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DOC 4MAMTHSS Page 1

Exercice 1

1) a - Résoudre dans , l’équation d’inconnue z suivante : z² - 2i z - 2 = 0 b - Mettre les solutions sous forme trigonométrique.

2) Soit l’équation (E) : z³ - 2(1+i)z² + 2(-1+2i)z + 4 = 0

a- Montrer que l’équation (E) admet une solution réelle z₀ que l’on précisera.

b- Résoudre alors l’équation (E).

3) Résoudre dans l’équation ( E_θ ) : z² - 2e^iθz +e^2iθ - 1 = 0 avec ^{θ ∈ π}

] [

4) Dans le plan P muni d’un repère orthonormé direct

(

)

uuur uuur

, on considère les points A, B et C d’affixes respectives z₁ =2e^iθ , z₂ = 1 + e^iθ et z₃ = - 1 + e^iθ

a - Montrer que le quadrilatère OBAC est un rectangle.

b - Déterminer le réel θ de 0 ; π pour que OBAC soit un carré.

Exercice2

Soit f la fonction définie sur [ 0, 1 ] par : f(x) = ²+1 -1 si x∈]0,1]

x

x et f(0) = 0.

1°/ Montrer que la fonction f est strictement croissante sur [0,1].

2°/ On considère la suite (u_n) définie par : u₀ = 1 et u_n+1 = f(u_n) pour tout n

∈ IN

a) Montrer que pour tout n

on a : u

=

1 n

1 n

u - 1

u 2

+ +

. b) Montrer que pour tout n

on a : 0 ≤ u

≤ 1 3°/ a) Vérifier que pour tout réel x

on a: f(x) 1

2 x

≤ b) Montrer alors que pour tout n

2 u 1 : a on

IN ≤

∈

.

c) En déduire que la suite (u

) est convergente et calculer sa limite.

Exercice 3

On donne dans un plan orienté un triangle ABC équilatéral de sens direct.

On désigne par (C) le cercle de centre A et passant par B et C.

1. Soit I le symétrique de B par rapport à (AC).

a)Montrer que I appartient à (C).Quelle est la nature du quadrilatère ABCI ? b) Soit R la rotation de centre I et d’angle

3

−π.Montrer que R(C)=A.

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c)Soit D l’image de A par R .Construire D et montrer que A est le milieu de [BD].

2. La parallèle ∆ à (AI) passant par D coupe (AC) en E.

a)Déterminer l’image par R de chacune des droites (AD) et (BC).

b) En déduire que R(B)=E.

3. Soit M un point de [BA) et M’ un point de [ED) tel que BM=EM’. Montrer que lorsque M varie sur [BA) la médiatrice de [MM’] passe par un point fixe que l’on précisera.

4. Soit f la rotation de centre A et d’angle 3

π,M est un point du plan d’image M’par R et M’’ l’image de M par f .

a)Montrer que pour tout point M du plan distinct de A et I on a :

(

)

(

) ^{[ ]}

3

≡ − π+ π

uuuuur uuuuur uuur uuuur

b) On suppose que MM’M’’ est un triangle rectangle en M de sens direct. Montrer que M varie sur un cercle à préciser