DM 10

DM n

10

Exercice

On consid`ere la fonction f d´efinie sur ]− ∞,1[ par

f(x) =







1, six= 0,

−x

(1−x) ln(1−x), six6= 0.

1. Montrer quef est continue sur ]− ∞,1[.

2. (a) D´eterminer le d´eveloppement limit´e de ln(1−x) `a l’ordre 2 lorsquexest au voisinage de 0.

(b) En d´eduire quef est d´erivable en 0, puis v´erifier quef⁰(0) = 1 2.

3. (a) Montrer quef est d´erivable sur ]− ∞,0[ et sur ]0,1[, puis calculerf⁰(x) pour toutx∈]− ∞,0[∪]0,1[.

(b) D´eterminer le signe de la quantit´e ln(1−x) +xlorsquexappartient `a ]− ∞,1[, puis en d´eduire les variations def.

(c) D´eterminer les limites def aux bornes de son domaine de d´efinition, puis dresser son tableau de variation.

4. (a) Etablir que, pour toutn∈N^∗, il existe un seul r´eel de [0,1[, not´eu_n, tel quef(u_n) =net donner la valeur de u₁.

(b) Montrer que la suite (u_n) converge et que lim

n→+∞u_n = 1

1

Exercice facultatif

On consid`ere, pournentier naturel non nul, la fonction f_n d´efinie sur R^∗+ par : f_n(x) = nlnx

n+ 1 +nx² On d´efinit ´egalement surR^∗+ la fonctionhpar :

h(x) = lnx 1 +x²

1. Montrer que les fonctionsfn ethsont continues surR^∗+ et ´etudier leur signe.

2. (a) Montrer que l’int´egrale impropre Z +∞

1

lnx

x² dxest convergente et d´eterminer sa valeur.

(b) Montrer que l’int´egrale impropre Z +∞

1

h(x)dxest convergente.

Dans toute la suite de l’exercice on note alorsKl’int´egrale impropre :

K= Z +∞

1

h(x)dx.

3. (a) Montrer, grˆace au changement de variableu= 1 x que K=−

Z 1 0

h(u)du.

(b) En d´eduire que l’int´egrale impropre Z +∞

0

|h(x)| dxconverge et est ´egale `a 2K.

(c) En d´eduire ´egalement que l’int´egrale impropre Z +∞

0

h(x)dx converge et vaut 0.

4. (a) Montrer que pour tout r´eelxstrictement positif,

|f_n(x)|6|h(x)|.

En d´eduire la convergence de l’int´egrale Z +∞

0

fn(x)dx.

(b) Montrer que pour tout r´eelxstrictement positif,

h(x)−fn(x) = h(x) n+ 1 +nx². (c) En d´eduire successivement :

06 Z +∞

1

(h(x)−fn(x))dx6 K n+ 1

− K n+ 1 6

Z 1 0

(h(x)−fn(x))dx60

(d) Montrer que lim

n→+∞

Z +∞

0

fn(x)dx= 0.

2