Chapitre 1
Les nombres
Les savoir-faire
010. Utiliser la notion de multiples, de diviseurs, de parité et de nombres premiers.
011. Connaître les ensembles de nombres.
012. Utiliser la notion d’intervalles.
013. Donner un encadrement ou arrondir correctement.
014. Calculer avec les puissances.
015. Calculer avec les racines carrées.
016. Connaître la notation|a|.
I. Multiples, diviseurs et nombres premiers
1. Multiples, diviseurs
Soitaet bdeux nombres entiers. S’il existe un nombre entierk tel quea=b×k, on dit que :
— b diviseaoub est undiviseurdea;
— aest unmultipledebou queaestdivisibleparb.
Définition : multiple et diviseur
Exemples :
Donner tous les diviseurs de 24, puis de 13. Vidéo
Soitnun nombre entier.
— nest pair si et seulement s’il existe un entierptel que n= 2p.
— nest impair si et seulement s’il existe un entierptel que n= 2p+ 1.
Propriété : nombres pairs et impairs
Remarque :Si nest impair, alorsn2 est impair.
2. Nombres premiers
Un nombre premier est un nombre qui n’a que deux diviseurs : 1 et lui-même.
Définition : nombre premier
Remarque :
1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même.
Tout nombre entier peut se décomposer de manière unique sous la forme d’un produit de nombres premiers.
Propriété : décomposition d’un nombre entier
Exemples :
Décomposer 300 en produit de facteurs premiers.Vidéo
3. Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible si le numérateur et le dénominateur n’admettent qu’un seul diviseur en commun : 1.
Définition : fraction irréductible
Exemple :
Rendre la fraction 60
126 irréductible.Vidéo
II. Ensembles de nombres
— L’ensemble desentiers naturels, notéN, est l’ensemble des nombres qui peuvent d’écrire sous la forme d’un entier positif :N={0 ; 1 ; 2 ; ...}.
— L’ensemble desentiers relatifs, notéZ, est l’ensemble des nombres qui peuvent d’écrire sous la forme d’un entier positif ou négatif :Z={....; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; ...}.
— L’ensemble desdécimaux, noté D, est l’ensemble des nombres qui peuvent d’écrire sous la forme a 10n aveca∈Zet n∈N.
— L’ensemble des nombres rationnels, notéQ, est l’ensemble des nombres qui peuvent d’écrire sous la forme d’un quotient a
b aveca∈Zet b∈Z∗.
— L’ensemble desnombres réelsest notéR.
Définitions
N 0 23
15 Z
−1 −12
−34 D
−0,475 10−3
−3 4 Q
22 7
−4 3
√2 cos 30˚
π
− r3
4 R
On a :N⊂Z⊂D⊂Q⊂R.
N: ensemble des entiers naturels.
Z: ensemble des entiers relatifs.
D: ensemble des décimaux.
Q: ensemble des rationnels.
R: ensemble des réels.
Vidéo
III. Les intervalles
L’ensemble des nombres réels compris entrea(inclus) etb (inclus) est appeléintervalle et se note [a; b].aet b sont les bornes de l’intervalle.
Définition : Intervalle
Soienta < b deux nombres réels : Ensemble des nombres
réelsxtels que : Représentations Intervalles x6a
a ]− ∞; a]
x > b b ]b; +∞[
a6x < b a b [a; b[
Les intervalles particuliers.
— L’ensemble des réelsRest ]− ∞; +∞[ ;
— L’ensemble des réels positifs s’écrit R+ ou [0 ; +∞[ ;
— L’ensemble des réels négatifs s’écritR−ou ]− ∞; 0] ; Exemple : notation.
Compléter le tableau suivant : Vidéo
Inégalité Intervalle Représentation
26x64
0 1
−1< x63
0 1
]− ∞; 2[
0 1
0 1
— L’intersection de deux intervallesI et J est l’ensemble notéI∩J qui contient les nombres qui appar- tiennent à I et à J.
— La réunion de deux intervallesIetJ est l’ensemble notéI∪J qui contient les nombres qui appartiennent à Iou à J.
Définition : Intersection et réunion d’intervalles
Remarques :
R∗=]− ∞; 0[∪]0 ; +∞[.
Exemple : intersection.
Déterminer l’intersection des intervallesI etJ dans les cas suivants : a.I= [−1 ; 3]et J =]0 ; 4[;
b.I=]− ∞; −1]et J= [1 ; 4].Vidéo
Exemple : réunion.Déterminer la réunion des intervallesIet J dans les cas suivants : a.I= [0 ; 2[etJ = [1 ; 4];
b.I=]3 ; +∞]etJ = [−1 ; 1].Vidéo
Soient a,bet xtrois nombres réels. On dit queaet bencadrent le réelxsia < x < b,aest la borne inférieure de l’encadrement,b est la borne supérieure etb−aest l’amplitude de l’encadrement.
Propriété : encadrement d’un nombre réel par deux nombres
Exemples :
Donner un encadrement de√
2 et de√
3. Vidéo
IV. Puissances entières d’un nombre relatif
1. Notations a
net a
−n.
Pour tout nombre entier npositif non nul, pour tout nombrea: an=a×a×....×a
| {z }
nfacteurs
Et, siaest non nul,a−n= 1
an = 1
a×a×....×a
| {z }
nfacteurs
.
Par convention,a0= 1.
an (lu "apuissancen") est appelépuissance n-ièmedeaetnest appelé l’exposant.
Définition : puissances d’un nombre
2. Calculs avec les puissances
net msont deux entiers relatifs etaun nombre.
an×am=an+m an×bn = (a×b)n an
am =an−msia6= 0 (am)n =an×m Règles de calculs
Exemples :
Exprimer sous la forme d’une seule puisssance : A= 47×45 B= 56
54 C= 823
D= 67×97 E= 1
35 F= 73× 726
Vidéo
V. Racine carrée
1. Définitions
La racine carrée d’un nombre positif aest le nombre positif, noté√
a, dont le carré esta:
√a×√ a= √
a2
=a Définition : racine carrée
Pour tout nombrea,
√a2=a sia >0 et √
a2=−a sia <0.
Règle
Exemples : Réduire des écritures.
Ecrire le plus simplement possible : A= 4√
3−2√ 3 + 6√
3 B= 7√ 2−3√
5 + 8√ 2−√
5 Vidéo
2. Calculs avec des racines carrées
Pour tous nombres positifsaet b:
√a×b=√ a×√
b ; ra
b =
√a
√b avecb6= 0 Règles de calculs
Exemples : appliquer les formules.
Ecrire le plus simplement possible : A=√
32×√
2 B=√
3×√ 36×√
3 C= (4√ 5)2 D=
√98
√2 E=
√50
√72 F =
√32×√
√ 10
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VI. Valeur absolue d’un nombre réel
Sur une droite graduée munie d’une origineO et d’une graduation, on considère un pointM d’abscissex.
La valeur absolue de x, notée|x|est le nombre égal à la distanceOM.
|x|=OM
+ + +
O M
x +
I 1 Définition : valeur absolue et distance
La valeur absolue d’un nombre réelxest le nombre|x|tel que|x|=
(x si x>0
−x six <0 . Propriété : valeur absolue
Remarque :
Pour tout nombre réelx, on a :√
x2=|x|
Exemples :
Ecrire sans valeur absolue chacun des nombres suivants :
| −7| ; |4| ; |π−2| ; |1−√
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