Sup PCSI2 — Contrˆole 1996/08
Les questions marqu´ees⋆ ⋆ ⋆ sont assez longues, et seront en cons´equence bien pay´ees.
Les questions incompl`etement r´edig´ees, ou trop sales, ne seront pas corrig´ees.
Probl` eme 1
◮Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de r´eels. Notons un = O(vn) s’il existe un r´eel A > 0 et un rang n0∈Ntels que|un|6A|vn|pour toutn>n0.
Q1 Dans cette question, nous supposons queun=O(vn) et xn=O(yn). A-t-onun+xn=O(vn+yn) ? Q2 Dans cette question, nous supposons queun=O(vn) et xn=O(yn). A-t-onunxn =O(vnyn) ?
◮Dans les trois questions suivantes, nous supposons queun−−−→n→∞ +∞et queun =O(vn).
Q3 A-t-on eun=O¡ evn¢
? Q4 A-t-on cos(un) =O¡
cos(vn)¢
?
Q5 Nous supposons de plus que les suites (un)n∈Net (vn)n∈Nsont `a termes strictement positifs. A-t-on lnun= O(lnvn) ?
Probl` eme 2
Q1 Soit f ∈ C(R,R) ; soientuetv deux ´el´ements deD(R,R). Justifiez l’existence de la fonction g: x∈R7→
Z v(x)
u(x)
f(t)dt Justifiez ´egalement la d´erivabilit´e deg.
◮Dans toute la suite, nous prenonsg: x∈R7→
Z 2x
x
√ 1
1 +t2+t4dt.
Q2 Explicitez g′(x).
Q3 ⋆ En d´eduire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 5 deg au voisinage de 0.
Q4 Quelle est la parit´e de g? Q5 Pourx6= 0, ´etablirg³ 1
2x
´=g(x).
Q6 Pourt6= 0, ´etablissez l’encadrement 1
1 +t2 6 1
√1 +t2+t4 6 1 t2.
Q7 En d´eduire, pourx >0, l’encadrement arctan(2x)−arctan(x)6g(x)6 1 2x. Q8 ⋆ SoitH: x∈R7→
Z x
0
¡arctan(2t)−arctan(t)¢
dt. Explicitez H(x) et calculez lim
x→+∞
H(x) ln(x). Q9 ⋆ D´eduisez de l’´etude pr´ec´edente un ´equivalentsimple deG(x) =
Z x
0
g(t)dtlorsquextend +∞.
[Contr^ole 1996/08] Compos´e le 8 mars 2008
