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Submitted on 23 Jul 2021
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Long time dynamics for nonlinear wave-type equations with or without damping
Xu Yuan
To cite this version:
Xu Yuan. Long time dynamics for nonlinear wave-type equations with or without damping. Analysis of PDEs [math.AP]. Institut Polytechnique de Paris, 2021. English. �NNT : 2021IPPAX028�. �tel- 03297223�
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❡q✉❛t✐♦♥s ✶✾✶
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✻✳✹ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✻✳✺ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶✹
✻✳✹✳✶ Pr❡❧✐♠✐♥❛r② r❡s✉❧t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶✹
✻✳✹✳✷ ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❢❛♠✐❧② ♦❢ ✷✲s♦❧✐t❛r② ✇❛✈❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶✺
✻✳✹✳✸ ▲✐♣s❝❤✐t③ ❡st✐♠❛t❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶✼
✻✳✹✳✹ ▼♦❞✉❧❛t✐♦♥ ❛t ✐♥✐t✐❛❧ t✐♠❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷✸
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✼ ▲♦♥❣✲t✐♠❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝s ♦❢ t❤❡ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❞❛♠♣❡❞ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❑❧❡✐♥✲●♦r❞♦♥
❡q✉❛t✐♦♥ ✷✷✼
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✼✳✸✳✷ ❉❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ❝❧♦s❡ t♦ t❤❡ s✉♠ ♦❢ s♦❧✐t❛r② ✇❛✈❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸✽
✼✳✸✳✸ ❊♥❡r❣② ❡st✐♠❛t❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹✵
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✼✳✸✳✺ ▲♦♥❣✲t✐♠❡ ❡♥❡r❣② ❛s②♠♣t♦t✐❝s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹✹
✼✳✸✳✻ ●❡♥❡r❛❧ ❡st✐♠❛t❡s ❢♦r ❣❧♦❜❛❧ s♦❧✉t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹✺
✼✳✹ ❆❧t❡r♥❛t❡ s✐❣♥s ♣r♦♣❡rt② ❢♦r ♥❡✐❣❤❜♦r s♦❧✐t❛r② ✇❛✈❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹✼
✼✳✺ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ ❧♦♥❣✲t✐♠❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹✽
✼✳✺✳✶ ◆♦ s♦❧✐t♦♥ ❝❛s❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹✽
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✽✳✷ Pr❡❧✐♠✐♥❛r✐❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻✹
✽✳✷✳✶ Pr♦♦❢ ♦❢ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✽✳✷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻✹
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✽✳✷✳✸ ❙♣❡❝tr❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ♦♣❡r❛t♦r ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻✺
✽✳✷✳✹ ▼♦❞✉❧❛t✐♦♥ ❛r♦✉♥❞ ❛ ❜♦✉♥❞ st❛t❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻✼
✽✳✷✳✺ ❊♥❡r❣② ❡st✐♠❛t❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✼✹
✽✳✷✳✻ ❚✐♠❡ ❡✈♦❧✉t✐♦♥ ❛♥❛❧②s✐s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽✵
✽✳✸ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✽✳✹ ❛♥❞ ❚❤❡♦r❡♠ ✽✳✻ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽✶
✽✳✹ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✽✳✼ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽✾
✻
❈❤❛♣t❡r ✵
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ✭✈❡rs✐♦♥ ❢r❛♥ç❛✐s❡✮
✵✳✶ ●é♥ér❛❧✐tés s✉r ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞❡ t②♣❡ ♦♥❞❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡s
▲❡ ❜✉t ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡ ❡st ❞✬ét✉❞✐❡r ❧❡s ♣❤é♥♦♠è♥❡s ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡s ❞❛♥s ❧❡ ❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥t ❞②♥❛♠✐q✉❡ ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ t②♣❡ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ❞❡ ❝❡rt❛✐♥❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✬♦♥❞❡s ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡s ❢♦❝❛❧✐s❛♥t❡s✳ ❯♥❡ éq✉❛t✐♦♥
❞✬♦♥❞❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡ ❛✈❡❝ ♦✉ s❛♥s ❛♠♦rt✐ss❡♠❡♥t ❡st ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡✿
∂t2u(t, x) + 2α∂tu(t, x)−∆xu(t, x) +mu(t, x) =f(u(t, x)), (t, x)∈R×Rd, ✭◆❲✮
♦ù m= 0♦✉ 1✱α>0❡tf(·) ❡st ✉♥❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té ❢♦❝❛❧✐s❛♥t❡ ❛✈❡❝f(0) = 0✳
▲❛ q✉❡st✐♦♥ ❞✉ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❈❛✉❝❤② ❧♦❝❛❧ ♦✉ ❣❧♦❜❛❧ ♣♦✉r ❧❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✬♦♥❞❡ ❡♥ ❢♦♥❝t✐♦♥
❞❡ ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d❡t ❞❡ ❧❛ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té f ❡st ❜✐❡♥ ❝♦♥♥✉❡ ❡t ♥✬❡st ♣❛s ✐♥❝❧✉s❡ ❞❛♥s ❝❡tt❡ t❤ès❡✳ ◆♦✉s
❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❞❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❞✬é♥❡r❣✐❡ ✜♥✐❡ ❡t ♥♦✉s ♥♦✉s r❡♥✈♦②♦♥s à ❬✶✷✱ ✺✾✱ ✼✶❪ ♣♦✉r ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞❡
❑❧❡✐♥✲●♦r❞♦♥ s♦✉s✲❝r✐t✐q✉❡s ❛✈❡❝ ♦✉ s❛♥s ❛♠♦rt✐ss❡♠❡♥t ❡t ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✬♦♥❞❡ ❝r✐t✐q✉❡s✳
▲♦rsq✉❡α= 0❞❛♥s ✭◆❲✮✱ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❡st ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥♥❡ ♠❛✐s ❛✈❡❝ ✉♥ ❡s♣❛❝❡ ❞❡ ♣❤❛s❡
❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐♥✜♥✐❡✱ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ C0∞(Rd)×C0∞(Rd)✳ P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t✱ ✭◆❲✮ ♣❡✉t s❡ réé❝r✐r❡ s♦✉s
❧❛ ❢♦r♠❡✿
∂t u
∂tu
=JH u
∂tu
+ 0
f(u)
,
♦ù
J =
0 Id
−Id 0
, H=
−∆ +m 0
0 1
.
❉❡ ♣❧✉s✱ s✐ ♦♥ ♥♦t❡F(u) =Ru
0 f(s)ds✱ ❧✬é♥❡r❣✐❡E ❡t ❧❡ ♠♦♠❡♥tI s♦♥t ❝♦♥s❡r✈és✱ ♦ù I(t) =
Z
Rd
∇u(t, x)∂tu(t, x)dx, E(t) =
Z
Rd
|∇u(t, x)|2+mu2(t, x) + (∂tu(t, x))2−2F(u(t, x)) dx.
❯♥❡ q✉❡st✐♦♥ ❝❡♥tr❛❧❡ ❞✉ ❞♦♠❛✐♥❡ ❡st ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❞❡ rés♦❧✉t✐♦♥ ❡♥ s♦❧✐t♦♥s✱ é♥♦♥❝é❡ ❞❛♥s ❧❡s ❛♥♥é❡s
✼✵ ❡t ✽✵ s✉✐t❡ à ❞❡s s✐♠✉❧❛t✐♦♥s ♥✉♠ér✐q✉❡s ✭✈♦✐r ❋❡r♠✐✕P❛st❛✕❯❧❛♠ ❬✺✹❪✱ ❩❛❜✉s❦②✕❑r✉s❦❛❧ ❬✶✶✺❪✮
❡t à ❧❛ t❤é♦r✐❡ ✐♥té❣r❛❜❧❡ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ❑♦rt❡✇❡❣✕❞❡ ❱r✐❡s ✭❑❞❱✮ ✭✈♦✐r ❬✺✵✱ ✺✶✱ ✶✵✻❪✮✳ ❉❡ ❢❛ç♦♥
✐♥❢♦r♠❡❧❧❡✱ ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ st✐♣✉❧❡ q✉❡ t♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❣❧♦❜❛❧❡ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ s❡ ❝♦♠♣♦rt❡
❛s②♠♣t♦t✐q✉❡♠❡♥t ❡♥ t❡♠♣s ❧♦♥❣ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ s♦♠♠❡ ❞❡ s♦❧✐t♦♥s ❞é❝♦✉♣❧és ✭✐✳❡✳ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s✮ ❡t
✉♥❡ ♣❛rt✐❡ ❞✐s♣❡rs✐✈❡ ✭❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥t ❧✐♥é❛✐r❡✮✳ ▲❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❡st très ❞✐✣❝✐❧❡✱ ♠ê♠❡ ♣♦✉r ❧❡s ♠♦❞è❧❡s
❝♦♠♣❧èt❡♠❡♥t ✐♥té❣r❛❜❧❡s✳ ➚ ❧❛ ❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡ ❞❡ ❧✬❛✉t❡✉r ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❛ été ❡♥t✐èr❡♠❡♥t ❞é♠♦♥tré❡
♣♦✉r ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ❝♦♠♣❧èt❡♠❡♥t ✐♥té❣r❛❜❧❡s ♣❛r ❊❝❦❤❛✉s✲❙❝❤✉✉r ❬✺✶❪ ♣♦✉r ❑❞❱✱ ♣❛r ❙❝❤✉✉r ❬✶✵✻❪ ❡t
❈❤❡♥✲▲✐✉ ❬✶✾❪ ♣♦✉r ♠❑❞❱✱ ♣❛r ❇♦r❣❤❡s❡✲❏❡♥❦✐♥s✲▼❝▲❛✉❣❤❧✐♥ ❬✾❪ ♣♦✉r ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ◆▲❙ ❝✉❜✐q✉❡ ❡♥ ✶❉
❡t ❛✉ss✐ ♣❛r ❏❡♥❦✐♥s✲▲✐✉✲P❡rr②✲❙✉❧❡♠ ❬✼✵❪ ♣♦✉r ◆▲❙ ❞ér✐✈é❡✱ ✈✐❛ ❧❛ ♠ét❤♦❞❡ ❞✉ s❝❛tt❡r✐♥❣ ✐♥✈❡rs❡✳
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◆♦t♦♥s ❞❡ ♣❧✉s q✉❡ très ♣❡✉ ❞❡ rés✉❧t❛ts ❡①✐st❡♥t ♣♦✉r ❧❡s ♠♦❞è❧❡s ❞✐s♣❡rs✐❢s ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡s ❡t ❞❡ t②♣❡
♦♥❞❡ q✉✐ ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❝♦♠♣❧èt❡♠❡♥t ✐♥té❣r❛❜❧❡s✳
■♥tr♦❞✉✐s♦♥s ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❧✬✉♥ ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ❞❡ t②♣❡ ♦♥❞❡ ❧❡s ♣❧✉s ✐♠♣♦rt❛♥ts ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡✱ ❧✬éq✉❛t✐♦♥
❞❡s ♦♥❞❡s ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ✭◆▲❲✮ ❛✈❡❝ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té ❝r✐t✐q✉❡ ♣♦✉r ❧✬é♥❡r❣✐❡ ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥d= 4,5✭✐❧ s✬❛❣✐t
❞✬✉♥ ♠♦❞è❧❡ ♥♦♥ ✐♥té❣r❛❜❧❡✮ ✿
∂ttu−∆u− |u|d−2d u= 0, (t, x)∈R×Rd. ✭◆▲❲✮
❆✉ ❝♦✉rs ❞❡s ✶✺ ❞❡r♥✐èr❡s ❛♥♥é❡s✱ ❞❡s ♣r♦❣rès r❡♠❛rq✉❛❜❧❡s ♦♥t été ❛❝❝♦♠♣❧✐s ✈❡rs ❧❛ ❝♦♠♣ré❤❡♥s✐♦♥
❞❡ ❧❛ ❞②♥❛♠✐q✉❡ ❡♥ t❡♠♣s ❧♦♥❣ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ◆▲❲ ❝r✐t✐q✉❡✳ ◆♦✉s ♣❛ss♦♥s ✐❝✐ ❡♥ r❡✈✉❡ ♣❧✉s✐❡✉rs rés✉❧t❛ts
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❯♥ ❛✉tr❡ ❡①❡♠♣❧❡ ❞✬éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ t②♣❡ ♦♥❞❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛✐r❡ q✉❡ ♥♦✉s ét✉❞✐♦♥s ❞❛♥s ❝❡tt❡ t❤ès❡ ❡st
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∂t2u−∂x2u+u− |u|p−1u+|u|q−1u= 0, (t, x)∈R×R, ✭✶❉◆▲❑●✮
♦ù 1 < p < q < ∞✳ ▲❛ ❞♦✉❜❧❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té ❣❛r❛♥t✐t q✉❡ ❧✬❡✛❡t ♥♦♥ ❧✐♥é❛✐r❡ ❡st ❞é❢♦❝❛❧✐s❛♥t ♣♦✉r ❧❡s
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◆♦✉s ét✉❞✐♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ◆▲❑● ❛♠♦rt✐❡ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té s♦✉s✲❝r✐t✐q✉❡ ❡♥ ❞✐♠❡♥✲
s✐♦♥ 16d65✿
∂ttu+ 2α∂tu−∆u+u− |u|p−1 = 0, (t, x)∈R×Rd, ✭❞❛♠♣❡❞◆▲❑●✮
♦ù α >0 ❡t2< p <∞✳
▲❡s ♣r✐♥❝✐♣❛✉① rés✉❧t❛ts ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡ s❡ ❝♦♥❝❡♥tr❡♥t s✉r ❧❛ ❞②♥❛♠✐q✉❡ ❡♥ t❡♠♣s ❧♦♥❣ ❞❡s ♠✉❧t✐✲
s♦❧✐t♦♥s ❡t ❢♦✉r♥✐ss❡♥t ❞❡s ❛✈❛♥❝é❡s s♦❧✐❞❡s ❡t ❞❡s ❡①❡♠♣❧❡s ♣♦✉r ❧❛ ❝♦♥❥❡❝t✉r❡ ❞❡ rés♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ s♦❧✐t♦♥s s♦✉s ❞✐✈❡rs ❛s♣❡❝ts✳ P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t✱ ♥♦✉s ❞✐✈✐s♦♥s ❝❡tt❡ t❤ès❡ ❡♥ tr♦✐s t❤é♠❛t✐q✉❡s ✿
(1) ❙t❛❜✐❧✐té ❞❡s ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ♣♦✉r ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✶❉ ◆▲❑● ✭➓✵✳✷✮✳
(2) ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ❞❡ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ♣♦✉r ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ◆▲❲ ❝r✐t✐q✉❡ ✭➓✵✳✸✮✳
(3) ❉②♥❛♠✐q✉❡ ❡♥ t❡♠♣s ❧♦♥❣ ♣♦✉r ◆▲❑● ❛♠♦rt✐❡ ✭➓✵✳✹✮✳ ■❧ s✬❛❣✐t ❞✬✉♥ ♣r♦❥❡t ❡♥ ❝♦❧❧❛❜♦r❛t✐♦♥ ❛✈❡❝
❘❛♣❤❛ë❧ ❈ôt❡ ✭■❘▼❆✱ ❋r❛♥❝❡✮✱ é❣❛❧❡♠❡♥t ❡♥ ♣❛rt✐❡ ❛✈❡❝ ❨✈❛♥ ▼❛rt❡❧ ✭❈▼▲❙✱ ❋r❛♥❝❡✮ ❡t ▲✐❢❡♥❣
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❈❡tt❡ t❤ès❡ ❡st ❝♦♠♣♦sé❡ ❞❡s ❛rt✐❝❧❡s s✉✐✈❛♥ts✿
• ❘✳ ❈ôt❡✱ ❨✳ ▼❛rt❡❧ ❛♥❞ ❳✳ ❨✉❛♥✱ ▲♦♥❣✲t✐♠❡ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ♦❢ t❤❡ ❖♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❉❛♠♣❡❞ ◆♦♥✲
❧✐♥❡❛r ❑❧❡✐♥✕●♦r❞♦♥ ❊q✉❛t✐♦♥✳ ❆r❝❤✳ ❘❛t✐♦♥✳ ▼❡❝❤✳ ❆♥❛❧✳ ✷✸✾ ✭✷✵✷✶✮✱ ♥♦✳ ✸✱ ✶✽✸✼✲✶✽✼✹
• ❘✳ ❈ôt❡✱ ❨✳ ▼❛rt❡❧✱ ❳✳ ❨✉❛♥ ❛♥❞ ▲✳ ❩❤❛♦✱ ❉❡s❝r✐♣t✐♦♥ ❛♥❞ ❝❧❛ss✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ✷✲s♦❧✐t❛r② ✇❛✈❡s ❢♦r
♥♦♥❧✐♥❡❛r ❞❛♠♣❡❞ ❑❧❡✐♥✲●♦r❞♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ Pr❡♣r✐♥t✱ ❛r❳✐✈✿✶✾✵✽✳✵✾✺✷✼✱ s♦✉♠✐s✳
✽
✵✳✷✳ ▲✬➱◗❯❆❚■❖◆ ✶❉ ◆▲❑● ❆❱❊❈ ❉❖❯❇▲❊ ◆❖◆✲▲■◆➱❆❘■❚➱
• ❘✳ ❈ôt❡ ❛♥❞ ❳✳ ❨✉❛♥✱ ❆s②♠♣t♦t✐❝s ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ✇✐t❤ ❛ ❝♦♠♣❛❝t♥❡ss ♣r♦♣❡rt② ❢♦r t❤❡ ♥♦♥❧✐♥❡❛r
❞❛♠♣❡❞ ❑❧❡✐♥✲●♦r❞♦♥ ❡q✉❛t✐♦♥✳ Pr❡♣r✐♥t✱ ❛r❳✐✈✿✷✶✵✷✳✶✶✶✼✽✱ s♦✉♠✐s✳
• ❳✳ ❨✉❛♥✱ ❈♦♥❞✐t✐♦♥❛❧ st❛❜✐❧✐t② ♦❢ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ❢♦r t❤❡ ✶❉ ◆▲❑● ❡q✉❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❞♦✉❜❧❡ ♣♦✇❡r
♥♦♥❧✐♥❡❛r✐t②✳ ❆ ♣❛r❛îtr❡ ❞❛♥s ❆♥♥✳ ■♥st✳ ❍✳ P♦✐♥❝❛ré ❆♥❛❧✳ ◆♦♥ ▲✐♥é❛✐r❡✳
• ❳✳ ❨✉❛♥✱ ❖♥ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ❢♦r t❤❡ ❡♥❡r❣②✲❝r✐t✐❝❛❧ ✇❛✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✺✳ ◆♦♥❧✐♥❡❛r✐t②
✸✷ ✭✷✵✶✾✮✱ ♥♦✳ ✶✷✱ ✺✵✶✼✕✺✵✹✽✳
• ❳✳ ❨✉❛♥✱ ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❡①❝✐t❡❞ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ❢♦r t❤❡ ✺❉ ❡♥❡r❣②✲❝r✐t✐❝❛❧ ✇❛✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳ ❆
♣❛r❛îtr❡ ❞❛♥s ❏✳ ❍②♣❡r❜♦❧✐❝ ❉✐✛❡r✳ ❊q✉✳
• ❳✳ ❨✉❛♥✱ ❈♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❡①❝✐t❡❞ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ❢♦r t❤❡ ❢♦❝✉s✐♥❣ ✹❉ ❝✉❜✐❝ ✇❛✈❡ ❡q✉❛t✐♦♥✳ Pr❡♣r✐♥t✱
❛r❳✐✈✿✷✶✵✸✳✵✹✶✻✽✱ s♦✉♠✐s✳
✵✳✷ ▲✬éq✉❛t✐♦♥ ✶❉ ◆▲❑● ❛✈❡❝ ❞♦✉❜❧❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té
✵✳✷✳✶ ❈♦♥t❡①t❡
❈♦♥s✐❞ér♦♥s ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✶❉ ◆▲❑● ❛✈❡❝ ✉♥❡ ❞♦✉❜❧❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té ❢♦❝❛❧✐s❛♥t❡✴❞é❢♦❝❛❧✐s❛♥t❡✱
(∂t2u−∂x2u+u− |u|p−1u+|u|q−1u= 0, (t, x)∈[0,∞)×R, u|t=0=u0 ∈H1(R), ∂tu|t=0=u1 ∈L2(R),
♦ù 1 < q < p < ∞✳ P♦✉r ❡①❤✐❜❡r ❧❛ ❢♦r♠❡ ❤❛♠✐❧t♦♥✐❡♥♥❡✱ ♥♦✉s réé❝r✐✈♦♥s ❝❡tt❡ éq✉❛t✐♦♥ ❝♦♠♠❡ ✉♥
s②stè♠❡ ❞✉ ♣r❡♠✐❡r ♦r❞r❡ ❡♥ t❡♠♣s ♣♦✉r ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥~u= (u1, u2)✱
∂t u1
u2
=JH u1
u2
+ 0
f(u1)
, ✭✵✳✶✮
♦ù
J =
0 1
−1 0
, H =
−∂x2+ 1 0
0 1
, f(u1) =|u1|p−1u1− |u1|q−1u1.
❖♥ ❞é✜♥✐t F(u) =Ru
0 f(σ)dσ= p+11 |u|p+1−q+11 |u|q+1✳ P♦✉r t♦✉t❡ s♦❧✉t✐♦♥~u= (u1, u2) ❞❡ ✭✵✳✶✮ ❞❛♥s H1×L2✱ ❧✬é♥❡r❣✐❡E(~u) ❡t ❧❡ ♠♦♠❡♥tI(~u) s♦♥t ❝♦♥s❡r✈és✱ ♦ù
E(~u) = Z
R
(∂xu1)2+u21+u22−2F(u1) dx, I(~u) = 2 Z
R
(∂xu1)u2dx.
❯♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ st❛t✐♦♥♥❛✐r❡✱ ✐✳❡✳ s♦❧✉t✐♦♥ ✐♥❞é♣❡♥❞❛♥t❡ ❞✉ t❡♠♣s ~u(t, x) = (q(x),0) ❞❡ ✭✵✳✶✮ ❡st
❝❛r❛❝tér✐sé❡ ❝♦♠♠❡ ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❢❛✐❜❧❡ ❞❛♥sH1 ❞❡ ❧✬❖❉❊ ❞✉ ❞❡✉①✐è♠❡ ♦r❞r❡ s✉✐✈❛♥t❡
q′′−q+f(q) = 0 s✉r R. ✭✵✳✷✮
●râ❝❡ à ❬✼❪✱ ♥♦✉s s❛✈♦♥s q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ✭à tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ♣rès✮ ❞❛♥sH1 ❞❡ ✭✵✳✷✮ q✉✐ ❡st
♣♦s✐t✐✈❡ ❡t ♣❛✐r❡✳ ❈❡tt❡ ✉♥✐q✉❡ s♦❧✉t✐♦♥ ♣❛✐r❡ ❡st ❛♣♣❡❧é❡ ét❛t ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧✱ ❡t ♥♦✉s ❧❛ ♥♦t♦♥s Q✳ ❊♥
❛♣♣❧✐q✉❛♥t ❧❛ tr❛♥s❢♦r♠❛t✐♦♥ ❞❡ ▲♦r❡♥t③ à Q~ = (Q,0)✱ ♦♥ ♦❜t✐❡♥t ❞❡s ♦♥❞❡s s♦❧✐t❛✐r❡s ♦✉ s♦❧✐t♦♥s ✿ s✐
♣♦✉rℓ ✈ér✐✜❛♥t−1< ℓ <1♦♥ ❞é✜♥✐t Qℓ(x) =Q
x
√1−ℓ2
, Q~ℓ =
Qℓ
−ℓ∂xQℓ
,
❛❧♦rs~u(t, x) =Q~ℓ(x−ℓt) ❡st ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ✭✵✳✶✮✳
✾
❚❍➮❙❊ ❉❊ ❉❖❈❚❖❘❆❚ ❉❊ ▲✬■◆❙❚■❚❯❚ P❖▲❨❚❊❈❍◆■◗❯❊ ❉❊ P❆❘■❙
▼❡♥t✐♦♥♥♦♥s q✉❡ ❧❡s s♦❧✉t✐♦♥s ❝✐✲❞❡ss✉s s♦♥t ✐♥st❛❜❧❡s s✐ ❧✬♦♥ ♣❡rt✉r❜❡ ❧❡s ❞♦♥♥é❡s ✐♥✐t✐❛❧❡s ❡t ❛❞♠❡t✲
t❡♥t ✉♥❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❞✬✐♥st❛❜✐❧✐té ❡①♣♦♥❡♥t✐❡❧❧❡✳ P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t✱ ❣râ❝❡ à ❧❛ t❤é♦r✐❡ ❞❡ ❙t✉r♠✲▲✐♦✉✈✐❧❧❡✱
❧✬♦♣ér❛t❡✉r
L=−∂x2+ 1−f′(Q)
❛♣♣❛r❛✐ss❛♥t ❛♣rès ❧✐♥é❛r✐s❛t✐♦♥ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ✭✵✳✶✮ ❛✉t♦✉r ❞❡ Q~ = (Q,0)❛ ✉♥❡ ✈❛❧❡✉r ♣r♦♣r❡ ♥é❣❛t✐✈❡
✉♥✐q✉❡ −ν02 (ν0>0)✱ à ❧❛q✉❡❧❧❡ ♦♥ ♣❡✉t ❛ss♦❝✐❡r ✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ ♣r♦♣r❡ ❧✐ss❡ ❡t ♣❛✐r❡ Y✳ P♦s♦♥s Y~+=
Y ν0Y
❡t ~u+(t, x) = exp(ν0t)Y~+(x).
❯♥ ❝❛❧❝✉❧ ❡①♣❧✐❝✐t❡ ♠♦♥tr❡ q✉❡ ❧❛ ❢♦♥❝t✐♦♥~u+(t, x) ❡st s♦❧✉t✐♦♥ ❞✉ s②stè♠❡ ❧✐♥é❛r✐sé (∂tu1 =u2
∂tu2 =−Lu1.
P✉✐sq✉❡ν0 >0✱ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥~u+ ✐❧❧✉str❡ ❧✬✐♥st❛❜✐❧✐té ❡①♣♦♥❡♥t✐❡❧❧❡ ❞❡ ❧✬♦♥❞❡ s♦❧✐t❛✐r❡Q~ ❡♥ t❡♠♣s ♣♦s✐t✐❢✳
P❧✉s ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t✱ ♣♦✉r−1< ℓ <1✱ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ✐♥st❛❜❧❡ ❛✉t♦✉r ❞❡Q~ℓ ❞♦♥♥é❡ ♣❛r
Yℓ=Y
x
√1−ℓ2
❡t Z~ℓ+=
(ℓ∂xYℓ+√ν0 1−ℓ2Yℓ)e
ℓν0
√1−ℓ2x
Yℓe
ℓν0
√1−ℓ2x
.
❈♦♥❝❡r♥❛♥t ❧❡s ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ✭s♦❧✉t✐♦♥s ❝♦♥t❡♥❛♥t ✉♥ ♥♦♠❜r❡ ❛r❜✐tr❛✐r❡ ❞❡ s♦❧✐t♦♥s✮✱ ❧✬✉♥❡ ❞❡s
♣r❡♠✐èr❡s ✐♥tr✉s✐♦♥s ❞❛♥s ❝❡tt❡ ét✉❞❡ ♣♦✉r ✭✵✳✶✮ ❡st ❧❡ tr❛✈❛✐❧ ❞❡ ❈ôt❡✲▼✉ñ♦③ ❬✸✶❪ ♦ù ✐❧s ♦♥t ❝♦♥str✉✐t
✉♥ ❡①❡♠♣❧❡ ❞❡ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ❜❛sé s✉r ❧✬ét❛t ❢♦♥❞❛♠❡♥t❛❧ ♣♦✉r ✭✵✳✶✮✳ P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t✿
❚❤é♦rè♠❡ ✵✳✶ ✭❊①✐st❡♥❝❡ ❞❡ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s✱ ❬✸✶❪✮✳ ❙♦✐t ℓ1,· · ·, ℓN ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ✈✐t❡ss❡s ✈ér✐✜❛♥t ℓn 6= ℓn′ ♣♦✉r t♦✉t n 6= n′ ❡t x1,· · · , xN ❞❡s ♣❛r❛♠ètr❡s ❞❡ ❞é❝❛❧❛❣❡✳ ■❧ ❡①✐st❡ ✉♥ t❡♠♣s T0 > 0✱
❞❡s ❝♦♥st❛♥t❡s C > 0✱ ❡t γ0 > 0 ❞é♣❡♥❞❛♥t ✉♥✐q✉❡♠❡♥t ❞❡ (ℓn)n ❡t (xn)n ❡t ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥ ~u(t) = (u1(t), u2(t))∈ C [T0,∞) :H1×L2
❞❡ ✭✵✳✶✮✱ ❞é✜♥✐❡ s✉r [T0,∞) ❡t s❛t✐s❢❛✐s❛♥t ♣♦✉r t♦✉t t>T0 ~u(t)−
XN
n=1
Q~ℓn(x−ℓnt−xn)
H1×L2 6Ce−γ0t.
❘❡♠❛rq✉❡ ✵✳✷✳ ❈ôt❡✲▼✉ñ♦③ ❬✸✶❪ ♦♥t ét✉❞✐é ❧❡ ❝❛s ♣❧✉s ❣é♥ér❛❧ ❞✬✉♥❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞✬❡s♣❛❝❡ q✉❡❧❝♦♥q✉❡
d ∈ N+ ❛✈❡❝ ❞❡s ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐tés ♣❧✉s ❣é♥ér❛❧❡s✱ ✐♥❝❧✉❛♥t ❧❡ ❝❛s ❞❡ ❧❛ ❞♦✉❜❧❡ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té✳ ❊♥ ♣❛r❛❧✲
❧è❧❡✱ ❇❡❧❧❛③③✐♥✐✲●❤✐♠❡♥t✐✲▲❡ ❈♦③ ❬✺❪ ♦♥t ❝♦♥str✉✐t ❞❡s ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s st❛❜❧❡s à ✈❛❧❡✉rs ❝♦♠♣❧❡①❡s ♣♦✉r
❧✬éq✉❛t✐♦♥ ◆▲❑●✳ P❧✉s t❛r❞✱ ❈ôt❡✲▼❛rt❡❧ ❬✷✻❪ ♦♥t ét❡♥❞✉ ❧❡ rés✉❧t❛t ❞✬❡①✐st❡♥❝❡ ❞❡ ❬✸✶❪ à ♥✬✐♠♣♦rt❡
q✉❡❧ ét❛t ❡①❝✐té ♣♦✉r ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ◆▲❑● ❛✈❡❝ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té ❞❡ ♣✉✐ss❛♥❝❡ ♣✉r❡✳
✵✳✷✳✷ ❘és✉❧t❛t
❆✉ ♣❛r❛❣r❛♣❤❡ ➓✵✳✷✳✶✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s ♦❜s❡r✈é q✉❡ ❧❡ s♦❧✐t♦♥ ✉♥✐q✉❡ ❡st ✐♥st❛❜❧❡✱ ❝❡ q✉✐ ✐♠♣❧✐q✉❡ q✉❡
❧❡s ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ❝♦♥str✉✐ts ❞❛♥s ❬✸✶❪ ❧❡ s♦♥t é❣❛❧❡♠❡♥t✳ P❛r ❝♦♥séq✉❡♥t✱ ❧♦rsq✉❡ ♥♦✉s ét✉❞✐♦♥s ❧❛
st❛❜✐❧✐té ❞❡ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s s♦❧✉t✐♦♥s ❞❡ ✭✵✳✶✮ ❛✈❡❝ ❞❡s ✈✐t❡ss❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s✱ ♦♥ ♥❡ ♣❡✉t ♦❜t❡♥✐r ♠✐❡✉① q✉❡
❧❛ st❛❜✐❧✐té ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ✿ t♦✉t❡ ❞♦♥♥é❡ ✐♥✐t✐❛❧❡ ♣r♦❝❤❡ ❞❡ ❝❡❧❧❡ ❞✬✉♥ ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥ ❞♦♥♥é ♣❡✉t êtr❡
♠♦❞✐✜é❡ ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡ ❝❤❛q✉❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❡①♣♦♥❡♥t✐❡❧❧❡♠❡♥t ✐♥st❛❜❧❡ ❞❡ t❡❧❧❡ s♦rt❡ q✉❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥ ❛ss♦❝✐é❡
à ❝❡s ❞♦♥♥é❡s ✐♥✐t✐❛❧❡s ♠♦❞✐✜é❡s s♦✐t ✜♥❛❧❡♠❡♥t st❛❜❧❡ ❡♥ t❡♠♣s ❧♦♥❣s ❡t ❝♦♥✈❡r❣❡ ✈❡rs ✉♥❡ s♦❧✉t✐♦♥
♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥ ♣r♦❝❤❡ ❛✈❡❝ ❞❡s ✈✐t❡ss❡s ❞✐st✐♥❝t❡s✳
▲❡ rés✉❧t❛t ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ❞❡ ❝❡tt❡ s❡❝t✐♦♥ ❡st ❧❛ st❛❜✐❧✐té ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❞❡s ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s ♣♦✉r ✭✵✳✶✮✱
❝♦♠♠❡ ♠❡♥t✐♦♥♥é ❝✐✲❞❡ss✉s✳ P❧✉s ♣ré❝✐sé♠❡♥t✿
✶✵
✵✳✷✳ ▲✬➱◗❯❆❚■❖◆ ✶❉ ◆▲❑● ❆❱❊❈ ❉❖❯❇▲❊ ◆❖◆✲▲■◆➱❆❘■❚➱
❚❤é♦rè♠❡ ✵✳✸ ✭❙t❛❜✐❧✐té ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❞❡s ♠✉❧t✐✲s♦❧✐t♦♥s✱ ❬✶✶✸❪✮✳ ❙♦✐t N > 2✳ P♦✉r t♦✉s n ∈ {1, . . . , N}✱ s♦✐t σn = ±1✱ ℓn ∈ (−1,1) ❛✈❡❝ −1 < ℓ1 < ℓ2 < · · · < ℓN < 1✳ ■❧ ❡①✐st❡ ❞❡s ❝♦♥✲
st❛♥t❡s L0 > 0✱ C0 > 0✱ γ0 > 0 ❡t δ0 > 0 t❡❧❧❡s q✉❡ ❝❡ q✉✐ s✉✐t ❡st ✈r❛✐✳ ❙♦✐t ~ε ∈ H1 ×L2 ❡t y10<· · ·< yN0 t❡❧ q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ L > L0 ❡t0< δ < δ0 ❛✈❡❝
k~εkH1×L2 < δ ❡t y0n+1−yn0 > L ♣♦✉r t♦✉s n= 1, . . . , N −1.
❆❧♦rs✱ ✐❧ ❡①✐st❡ h+1, . . . , h+N ∈Rs❛t✐s❢❛✐s❛♥t XN
n=1
|h+n|6C0 δ+e−γ0L , t❡❧s q✉❡ ❧❛ s♦❧✉t✐♦♥~u= (u1, u2) ❞❡ ✭✵✳✶✮ ❛✈❡❝ ❧❛ ❞♦♥♥é❡ ✐♥✐t✐❛❧❡
~u0= XN
n=1
σnQ~ℓn+h+nZ~ℓ+n
(· −yn0) +~ε
❡st ❞é✜♥✐❡ ❣❧♦❜❛❧❡♠❡♥t ❞❛♥sH1×L2 ♣♦✉r t>0 ❡t✱ ♣♦✉r t♦✉t t>0✱
~u(t)− XN
n=1
σnQ~ℓn(· −yn(t))
H1×L2
6C0 δ+e−γ0L ,
♦ù y1(t), . . . , yN(t) s♦♥t ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❞❡ ❝❧❛ss❡C1 s❛t✐s❢❛✐s❛♥t✱ ♣♦✉r t♦✉t n= 1, . . . , N✱ t>0✱
|yn(0)−yn0|6C0 δ+e−γ0L
, |y˙n(t)−ℓn|6C02 δ+e−γ0L .
❘❡♠❛rq✉❡ ✵✳✹✳ ▲❛ ♥♦♥✲❧✐♥é❛r✐té ❞♦✉❜❧❡ ♣✉✐ss❛♥❝❡ ❡st ✉♥ ❝❤♦✐① t②♣✐q✉❡ ♣♦✉r ❧❡s éq✉❛t✐♦♥s ❞✐s♣❡rs✐✈❡s
♦✉ ❞✬♦♥❞❡✱ ♠❛✐s ❧❡ ❚❤é♦rè♠❡ ✵✳✸♣❡✉t êtr❡ ét❡♥❞✉ ❛✉ ❝❛s ♣❧✉s ❣é♥ér❛❧ ❞✬✉♥❡ ❢♦♥❝t✐♦♥ à ✈❛❧❡✉rs ré❡❧❧❡s f ∈C1,α ✭❛✈❡❝α >0✮ s❛t✐s❢❛✐s❛♥t ✿
(i) f ❡st ✐♠♣❛✐r❡ ❡tf(0) =f′(0) = 0✱
(ii) ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ss >0t❡❧s q✉❡ F(s)− 12s2 = 0 ❡tf(s)−s >0❛❞♠❡t ✉♥ ♠✐♥✐♠✉♠s0 >0✱ (iii) ✐❧ ❡①✐st❡r0>0 t❡❧ q✉❡ ♣♦✉r t♦✉t s∈(−r0, r0)✱sf(s)−2F(s)60✱
♦ùF(s) =Rs
0 f(σ)dσ♣♦✉rs∈R✳ ▲❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭✐✮✲✭✐✐✮ s♦♥t ❧✐é❡s à ❧❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ♥é❝❡ss❛✐r❡ ❡t s✉✣s❛♥t❡
♣♦✉r ❧✬❡①✐st❡♥❝❡ ❞✬✉♥❡ ♦♥❞❡ st❛t✐♦♥♥❛✐r❡ ✉♥✐q✉❡ ❞❛♥s ❬✼✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✺❪✳ ❙✉✐✈❛♥t ❬✼✱ ❊①❛♠♣❧❡ ✷✱ ♣✳ ✸✶✽❪✱
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F(s0)−12s20 = 0❡st ❝❧❛✐r ❡t ❞❡ ♣❧✉s
f(s0)−s0 =sp0−sq0−s0= 1 s0
(p+ 1)F(s0) +p−q
q+ 1sq+10 −s20
= 1 s0
p−q
q+ 1sq+10 +p−1 2 s20
>0.
❈❡❧❛ ❥✉st✐✜❡ ❧✬❡①✐st❡♥❝❡ ❞✬✉♥❡ ♦♥❞❡ st❛t✐♦♥♥❛✐r❡Q♣♦✉r ✭✵✳✷✮✳ ▲❛ ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✐✐✐✮ ❣❛r❛♥t✐t q✉❡ ❧✬❡✛❡t ♥♦♥
❧✐♥é❛✐r❡ ❡st ❞é❢♦❝❛❧✐s❛♥t ♣♦✉r ❧❡s ♣❡t✐t❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡u1✱ ❝❡ q✉✐ ❡st ❞é❝✐s✐❢ ❞❛♥s ♥♦tr❡ ❛r❣✉♠❡♥t ❞✉ ✈✐r✐❡❧✳
❘❛♣♣❡❧♦♥s q✉❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ❞é❥à ♣rés❡♥t ❞❛♥s ❬✽✾✱✶✵✹❪ ♣♦✉r ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ◆▲❙✱ ♦ù ✉♥❡ r❡str✐❝t✐♦♥ ♣❧✉s
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