DM n
◦10
Exercice
.On consid`ere la fonction f d´efinie sur ]− ∞,1[ par
f(x) =
1, six= 0,
−x
(1−x) ln(1−x), six6= 0.
1. Montrer quef est continue sur ]− ∞,1[.
2. (a) D´eterminer le d´eveloppement limit´e de ln(1−x) `a l’ordre 2 lorsquexest au voisinage de 0.
(b) En d´eduire quef est d´erivable en 0, puis v´erifier quef0(0) = 1 2.
3. (a) Montrer quef est d´erivable sur ]− ∞,0[ et sur ]0,1[, puis calculerf0(x) pour toutx∈]− ∞,0[∪]0,1[.
(b) D´eterminer le signe de la quantit´e ln(1−x) +xlorsquexappartient `a ]− ∞,1[, puis en d´eduire les variations def.
(c) D´eterminer les limites def aux bornes de son domaine de d´efinition, puis dresser son tableau de variation.
4. (a) Etablir que, pour toutn∈N∗, il existe un seul r´eel de [0,1[, not´eun, tel quef(un) =net donner la valeur de u1.
(b) Montrer que la suite (un) converge et que lim
n→+∞un = 1
1
Exercice facultatif
.On consid`ere, pournentier naturel non nul, la fonction fn d´efinie sur R∗+ par : fn(x) = nlnx
n+ 1 +nx2 On d´efinit ´egalement surR∗+ la fonctionhpar :
h(x) = lnx 1 +x2
1. Montrer que les fonctionsfn ethsont continues surR∗+ et ´etudier leur signe.
2. (a) Montrer que l’int´egrale impropre Z +∞
1
lnx
x2 dxest convergente et d´eterminer sa valeur.
(b) Montrer que l’int´egrale impropre Z +∞
1
h(x)dxest convergente.
Dans toute la suite de l’exercice on note alorsKl’int´egrale impropre :
K= Z +∞
1
h(x)dx.
3. (a) Montrer, grˆace au changement de variableu= 1 x que K=−
Z 1 0
h(u)du.
(b) En d´eduire que l’int´egrale impropre Z +∞
0
|h(x)| dxconverge et est ´egale `a 2K.
(c) En d´eduire ´egalement que l’int´egrale impropre Z +∞
0
h(x)dx converge et vaut 0.
4. (a) Montrer que pour tout r´eelxstrictement positif,
|fn(x)|6|h(x)|.
En d´eduire la convergence de l’int´egrale Z +∞
0
fn(x)dx.
(b) Montrer que pour tout r´eelxstrictement positif,
h(x)−fn(x) = h(x) n+ 1 +nx2. (c) En d´eduire successivement :
06 Z +∞
1
(h(x)−fn(x))dx6 K n+ 1
− K n+ 1 6
Z 1 0
(h(x)−fn(x))dx60
(d) Montrer que lim
n→+∞
Z +∞
0
fn(x)dx= 0.
2
