El Amine
1
A
Représentation paramétrique d’une droite : Soit la droite ( , ) ( 0, 0, 0)
a A u avec A x y z et u b c
; une représentation paramétrique est
0 0 0
:
x a x
y b y IR
z c z
Exemple :
1
( , ) (1, 2, 1) 2
3 A u avec A et u
une représentation paramétrique est
1
: 2 2
3 1
x
y IR
z
Position relatives de deux droites : les droites
'
( , ) ' ( , ) ; '
'
a a
A u et B v avec u b v b
c c
sont :
coplanaires : c'est-à-dire dans le même plan, et dans ce cas :
ils sont parallèles : ( )
' ' '
a b c
u et v sont colinéaires u v
a b c
; et si
'
A alors ils sont confondues.
ils sont sécants : alors on cherche leurs points d’intersection.
non coplanaires : c’est à dire ne sont pas dans le même plan ( ni parallèles, ni sécants).
El Amine
2
A
B
Exemple :
1
1 2
( , ) (1, 2, 1) 2 ' ( , ) (0,1, 0) 1
3 3
2
A u avec A et u et B u avec B et u
on a : 1 2 3 2 2
1 1 3
2 2
donc u v
alors les droites sont parallèles
Distance d’un point à une droite : soit ( , )A u ; d B( , ) BA u
u
.
Exemple :
1
( , ) (1, 2, 1) 2
3 A u avec A et u
.
( , )
1 1
2 2 1 1 1 1
2 ; 2 ; (8) (2) (4)
1 3 1 3 2 2
1 3
8² ( 2)² 4² 2 21 ; 14 ( , ) 6
OA u d O
u
OA u OA u i j i i j k
OA u u
d O
Équation cartésienne d’un plan :
L’équation cartésienne d’un plan P est P : ax+by+cz+d=0. un vecteur normale de P est
a n b c
El Amine
3
A B C M
A B
C
1 1
( , , ) (1, 2, 1) , 2 1
3 1
P A u v avec A u et v
il s’agit de donner l’équation cartésienne de P : Première méthode :
M(x,y,z) un point de P signifie det
AM u v, ,
0
1 1 1 2 1 2 1 2 2det , , 2 2 1 ( 1) ( 1) 1
3 1 1 1 1 3
1 3 1
( 1)( 1) ( 2 1) (3 6 2 2) 4 3 10 0
x y y
AM u v y x
z z
z
x y z y z x y z
donc P :-x+4y-3z-10=0 Deuxième méthode :
un vecteur normal de P est : 2 1 1 1 1 1 4 3
3 1 3 1 2 1
n u v i j i i j k
donc P : -x+4y-3z+d=0 ; n u v A P alors -1+8+3+d=0 donc d=-10
ainsi P : -x+4y-3z-10=0.
Positions de deux plans :
soit P : ax+by+cz+d=0 et Q :a’x+b’y+c’z+d’=0 .
si n et nP Q sont colinéaires alors P//Q.
si n et nP Q ne sont pas colinéaires alors P et Q sont sécants selon dune droite : 0
' ' ' ' 0
ax by cz d a x b y c z d
.
Exemple :
El Amine
4
P :x+2y+z-2=0 et Q : -x-2y-z+5=0
1 1
2 2
1 1
P Q P Q
n et n alors n n
donc P//Q.
P :2x-y+3=0 et Q :2y+z-1=0
2 0
0 2
1 2
2 1
0 1
P Q
n et n
donc P et Q sont sécant et leur droite d’intersection est : : 2 3 0
2 1 0
x y y z
. Position d’une droite et d’un plan
soit ( , ) ( 0, 0, 0) a A u avec A x y z et u b c
et P : a’x+b’y+c’z+d=0,
' ' ' a n b c
.
si u et n sont orthogonaux alors //P.
si u et n ne sont pas orthogonaux alors coup P en un point.
Exemple :
1
( , ) (1, 2, 1) 2
3 A u avec A et u
et P :x+2y –z+1=0
1 2 1 n
; u n. 1 4 3 0
donc //P.
( , ) (1, 2, 1) 21
3 A u avec A et u
et P : x+y+z=0
1 1 1 n
u et n ne sont pas orthogonaux alors coup P en un point.
soit M(x,y,z) P. M donc
1
2 2
3 1
x
y IR
z
; et MP donc x+y+z=0
on a donc
El Amine
5
2 2 1 2
1 2 2 3 1 0 ' 1
3 1 2
0 5
2
y donc d ou y
z x y z z
d’où M 3,1, 5
2 2
Sphère :
La sphère de centre I et de rayon R est l’ensemble des point M de l’espace tel que IM=R
S I(x , y , z ), R : x x 0 0 0 02y y 02 z z02 R2
La sphère de diamètre [AB] est l’ensemble des points M de l’espace tel que
MA.MB0
Intersection sphère plan :
La section de la sphère de centre O et de rayon R par le plan P est le cercle :
- de centre H, H étant le point d’intersection du plan P et de la droite perpendiculaire à P passant par O,
- et de rayon r = R² - OH².
Cas particuliers :
Le plan passe par le centre de la sphère :
H et O sont confondus.
La section est un grand cercle ( O,R ).
1) OH = R : la sphère et le plan n’ont qu’un seul point A en commun. Le plan est tangent à la sphère au point A.
