Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015
D. Blottière Mathématiques
Concours blanc
Mercredi 13 mai de 13h à 17h
L’évaluation prendra significativement en compte :
• la présentation ;
• la clarté des explications ;
• le soin porté à l’argumentation des réponses ;
• la justesse du vocabulaire et des symboles employés.
Problème 1
Terminologie : On dit que deux suites (an)n≥1et (bn)n≥1, dont les termes sont tous non nuls à partir d’un certain rang, sont équivalentes si :
an bn →1.
On note alorsan∼bn. 1. Questions de cours
(a) Démontrer que si (un)n∈Nest une suite croissante et non majorée, alors elle diverge vers+∞. (b) Démontrer que si (un)n∈Nest une suite croissante et majorée, alors elle converge.
(c) Établir une condition nécessaire et suffisante pour qu’une suite décroissante soit convergente.
2. Étude de la série harmonique
On considère la suite (Hn)n≥1définie pour tout entier natureln≥1 par : Hn:=
n
X
k=1
1 k.
(a) Soitn∈N∗. Donner une interprétation graphique deHn, à partir de la représentation graphique de la fonction inverse sur [1,n+1].
(b) i. Démontrer que, pour tout entier natureln≥1 : H2n−Hn≥1
2. ii. La suite (Hn)n≥1est-elle convergente ?
(c) i. Démontrer que, pour tout entier naturelknon nul : 1
k+1≤ Zk+1
k
1 t d t≤1
k. ii. En déduire que, pour toutn≥1 :
Hn−1≤ln(n)≤Hn. iii. Démontrer :Hn∼ln(n).
(d) On pose, pour toutn≥1,γn:=Hn−ln(n). Démontrer que la suite (γn)n≥1est convergente.
1
3. La convergence d’une suite implique sa convergence au sens de Cesàro À toute suite (un)n≥1, on associe la suite (vn)n≥1définie par :
∀n≥1, vn:=1 n
n
X
k=1
uk.
On dit que la suite (un)n≥1converge au sens de Cesàro si la suite (vn)n≥1converge.
(a) Soit (un)n≥1une suite de limite nulle etε>0.
i. Démontrer qu’il existen0∈N∗tel que, pour tout entier natureln≥n0: 1
n Ãn
X0 k=1
uk
!
−ε≤vn≤1 n
Ãn X0 k=1
uk
! +ε.
ii. En déduire que la suite (vn)n≥1converge vers 0.
(b) Énoncer et démontrer la généralisation du résultat précédent au cas où la suite (un)n≥1converge vers un réelℓquelconque.
4. La convergence d’une suite au sens de Cesàro n’implique pas sa convergence Pour toutn∈N∗, on pose :
un:=(−1)n et vn:= 1 n
n
X
k=1
uk. (a) Démontrer que la suite (un)n≥1est divergente.
(b) Démontrer que la suite (vn)n≥1est convergente.
5. Étude d’une suite récurrente
On considère la suite (xn)n≥1définie parx1:=1 et la relation de récurrence : xn+1=xn(1+xn)
1+2xn valable pour tout entier natureln≥1.
(a) Démontrer que, pour tout entier natureln≥2 : 0<xn<1.
(b) Démontrer que la suite (xn)n≥1est décroissante.
(c) La suite (xn)n≥1est-elle convergente ? Si oui, déterminer sa limite.
(d) Vérifier que, pour toutn∈N∗:
1 xn+1
− 1 xn
= 1 1+xn
. (e) Pour tout entier natureln≥1, on pose :
un:= 1 xn+1
− 1
xn et vn:=1 n
n
X
k=1
uk. i. Justifier :un→1.
ii. Soitn∈N∗. Exprimervnen fonction dexn+1etx1. iii. En déduire :xn∼1
n.
2
6. Étude de la suite(sin(nα))n≥1, oùαest un paramètre réel Soitα∈R. Pour toutn∈N∗, on pose :
un:=sin(nα) et vn:=1 n
n
X
k=1
uk. (a) Pour tout entier natureln≥1, on pose :
cn:=cos(nα).
Exprimerun+2−unen fonction decn+1, etun+2+unen fonction deun+1. (b) Que dire des suites (un)n≥1et (vn)n≥1, dans le cas oùα∈{kπ:k∈Z} ? (c) Désormais, on suppose queαn’appartient pas à {kπ:k∈Z}.
i. On fait l’hypothèse que la suite (un)n≥1converge. En utilisant les deux relations établies à la ques- tion 6.(a), démontrer qu’alors la suite (cn)n≥1converge également et préciser les limites des suites (un)n≥1et (cn)n≥1.
ii. Conclure quant à la convergence de la suite (un)n≥1.
iii. En remarquant que, pour tout entier naturelk≥1, sin(kα)=Im¡ ei kα¢
, démontrer que la suite (vn)n≥1converge et donner la valeur de sa limite.
Problème 2
On noteI3la matrice identité de format 3×3 et on pose :
M:=
2 1 1 1 2 1 1 1 2
et J:=M−I3.
1. Étude de la matrice M
(a) En appliquant l’algorithme du pivot de Gauß, démontrer que la matriceMest inversible et calculer son inverse.
(b) ExprimerJ2en fonction deJ.
(c) Déduire de la question 1.(b) une preuve alternative des deux résultats obtenus à la question 1.(a).
(d) On introduit la suite (un)n≥1définie paru1:=1 et la relation de récurrence : un+1=4un+1
valable pour tout entier natureln≥1. Démontrer, au moyen d’un raisonnement par récurrence, que, pour tout entier natureln≥1 :
Mn=I3+un.J. (e) Expliciter les coefficients de la matriceMn, pour toutn∈N∗.
2. Application aux probabilités
Un petit garçon, prénommé James, a dessiné un triangle équilatéral dans la cour de récréation. Il a ap- pelé les sommets du triangleA,B,C. À l’instant 1, James est situé sur le sommetA. Ensuite, à chaque instant, James effectue un bond sur un sommet du triangle, de manière aléatoire.
• Si James est enA, alors il sautera surA,BouCavec des probablilités respectives de1 2,1
4et1 4.
• Si James est enB, alors il sautera surA,BouCavec des probablilités respectives de1 4,1
2et1 4.
• Si James est enC, alors il sautera surA,BouCavec des probablilités respectives de1 4,1
4et1 2. Ainsi, James peut-il sauter sur place.
3
Les données listées dans les trois points précédents peuvent être illustrées par le graphe ci-dessous.
?>=<
89:;76540123A
1/2 55 1/4 66
1/4
?>=<
89:;76540123B 1/2
ii
1/4
vv
1/4
?>=<
89:;76540123C
1/2
UU
1/4
MM
1/4
Pour tout entier natureln≥1, on pose :
• An:=« James est sur le sommetAà l’instantn» etan:=P(An) ;
• Bn:=« James est sur le sommetBà l’instantn» etbn:=P(Bn) ;
• Cn:=« James est sur le sommetCà l’instantn» etcn:=P(Cn) ;
• Xn:=
an
bn
cn
∈M3,1(R).
(a) Donner la valeur deX1. (b) Soitn∈N∗.
i. Justifier queAn,Bn,Cnest un système complet d’événements.
ii. Exprimeran+1en fonction dean,bn,cn. De même, exprimerbn+1en fonction dean,bn,cn, puis exprimercn+1en fonction dean,bn,cn.
(c) En déduire une matriceU∈M3(R), telle que, pour tout entier natureln≥1 : Xn+1=U Xn.
(d) Démontrer, au moyen d’un raisonnement par récurrence, que :
∀n∈N∗, Xn=Un−1X1.
(e) Déduire des questions 1.(e) et 2.(d), des formules explicites pouran,bn,cn, pour toutn∈N∗. (f) Étudier le comportement asympotitque des suites (an)n≥1, (bn)n≥1, (cn)n≥1.
(g) Comment interpréter le résultat de la question 2.(f) ?
b b b F˚i‹nffl `d`e ˜l„`é˙p˚r`eˇu‹vfle c c c
4
