Concours blanc

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Durée : 4 heures

Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction.

Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque cas, la numérotation des questions traitées.

Le nombre de points attribué à chaque question dépend de la longueur et de la difficulté de la réponse attendue.

Les applications numériques, les commentaires apportés sur les résultats obtenus, constituent une partie non négligeable dans le barème d'évaluation.

Les copies rendues seront numérotées. Pour 3 feuilles rendues, par exemple, on numérotera : 1/3 ; 2/3 ; 3/3. On notera soigneusement le numéro des questions traitées.

On prêtera attention à l’orthographe, à la mise en évidence des résultats (encadrer les expressions littérales, souligner les résultats numériques), à l’homogénéité dimensionnelle, à la présence des unités et au nombre de chiffres significatifs pour les applications numériques.

Le sujet comporte quatre parties indépendantes, repérées par les lettres A à D.

A. Rapport des capacités thermiques d’un gaz parfait.

On considère un cylindre fermé par un piston coulissant sans frottement. Le cylindre contient V1 = 0,500 m³ d’air à la pression de P1 = 400 kPa et à la température de T1 = 27,0 °C (soit T1 = 300 K).

Un élément chauffant électrique (résistance) est plongé dans le cylindre et permet de chauffer le gaz. On considère la résistance de capacité calorifique négligeable. La résistance est alimentée par un courant d’intensité I = 2,00 A pendant 5,00 minutes, sous une différence de potentiel électrique de U = 120 V.

Pendant l’évolution, le gaz se détend à pression constante. On considère également des fuites thermiques : un transfert thermique Qc = 2,80 kJ est perdu par le système au profit du milieu extérieur. On suppose que l’air est un gaz parfait, et que la transformation est infiniment lente.

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Données :

• masse molaire de l’air : M = 29,0 g.mol⁻¹.

• la capacité thermique massique de l’air est constante et vaut cp = 1,003 kJ.kg⁻¹.K⁻¹

• la constante molaire des gaz parfaits : R = 8,314 J.mol⁻¹.K⁻¹.

On note Cp et CV les capacités thermiques à pression et à volume constant et

γ

le rapport

γ

= Cp/CV, aussi nommé coefficient de Laplace. Ces trois grandeurs seront considérées comme étant constantes vis-à-vis de la température et de la pression.

A-1) Rappeler l’équation d’état d’un gaz parfait. On désigne par n le nombre de moles.

A-2) Rappeler la relation qui lie la fonction d’état enthalpie H à la fonction d’état énergie interne U.

A-3) Rappeler les définitions de CV et Cp. Comment se simplifient ces définitions dans le cas d’un gaz parfait ? A-4) Montrer que pour un gaz parfait : Cp − CV = n.R (relation de Mayer).

A-5) Exprimer CV et Cp en fonction de n, R et

γ

.

A-6) Ici on nous donne cp la capacité thermique massique à pression constante. Exprimer Cp en fonction de cp

et des données du problème.

Calcul de la température finale

A-7) Justifier la relation existant entre la variation d’enthalpie et le transfert thermique reçu par le fluide dans les conditions de l’expérience.

A-8) En déduire la température finale T2 en fonction de Cp la capacité thermique et des données du problème.

A-9) Faire l’application numérique.

A-10) Montrer que la situation étudiée permet d’évaluer expérimentalement le coefficient de Laplace

γ

= Cp/CV

à partir de la mesure de la variation de température subie par le gaz, en supposant que le dispositif a été modifié pour pouvoir négliger les fuites thermiques.

B Autour de l’expérience de Rüchardt …

Dans cette expérience, un gaz subit une transformation dite « adiabatique réversible » très courante en Thermodynamique. Lors de cette transformation, la pression P du gaz et son volume V vérifient à chaque instant la relation PV^ Cte, où le coefficient

γ

, supposé ici constant, est caractéristique du gaz.

Le but de ce problème est l’étude de l’expérience de Rüchardt servant à mesurer le coefficient

γ

d’un gaz, ici l’air.

Cet air est contenu dans un récipient de volume Vo = 4,0 L surmonté d’un tube en verre de section s = 2,0 cm² et de hauteur H = 80 cm. Le volume Vo est grand devant le volume H*s du tube.

Une bille en acier de masse m = 17 g peut se déplacer dans ce tube. Le diamètre de la bille est très voisin de celui du tube si bien que la bille se comporte comme un piston étanche de section s.

On note Pa = 1,0 bar la pression atmosphérique.

On néglige les frottements dans un premier temps. L’intensité du champ de pesanteur vaut g = 9,8 ms^-2. Dans tout le problème les gaz sont supposés parfaits. On note

n

le nombre de moles d’air enfermé dans le système, P sa pression, V son volume et T sa température.

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On donne : (1)^k 1k pour 1.

La constante des gaz parfaits vaut R = 8,314 J.mol⁻¹.K⁻¹.

La masse volumique de l’air sera prise égale à M = 29,0 g.mol⁻¹. 1) Etude du mouvement de la bille en régime libre

Lors des mouvements de m, on repère la position de la bille par sa cote z(t) comptée par rapport au haut du tube ; l’axe des z est orienté vers le bas (voir figure 1 ci-dessus).

On lâche la bille sans vitesse initiale depuis le haut du tube (z = 0). La bille effectue des oscillations dans le tube.

En z = 0, la pression vaut bien sûr P_a.

B-1) Exprimer le volume V d’air dans le dispositif, en fonction du volume Vo, de la hauteur H du tube et de sa section s et de la cote z de la bille.

Montrer que la variation relative de la pression s’écrit : 𝑃 − 𝑃

𝑃 = 1 − 𝑠. 𝑧

𝑉 + 𝐻. 𝑠 − 1

En tenant compte de la faible variation du volume V provoquée par les mouvements de la bille, en déduire la relation :

𝑃 − 𝑃

𝑃 − 𝛾. 𝑠. 𝑧

𝑉 + 𝐻. 𝑠= 0

Cette relation pourra être exploitée dans la suite du sujet même si son établissement a posé difficulté.

B-2) Rappeler l’expression de la poussée d’Archimède qui s’exerce sur un corps de volume V totalement immergé dans un fluide de masse volumique .

Calculer l’ordre de grandeur de la masse volumique de l’air à 300 K et 1,0 bar en l’assimilant à un gaz parfait.

Sachant que la masse volumique de l’acier est ρac = 7,8.10³ kg.m^-3, doit-on tenir compte de la poussée d’Archimède dans cette expérience ?

B-3) On rappelle que l’on néglige les frottements. Appliquer le principe fondamental de la dynamique à la bille à un instant t quelconque. Donner l’équation différentielle vérifiée par z(t). En déduire que la période ^To des oscillations est donnée par :

𝑇 ² =4𝜋²𝑚. (𝑉 + 𝐻. 𝑠) 𝛾𝑠²𝑃 La mesure de To permet donc de déterminer



.

B-4) En tenant compte des conditions initiales, donner l’expression de z(t) en fonction de g, t et ωo = 2π/To. B-5) En déduire la valeur maximale zmax de z atteinte au cours du mouvement en fonction de g et _o. Proposer alors une deuxième méthode pour mesurer



.

2) Mesures et exploitation en régime libre

Un capteur de pression permet de suivre les oscillations grâce aux variations de la pression. Il délivre une tension

u

_P, reproduisant les variations de la pression P.

Pour améliorer la précision des mesures, on fait varier le volume du récipient V_o en introduisant de l’eau dans le récipient. Initialement le volume disponible est minimal noté V_oi et on mesure une période T_oi. On peut alors retirer progressivement de l’eau, le volume d’air dans le récipient prenant les valeurs : V_okV_oikV₁, où k est un entier et ^V1 est un volume constant. Pour chaque volume ^Vok, on mesure la période ^Tk des oscillations de la bille.

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B-6) Ecrire ^T_k² en fonction de k. Quel type de courbe obtient-on ? En déduire une méthode pour mesurer le coefficient  de l’air. Dire en quoi cela améliore la méthode de la question (B-3).

B-7) La figure 2 ci-dessous est un enregistrement obtenu à l’oscilloscope des oscillations de la bille. On a utilisé pour le faire le mode de déclenchement de l’oscilloscope « SINGLE » (monocoup). Pourquoi ?

B-8) Mesurer la pseudo-période T des oscillations amorties sur cet enregistrement (on confondra T et T_o dans cette question). En déduire .

B-9) Les oscillations observées sont donc amorties. Proposer deux sources de dissipation de l’énergie.

B-10) Pour simplifier, on modélise cet amortissement par une force 𝐹⃗ = −𝜆𝑣⃗ . Ecrire la nouvelle équation différentielle vérifiée par z(t) en tenant compte de cette force supplémentaire 𝐹⃗.

B-11) La mettre sous la forme : ^••𝑧+ 𝑧^•+ 𝜔 𝑧 = 𝑐𝑡𝑒. Donner l’expression de Q en fonction de λ, m et ωo. Comment s’appelle ωo ? Comment s’appelle Q ? Donner l’unité et la dimension de ωo. Donner la dimension de Q en la justifiant.

A quelle condition sur Q obtient-on des oscillations amorties ?

B-12) Etablir l’expression littérale de la pseudo-période T des oscillations amorties en fonction de _o et Q.

L’amplitude A(t) des oscillations décroît exponentiellement : 𝐴(𝑡) = 𝐴 . 𝑒 ^. . Que vaut b en fonction de _o et Q ?

On considère que les oscillations sont négligeables quand leur amplitude est inférieure à 5% de l’amplitude initiale. Montrer que l’amplitude A(t) devient négligeable devant Ao au bout de Q oscillations.

En déduire une valeur approximative de Q sans calcul à partir de l’enregistrement de la figure 2.

L'expression de la période des oscillations utilisée à la question B-8) est-elle valide ?

3) Etude en régime forcé

Voici une autre façon d’exploiter ce dispositif …

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Grâce à un petit électroaimant alimenté à la pulsation  (non représenté sur la figure 1), on peut imposer à la bille de masse m une force supplémentaire F_ocost u_z. On ne néglige pas les frottements qui sont modélisés par une force F v.

On branche l’électroaimant et on attend que le régime forcé s’établisse.

On pose Z(t)z(t)z_eq où z_eq est la cote de m à l’équilibre.

On admet que l’équation différentielle vérifiée par Z(t) est : 𝑍

••

+𝜔

𝑄 𝑍^• + 𝜔 𝑍 =𝐹

𝑚𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑡 où Q et _o des constantes.

B-13) En régime sinusoïdal forcé, 𝑧(𝑡) = 𝑍 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑). Donner l’expression de l’amplitude complexe Z_oZ_oe^j de Z(t) où j² 1. En déduire l’amplitude ^Zo des oscillations forcées en fonction de ^Fo, m, Q, _o et de la pulsation réduite u = ω/ωo.

B-14) Etudier la courbe donnant l’amplitude ^Zo des oscillations forcées en fonction de u. Tracer son allure : on distinguera deux cas suivant la valeur de Q.

On précisera les points particuliers suivants : valeur de l’amplitude des oscillations forcées en u = 0 et pour u tendant vers l’infini, position d’éventuels extrema. On suggère d’étudier ^1/Zo2 plutôt que ^Zo pour alléger les calculs.

B-15) Dans l’expérience de Rüchardt étudiée ici, Q vaut quelques unités. En utilisant la question précédente, proposer une méthode pour déterminer _o.

La mesure de _o permet ensuite de remonter au coefficient  mais ce calcul n’est pas demandé dans cette question.

C Etude sommaire de l’optique d’un dispositif photographique de smartphone

On envisage de filmer l’expérience précédente au moyen d’un téléphone portable. Les smartphones intègrent une fonction appareil photographique-camera. Les parties optiques des dispositifs photographiques sont de conception très simple afin que le prix de revient soit le plus bas possible et que leur encombrement et leurs poids soient minimes, tout en atteignant de très bonnes performances grâce à la sensibilité des capteurs numériques. On examine ci-après les conditions dans lesquelles une image nette peut être obtenue.

Rappel : relations de conjugaison et de grandissement

Pour un objet AB, d’image A’B’ à travers une lentille mince de centre optique O, de foyer objet F et de foyer image F’, de distance focale image f’ :

Formules de Descartes : Formule de conjugaison :

1 OA′ − 1

OA = 1 OF′ = 1 Formule de grandissement : f′

γ = A′B′

AB = OA′

Formules de Newton : OA Formule de conjugaison :

FA. F′A′ = −f′

lentille de focale f’

capteur CCD

d

6 Formules de grandissement :

γ = A′B′

AB = f′

FA = − F′A′

f′

L’objectif n’est composé que d’une seule lentille mince L, de focale f’, de diamètre utile DL et le capteur CCD se situe à une distance d fixe de la lentille. Aucune mise au point n’est possible, c’est à dire que la distance d est fixée lors de la fabrication et n’est pas modifiable par l’utilisateur ou par un dispositif autofocus, contrairement au cas des objectifs classiques. Nous travaillerons dans les conditions de Gauss.

C-1) Rappeler en quoi consistent les conditions de Gauss ainsi que leurs avantages et leurs inconvénients.

C-2) Comment fait-on en pratique pour travailler dans les conditions de Gauss ?

C-3) En fonctionnement usuel, les objets et les images données par L sur le capteur sont réels. En s’intéressant à la nature convergente ou divergente du faisceau incident et du faisceau émergent, justifier la nature convergente ou divergente de la lentille L servant d’objectif.

C-4) L’objet à photographier étant situé à l’infini, déterminer la valeur de la distance d qu’il faudrait prévoir lors de la fabrication pour que son image soit nette sur le capteur CCD.

Quelle est alors la dimension X sur le capteur de l’image de la Lune qui a un diamètre apparent correspondant à l’angle  = 9,00.10^-3 rad ? On pourra s’aider d’une construction pour répondre.

Faire l’application numérique pour f’ = 3,90 mm.

Un objet ponctuel A, qui n’est pas situé à l’infini, a son image en dehors du plan du capteur et donne sur le capteur CCD une tache de diamètre DA’. Soit dA la distance entre le point A et la lentille (dA est une distance, et est donc positive).

A O A’

dA

capteur lentille

tache de diamètre DA’

C-5) Exprimer la distance OA’ en fonction de f’ et dA.

C-6) Montrer que l’expression de DA’ en fonction de DL (diamètre utile de la lentille), f’ et dA est : 𝐷 = 𝐷 .𝑓

𝑑

C-7) Le capteur est formé de récepteurs que l’on supposera circulaires et de même diamètre . Une image, après codage numérique et affichage sur l’écran de l’appareil, paraît nette si un point objet n’a éclairé qu’un seul grain récepteur du capteur et a donc donné finalement une tache de diamètre inférieur ou égal à .

Sachant que f’ = 3,90 mm, que DL = 2,00 mm et que  = 15,0 m, calculer numériquement la position du point A (donnée par dA) le plus proche qui est encore net après traitement.

Afin de pouvoir diminuer dA, on augmente la distance d afin qu’un point à l’infini soit à la limite de netteté : il donne donc une tache de diamètre  sur le capteur.

C-8) Faire un schéma du dispositif montrant la tache donnée par l’objet à l’infini.

C-9) Déterminer la nouvelle valeur de d et faire l’application numérique.

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C-10) Déterminer la nouvelle distance dA correspondant au point le plus près donnant lui aussi une tache de diamètre  sur le capteur CCD en fonction de f’, DL, ε et d et faire l’application numérique. Comment vérifier rapidement la cohérence de cette expression avec le résultat du (C-7) ?

D Guirlandes électriques de Noël

On cherche à optimiser l’alimentation électrique d’un système comportant deux guirlandes électriques numérotées 1 et 2 et modélisées par des résistors de résistances identiques R1 = R et R2 = R.

La première guirlande est dédiée à un fonctionnement continu. La seconde est associée avec un interrupteur K en série qui bascule de manière périodique afin de produire un clignotement.

On supposera que la puissance lumineuse fournie par ces guirlandes est proportionnelle à la puissance électrique qu’elles reçoivent.

1) Système de base

On considère dans un premier temps le circuit ci-contre alimenté par un générateur réel de f.e.m. E et de résistance interne r.

D-1) Lorsque l’interrupteur K est ouvert, établir l’expression du courant iouvert puis l’expression de la puissance électrique P1,ouvert

reçue par la guirlande R1. Quelle est dans cette configuration la puissance reçue P2,ouvert par la seconde guirlande R2 ?

D-2) On considère maintenant le cas où l’interrupteur K est fermé. Quelle est alors la nouvelle expression pour le courant ifermé ? En déduire les courants i1 et i2 circulant dans les deux guirlandes.

D-3) Quelles sont alors les puissances P1,fermé et P2,fermé reçues par les deux guirlandes ?

D-4) La puissance reçue par la première guirlande (celle qui ne doit pas clignoter) est-elle identique lors les deux régimes étudiés ? Interpréter ce résultat.

D-5) Comment doit-on choisir r par rapport à R pour limiter cet effet ? Cette condition est-elle vérifiée pour r = 1,0 Ω et R = 2,0 Ω ?

2) Système amélioré

On considère maintenant le circuit ci-contre afin de limiter la variation de puissance électrique reçue par la première guirlande donc la variation du courant i1.

Une bobine d’inductance L a donc été ajoutée en série avec la première guirlande. L’interrupteur K est ouvert de manière périodique pour t ∈ [0, T/2[ et fermé pour t ∈ [T/2, T[.

D-6) Établir l’équation différentielle dont i1 est solution sur l’intervalle [0, T/2[. On fera apparaitre un temps caractéristique τo.

D-7) Vérifier ensuite que l’ajout de la bobine ne va pas modifier la valeur du courant i en régime permanent en le comparant à celui trouvé à la question D-1).

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D-8) On s’intéresse maintenant à l’intervalle [T/2, T[, lorsque l’interrupteur est fermé. Montrer que i1 est alors solution de l’équation suivante :

𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 1

𝜏 𝑖 = 𝐸/𝐿 1 +𝑟 avec : 𝑅

𝜏 =𝐿 1 +𝑟 𝑅 𝑅 + 2𝑟

D9) Vérifier ensuite que l’ajout de la bobine ne va pas modifier la valeur du courant i1 en régime permanent en le comparant à celui trouvé à la question D-2).

3) Étude expérimentale

On étudie ensuite expérimentalement les variations du courant i1 en mesurant la tension aux bornes de la guirlande R1 à l’aide d’un oscilloscope et on obtient le résultat suivant pour deux valeurs différentes de l’inductance L.

D-10) Retrouver la valeur de L1 à partir de l’étude graphique (on rappelle que r = 1,0 Ω et R = 2.0 Ω) en expliquant votre démarche. Justifiez ensuite brièvement que L2 ≫ L1 sans chercher à déterminer sa valeur.

D-11) Quelle est la valeur de l’inductance à retenir parmi L1 et L2 pour minimiser les variations du courant passant dans la première guirlande ? Justifier soigneusement votre réponse.