TS2 – Balayage et dichotomie.
On reprend la fonction de l’exemple définie par : f x( )8x312 ² 1x .On a montré que l’équation ( )f x 0a une unique solution dans l’intervalle [ – 1 ; 0 ].
1°) Algorithme de balayage.
On considère l’algorithme suivant :
a) Que teste la ligne « Tant que ( 1) ( )f f a 0 » de l’algorithme ?
b) On entre 0,1 comme valeur pour h. Faire tourner l’algorithme en complétant le tableau ci-dessous :
Etape 1 Etape 2 Etape 3 Etape 4 Etape 5 Etape 6 Etape 7 Etape 8 a
Signe de ( 1) ( )f f a a + h
c) Expliquer l’encadrement final affiché par le programme.
d) Ecrire le programme sur la calculatrice et le tester pour h = 0,01, puis pour h = 0,001.
2°) Algorithme de dichotomie.
On sait que – 1 < < 0, on a donc un premier encadrement de d’amplitude 1.
a) Après avoir calculé l’image par f du centre de l’intervalle [ – 1 ; 0 ], déterminer un nouvel encadrement de . Quelle est son amplitude ?
b) Reprendre la question précédente en remplaçant – 1 et 0 par les bornes du nouvel encadrement de . On obtient un troisième encadrement.
c) Compléter le tableau suivant :
a b
2 ab
Signe de ( )
2 a b f a f
initialisation – 1 0
Etape 1 Etape 2 Etape 3
d) Par ce processus, à chaque étape, que se passe-t-il pour l’amplitude de l’encadrement ? Quelle est l’amplitude au bout de n étapes ? Cette méthode permet-elle d’obtenir un encadrement d’amplitude aussi petite que l’on veut ? e) Compléter l’algorithme de dichotomie suivant, où h désignera l’amplitude :
f) Ecrire le programme sur la calculatrice et le tester pour h = 0,01, puis pour h = 0,001.
Entrée : saisir h Traitement :
Affecter – 1 à a
Tant que ( 1) ( )f f a 0 Affecter a + h dans a Fin du tant que
Sortie : Afficher « est compris entre » a – h « et » a
Entrée : saisir a, b et h Traitement :
Tant que b a ...
Si ( )
2 a b f a f
………
Alors affecter ……….. à a Sinon affecter ……….. à b Fin du si
Fin du tant que
Sortie : Afficher « est compris entre » .…. « et » …..
