DM 10 Traîneau sur la glace
Corrigé
(d’après Mines MP 2019)
1 (version plus complète à venir...)
Système : élément de corde de largeurd xet de masse nulle Référentiel : terrestre supposé galiléenRG
Bilan des forces extérieures :
• poidsP~=m~g=~0 ;
• force−~T(x) tension exercée par la partie gauche de la corde ;
• forceT(x+d x) tension exercée par la partie droite de la corde.
portion dx de corde
−T~(x) T~(x+d x)
D’après leprincipe fondamental de la dynamiqueappliqué à la portion de corde : 0×~a(corde)/RG=~0−T~(x)+T~(x+d x)
Donc la tension−~T(x) exercée par la partie gauche de la corde est l’opposé de la tensionT~(x+d x) exercée par la partie droite de la corde. D’après le principe des interactions réciproques, la tension exercée par la portion de corde sur la gauche est égale à la tension exercée par la partie droite de la corde sur la portion
~T(x)=T~(x+d x) La tension est la même tout au long de la corde.
La colinéarité de cette tension à la corde est pour l’instant hors programme. Elle nécessite lethéorème du moment cinétiquequ’on verra au printemps. Avec les mains, si les deux forces~Ft etF~r ne sont pas colinéaire à la corde, elles exercent uncouple(comme sur un volant tenu à deux mains) qui fait tourner la corde jusqu’à qu’elle soitcolinéaireà ces forces.
corde
~Ft
~Fc
rotation
2 Système : traîneau assimilé à un point matérielGde massem Référentiel : terrestre supposé galiléenRg
Bilan des forces extérieures :
• poidsP~=m~g=~0 ;
• tension~T de la corde ;
• réaction normale du support−→
RN=RN~uy ;
• réaction tangentielle du support−→
RT= −µdRN~ux(en dynamique).
MPSI Devoir maison 10 - Traîneau sur la glace 2020-2021
~ ux
~ uy
−
→RN
−
→RT
T~
P~
D’après le principe fondamental de la dynamique
M~a(G)/Rg =P~+T~+→− RN+−→
RT
.
Projetons-le sur les axes~uxet~uy :
½ Mx¨= −Psinα+T−µdRN
0= −Pcosα+RN
Remarquons, pourα=0, queRN=P. La première équation s’écrit donc Mx¨=T−µdP.
Recherchons une forme analogue pourα6=0. D’après la seconde équation RN=Pcosα
donc
mx¨= −Psinα+T−µdRN ⇔ mx¨= −Psinα+T−µdPcosα
⇔ mx¨=T−(µdcosα+sinα)P
En posantµ0d=µdcosα+sinα, on retrouve une équation du mouvement sur~ux de la même forme que le cas horizontal :
mx¨=T−µ0dP avec µ0d=µdcosα+sinα
3 On se place dans le casα=0. Le traîneau est au repos. La projection sur~uxréaction tangentielle du support vaut alors (en statique) :
RT≤µsRN avec RN=P
l’égalité étant atteinte juste avant le démarrage. D’après le principe fondamentale de la dynamique, pour qu’il y ait démarrage :
T−RT≥0 ⇔ F0≥µsM g A.N. F0≥3, 9 · 102N
# une force assez faible, car elle revient à soulever une charge de 40 kg seulement.
4 Le traîneau est en mouvement sur une piste horizontale. On prendre donc une réaction tangentielle de la forme−→
RT= −µdM g~ux.
D’après le principe fondamental de la dynamique projeté sur~ux(cf question 2) Mv˙=T−µdM g ⇔ M v=F0−βv−µdM g
⇔ v˙+ β Mv=F0
M−µdg
2/3 December 18, 2020
MPSI Devoir maison 10 - Traîneau sur la glace 2020-2021
On reconnaît ici une équation différentielle linéaire d’ordre 1. Posonsτ= Mβ laconstante caractéristique de temps, etv0=F0−µβdM g lavitesse limiteatteinte par le traîneau (solution particulière de cette EDL avec second membre).
Cette vitesse est atteint au bout de∆t=3τ=5 s. Donc β=3M∆t
F0=βv0+µdM g
=300 N · m−1· s
=1, 1 · 103N
# des valeurs cohérentes avec celle trouvée à la question précédente.
5 Le mouvement du traîneau est circulaire et uniforme. Exprimons les vecteurs cinématique dans la base polaire décrite sur le schéma ci-dessous.
OG~ =R~ur
~v=v0~uα
~a= −v02 R ~ur
~ ur
~ uα
D’après le principe fondamental de la dynamique M~a=T~+−→
RN+→− RT+~P
En projetant sur les trois axes
−MvR20 = −Tsinθ 0=Tcosθ−µdM g RN=M g
⇔
tanθ= v
2 0
Rµdg
T =µcosdM gθ RN=M g
Applications numériques :θ=42◦etT =3, 3 · 102N.
#θest compris entre0etπ; T est toujours du même ordre de grandeur que les questions précédentes.
3/3 December 18, 2020
