MS3-I
Décembre 2007 Durée 3 heures
Examen de Mathématiques
Calculatrice et document sont interdits. Les exercices peuvent être traités dans l’ordre que l’on veut et ne sont pas rangé par difficulté croissante. Barème indicatif :4+4+5+4+3
Exercice 1 : Séries
Étudier la convergence des séries suivantes : X n5
(n2+ 8)2n
X cosn n2+ 1
XZ 1 0
1 n4+√
t dt
(On ne calculera pas l’intégrale)
Exercice 2 : Intégrale double
SoientT ={(x;y)∈R2, x≥0, y≥0, y≤2−x}etC ={(x;y)∈R2, y≥2−x, x2+y2≤4}.
1. ReprésenterT etC.
2. CalculerI = Z Z
T
x2dxdy.
3. En déduireJ = Z Z
C
x2 dxdy. On pourra utiliser la formule de trigonométriecos 2u= 2 cos2u−1.
Exercice 3 : Séries entières
On rappelle que la fonction cosinus hyperbolique est définie par chx= 12(ex+e−x).
1. Déterminer le développement en série entière de la fonction cosinus hyperbolique, en précisant sur quel intervalle est valable ce développement.
2. Soit S(x) = P∞
n=0anxn de rayon de convergence strictement positif, telle que S(0) = 1 et S solution de l’équation différentielle :(E) : 4xS00(x) + 2S0(x)−S(x) = 0
Montrer que lesansont liés par la relation de récurrence :∀n∈N, an+1= 1
(2n+ 1)(2n+ 2)an. 3. En déduire une solution de(E)surR+définie à l’aide des fonctions usuelles.
Exercice 4 : Fonction de deux variables
SoientIun intervalle deR,f etgdeux fonctions deI, dansRindéfiniment dérivables. On pose Ψ(x, y) =f(y−2x) +g(y+ 2x)
1. Calculer ∂Ψ∂x et∂Ψ∂y.
2. Montrer queΨvérifie l’équation aux dérivées partielles : ∂2Ψ
∂x2 = 4∂2Ψ
∂y2.
3. On suppose maintenant queI = [0; 1], déterminer et représenter le domaineDdu plan sur lequel est définie la fonctionΨ.
4. Rappeler les définitions de la frontière d’une partie du plan, d’un ouvert et d’un compact du plan.
5. Dest-il un ouvert, un fermé, un compact ? Exercice 5 : Fonction définie par une intégrale
Soitf :R×R→Rune fonction de classeC1on pose pour tout réely∈R: H(x, y) =
Z y
0
f(x, t)dt 1. Calculer les dérivées partielles deH.
2. On poseφ(x) =Rx
0 f(x, t)dt, écrireφ(x)à l’aide de la fonctionH.
3. On admet queHest de classeC1. Calculerφ0(x).
