Le dipˆole RL

(1)

Le dipˆ ole RL

I. La bobine

La bobine est un dipôle constitué d’un enroulement serré de fil conducteur gainé dans un matériau isolant de faible épaisseur et de faible résistance.

Repr´esentation dans un montage :

pL, r^q

La bobine est diteid´ealesi sa r´esistance est nulle.

II. Relation entre intensit´e et tension d’une bobine

On effectue le montage suivant :

1. La résistance de la bobine est supposée négligeable.

(2)

L’expression des droites représentant la tension de la résistance seraURat kavec a et k deux réels.

Sachant que URRi, on a di dt

a R.

Concernant la tension UL, elle est constante et soit positive, soit n´egative.

En calculant le rapport U^L

di dt

, on trouve que le rapport est constant.

On a donc UL di dt

L

Soit au final U^{L ideale}Ldi dt

L^r{tex^sestappelée,inductance de la bobineets¹exprimeenHenry^pH^q. 2.Larésistancedelabobineestsupposéenonnégligeable

Onsaitque^rtex^sUL idealeLdi dt.

Il faut donc ajouter la tension de la résistance interne de la bobine à la tension, dite idéale, de la bobine U^Lideale U^rLdi

dt U^r^ð^ñU^{L ideale} U^rLdi

dt ri^ð^ñU^{L reelle} Ldi dt ri U^{L reelle}Ldi

dt ri

III. Réponse du dipôle RL à un échelon de tension

On r´ealise le montage suivant :

1. Installation du courant

A la date t=0, on ferme l’interrupteur K.

D’apr`es la loi des mailles :EUr UL

or d’pr`es la loi d’Ohm,UrRiet par d´efinition,ULLdi dt ri.

DoncERi Ldi dt ri Finalement,

ELdi

dt i^pr R^q : c’est l’équation différentielle de l’installation du courant i dans le dipôle RL.

La résistance totale du circuit est la somme de la résistance R du circuit plus la résistance r de la bobine : RtR r

(3)

La solution générale de l’équation différentielle est de la forme i^pt^q E Rt^p1e

t τ

q

V´erification : di

dt 0^p1e^τ^t^q E

Rtτe^τ^t ^ð^ñ di dt

E Rt

τe^τ^t On sait aussi que τ L

Rt di

dt E

ERt

RtLe^τ^t ^ð^ñ di dt

E Le^τ^t D’o`u

Ldi

dt i^pr R^qLdi

dt iRtLE

Le^τ^t E

Rt^p1e^τ^t^qRtEe^τ^t E^p1e^τ^t^q On simplifie ensuite.

Ee^τ^t E^p1e^τ^t^qEe^τ^t EEe^τ^t E

Ainsi, la solution proposée vérifie bien l’équation différentielle du circuit.

Expression de U_L(t) On sait queULLdi

dt ri En rempla¸cant par di

dt et i par les donn´ees trouv´e plus haut, on obtient la tension de la bobine en fonction du temps.

UL^pt^qEe^τ^t rE

Rt^p1e^τ^t^q

2. Rupture du courant

Quand l’intensité à atteint son seuil maximal, on ouvre l’interrupteur K et on considère l’ouverture de l’interrupteur comme la date t=0.

D’apr`es la loi des mailles :U^r U^L0

or d’apr`es la loi d’Ohm, UrRiet par d´efinition,U^LLdi dt ri Donc

Ldi

dt i^pr R^q0 : c’est l’équation différentielle de rupture du courant dans le dipôle RL.

La solution de cette équation différentielle est de la forme i^pt^q E Rte^τ^t Vérification :

di dt

E

ERt

RtL e^τ^t ^ð^ñ di dt

E

L e^τ^t (carτ L Rt) Ldi

dt i^pr R^qLE

L e^τ^t E

Rte^τ^t RtEe^τ^t Ee^τ^t 0 La solution proposée vérifie bien l’équation différentielle du circuit.

3. Expression de U

_L

(t)

On sait queU^LLdi dt ri En rempla¸cant, di

dt par les ´egalit´es que l’on a au dessus on a l’expression de la tension de la bobine en fonction du temps.

U^L^pt^qEe^τ^t rE Rte^τ^t

(4)

IV. Graphique de la tension aux bornes de la bobine et intensit´e

1. Intensit´e du courant et tension aux bornes de la bobine lors de l’´etablissement du courant

Sur le graphique, R repr´esente la r´esistance totale du circuit.

On peut voir que le courant ne s’établit pas directement dans le circuit. La cause est la présence de la bobine qui s’oppose à l’apparition du courant.

La constante de tempsτ caractérise le retard que met l’intensité à atteindre sa valeur maximale E/R.

Il y a 3 m´ethodes pour la calculer.

1er : On utilise la relationτ L R^totale

2ème : On trace la tangente à l’origine.τ est l’abscisse de l’intersection entre la tangente et la droite E/R 3ème : On sait que i^pt^q E

Rte^τ^t. Lorsquetτ, on a i^pt^q0,37E

Rt donc 37% de l’intensit´e maximale.

On peut donc d´eterminer la constante de temps grˆace au graphique.

Lorsque t5τ, le r´egime est permanent, la tension a quasiment atteint 0.

On aper¸coit une discontinuit´e au temps t=0

2. Intensit´e du courant et tension aux bornes de la bobine lors de la rupture du courant

(5)

On peut voir que le courant ne ”disparaˆıt” directement dans le circuit. La cause est la pr´esence de la bobine qui s’oppose `a

La constante de tempsτ caractérise le retard que met l’intensité à ”disparaˆıtre”.

Il y a 3 m´ethodes pour la calculer.

1er : On utilise la relationτ L R^totale

2`eme : On trace la tangente `a l’origine.τest l’abscisse de l’intersection entre la tangente et l’axe des abscisses.

3`eme : On sait quei^pt^q E

Rt^p1e^τ^t^q. Lorsquetτ, on ai^pt^q0,37E

Rt donc 37% de l’intensit´e maximale.

On peut donc d´eterminer la constante de temps grˆace au graphique.

Lorsque t 5τ, le régime permanent est atteint, l’intensité est nulle (quasiment car l’axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe).

On aper¸coit une autre discontinuit´e au temps t=0.

La tension d’une bobine est une fonction discontinue du temps.

L’intensit´e du courant dans un circuit RL est une fonction continue du temps.

V. Analyse dimensionnelle de la constante de temps τ du dipˆole RL

Procédons à une analyse dimensionnelle de L R On considère la résistance de la bobine négligeable.

On a U RI ^ð^ñRU

I soit^rR^s ^rU^s I On a ´egalement U^LLdi

dt ^ð^ñLU^Ldt

di soit^rL^s^rU^sT I

rL^s

R

rU^sTI

I U T

(6)

L

R est donc bien homogène à une durée.

VI. Energie enmagasin´ee dans une bobine

L’énergie emmagasinée par une bobine est donnée par la relation suivante : E^B 1

2Li²

L’énergie s’exprime en Joule, l’inductance en Henry (H) et l’intensité en Ampère (A).