'appliquer.

Enthousiasmés par cette formule, et frappés d'un amour irraisonné des mathématiques vous décidez de l'appliquer malgré tout…..

Donner la "solution" de l'équation.

Puis vous vient la brillante idée " considérons un nombre imaginaire tel que () ² = -1 et montrons que (2 + ) ³ = 2 + 11 et ( 2 - ) ³ = 2 - 11 "

rappel : (a +b)³ = a³ + 3a²b +3ab² + b³

Déduire alors une solution de l'équation x³ = 15x + 4 et vérifier le résultat.

Stepec Page 1 sur 8 tempfile_862.doc

(2)

" Vous venez de faire la même découverte qu'un célèbre mathématicien Rafaël Bombelli fit au XVI^ième siècle, il utilisa ces nombre imaginaires (car ils ne peuvent pas être réels) pour résoudre des équations."

4) On sait que = lorsque a et b sont 2 réels positifs, appliquer cette propriété à et montrer que cela contredit la définition même de ce nombre!!!!

" C'est pour cette contradiction que l'usage de ces nombres imaginaires fut l'objet de très nombreux débats mathématiques, il a fallu deux siècles pour que l'on adopte la théorie des nombres complexes et c'est Euler qui en 1770 adopte la notation i = ( i comme imaginaire qui est le principal élément de la théorie des nombres complexe). "

II

Les nombres complexes

1) Ensemble des nombres complexes

Définition: On appelle corps des nombres complexes l'ensemble noté CI tel que:

CI contient l'ensemble des nombres réels IR

L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calculs sont les mêmes.

Il existe un nombre complexe noté i tel que i²= -1

Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique z = a + ib , avec a et b réels cette écriture est appelée forme algébrique.

a est la partie réelle de z on note : Re(z) = a b est la partie imaginaire de z on note : Im(z)= b

corps: un corps est un ensemble dans lequel il est possible d'effectuer des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions.

Exemple:

z = 3-5i a pour partie imaginaire et pour partie réelle

z = 4 a pour partie imaginaire et pour partie réelle c'est un réel ( IR  CI ) z = 2i a pour partie imaginaire et pour partie réelle c'est un imaginaire pur Remarque: les partie réelles et imaginaires sont des nombres réels.

Propriété: Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si, ils ont même partie imaginaire et même partie réelle.

a + ib = a' + ib'  a = a' et b = b'

exemple: Les nombres complexes suivants sont-ils égaux ? ..commencez par donner la forme algébrique z1= 9 +4i - + et z2 = -10 +5i + -

2) Représentation géométrique

(3)

" …De même que l'on peut représenter tout le domaine des réels par une ligne droite, de même on peut se figurer les réels et les imaginaires au moyen d'un plan où chaque point, déterminé par son abscisse a et son ordonné b ,représente le nombre complexe z = a + ib… "

Gauss en 1811

3) Règles de calculs dans CI

Règles de calcul: L'addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes et les règles de calcul restent les mêmes.

i x i = -1 donc i² = -1 z + z' =

zz' =

(z + iz')( z - iz') = (a + ib )(a – ib ) =

exemple:

(1 + 3i) + (-3 + 2i) = (4 + i)(-5 + 3i) =

Exemple:

= =

Exercices: 1, 3, 4, 6, 7 p333

4) Affixe d'un vecteur, affixe d'un barycentre

Dans le plan complexe on associe au vecteur (a;b) le nombre complexe z = a + ib appelé affixe de Remarque Si et ont pour affixes z et z', alors l'affixe du vecteur + est z + z'.

M(a +ib) b

a Axe Réel Axe imaginaire

Définition: A tout nombre complexe z = a +ib où a et b sont des pur

réels on associe le point M (a;b) appelé point image de z, on note également M (z).

Réciproquement, à tout point M (a; b), on associe le nombre complexe z = a + ib appelé affixe de M.

Le plan est alors appelé plan complexe

Module: La distance OM est appelée module de z , on note z= OM

z=

M₁(z+z')

M(z) M'(z')

Propriété: Tout nombre complexe non nul z admet un inverse

M₁(z+z')

M(z) M'(z')

(4)

Propriétés: Soit 2 points du plan complexe A et B d'affixes respectives zA et zB

L'affixe du vecteur est zB- zA

L'affixe du barycentre G des points pondérés (A,) et (B,) avec +  0 est zG =

Démon.:

III

Conjugué d'un nombre complexe

1) Définition: Le conjugué d'un nombre complexe z = a + ib , a et b réels, est le nombre = a – ib Exemple: z = 3 -2i alors = z = -2 alors = z = 4i alors =

2) Interprétation géométrique

Conséquences: z = z'  = ' z = z

z + = 2 Re(z) z - = 2i Im(z)

z réel  z = z imaginaire pur  z + =0 Relation fondamentale: z = z²

3) Opérations sur les nombres conjugués

Théorème: z +z' = z + z' - z = - z z z' = z z ' zⁿ = z ⁿ

= = (z' 0)

Démon.: = + ' et =

Exercices: 9, 11, 12, 13, 14, 15 p333 IV

Forme trigonométrique 1) Définition

Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O;,).

Soit M un point de coordonnées (a ; b) et z = a + ib l'affixe de M.

Si M est distinct de  O alors M possède également des coordonnées polaire (r ; ) tel que:

M(z)

M' ()

M(z )) r

a b

 O );

);

v)

Soit M un point du plan complexe d'affixe z alors le point M' d'affixe est le symétrique de M par rapport à l'axe des abscisses.

(5)

r = OM = et  = ( , \s\up8((() [2]

On en déduit: a = r cos  et b = r sin 

Si z est l'affixe de M, z = a + ib = rcos + i rsin = r (cos + i sin ) Définition: Soit z est un nombre complexe non nul.

On appelle forme trigonométrique l'écriture z = r(cos + isin ), avec r =z  et arg(z)=  [2]

L'argument de z noté arg(z) est n'importe qu'elle mesure exprimée en radians de l'angle orienté (; )

Conséquences: arg() = - arg(z) arg(- z) = arg(z) +  2) Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique

Si on connaît r et  alors a = r cos () et b = r sin ()

Si on connaît a et b alors r = z = et cos() = et sin () =

Remarque: Si les cosinus et les sinus ne sont pas des valeurs remarquables, on utilise la calculatrice pour trouver . Ainsi, cos ^-1 ( ) donne la valeur absolue de  et le sin( ) nous permet de déterminer le signe de 

Exemple: Déterminer le module et l'argument de z1 = 5 + 8i et z2 = -3+3i

Propriété:

 Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si ils ont même module et même argument à un multiple de 2 près.

 Si z = r (cos + isin ) avec r > 0 alors r =z  et  = arg(z) Démon.:

Exercices:22, 23, 24, 26 p 334 V

Propriétés des modules et des arguments

1) Module et argument du conjugué et de l'opposé

2) Module et argument d'un produit

M(z)

M' () M''(-z)

Théorème: Pour tout nombres complexes non nuls z

=z et arg() = - arg z

- z=z et arg(- z) = arg z + 

(6)

Théorème: Pour tout nombres complexes non nuls z et z'

zz'=z^xz' et arg(zz') = arg z +arg z' (mod 2) ROC Démon.

Conséquences: zⁿ= zⁿ et arg(zⁿ ) = n arg z

Formule de Moivre (admise): [r(cos + isin )]ⁿ = rⁿ(cos(n) + isin(n) ) 3) Module et argument d'un quotient

Théorème: Pour tout nombres complexes non nuls z et z'

= et arg() = arg z - arg z' (mod 2) Démon.:

4) Module d'une somme

Exercices: 28, 29, 30, 32 p 334 VI

Forme exponentielle 1) Notation exponentielle

Soit f la fonction définie sur IR et à valeurs dans CI par f( ) = cos+ i sin.

La fonction f vérifie: f( +  ') = f() f(') et f'() = i f() ainsi par analogie avec la définition de la fonction exponentielle on adopte l'écriture suivante:

Définition: Pour tout réel  , on pose

e

^i = cos + i sin

Ainsi pour tout nombre complexe non nul d'argument  on peut écrire

M₁(z+z')

M(z) M'(z')

z'

z

Théorème: Pour tout nombres complexes z et z'

z + z'  z+z' (inégalité triangulaire)

(7)

z = z(cos  + i sin ) = z

e

^i ou encore z = r

e

^i

2) Forme exponentielle

Définition: L'écriture sous forme exponentielle d'un nombre complexe est z = r

e

^i

 est l'argument de z et r le module de z

3) Règles de calculs sur les formes exponentielles

On déduit les propriétés suivantes d'après les théorèmes établis en V) Propriétés: r

e

^i x r'

e

^i' = r r'

e

^i(+') =

e

^{i( - ')}

(r

e

^i)ⁿ = rⁿ

e

^in = r

e

^{- i}

On déduit les formules suivantes en utilisant

e

^i = cos + i sin et

e

^{- i} = cos - i sin

Formule de Moivre:Pour tout réel  et tout entier naturel r (cos + i sin)ⁿ = cos(n) + i sin(n)

(

cos - i sin)ⁿ = cos(n) - i si(n) Formules d'Euler: Pour tout réel

cos  = sin  =

exercices: 34, 36, 38, 39 p335 VII

Equation du second degré à coefficients réels 1) Racines carrés dans CI d'un nombre réel Définition: Soit a un nombre réel.

Les solutions dans CI de l'équation z² = a sont appelées racines carrées de a dans CI . Si a > 0 alors les racines carrées sont et –

Si a < 0 alors les racines carrées sont i et –i

Exemple: Résoudre z² = -3

2) Résolution de l'équation générale du second degré

Théorème: On considère l’équation : az²+bz+c = 0 avec a, b et c trois réels et a 0.

le discriminant de l’équation est : Δ = b²− 4ac.

Si Δ > 0, l’équation a deux solutions réelles distinctes, z¹et z2: z1= z2=

Si Δ = 0, l’équation a une racine double :z0= −

Si Δ < 0, l’équation a deux solutions complexes conjuguées : z1= z2 =

Remarque: Pour tout complexe z on peut écrire az²+ bz +c = a (z - z1)(z - z2)

(8)

ROC Démon.: Ecrire l'équation sous la forme canonique et résoudre comme en 1)

Exercices: 41, 42 p335, 43, 44 p336, 55 p337, 61p338, 73 p 339, 81p340, 84 p341, 106 p 344