Problème E439 – Solution de Jean Drabbe
Nous utiliserons un théorème dû à Euler. L'histoire détaillée de ce résultat est décrite dans les ouvrages [1] et [2].
Traitant une situation générale, nous supposerons que les joueurs marquent un nombre quelconque n > 1 à l'intérieur du triangle (équilatéral) de base.
Il est clair qu'en fin de partie le triangle de base se trouve recouvert par un ensemble T de triangles vérifiant :
(a) l'ensemble des sommets des triangles de T est exactement l'ensemble des n + 3 points de l'énoncé,
(b) L'intersection de deux composantes distinctes de T est soit vide, soit réduite à exactement un côté commun.
Notons
T le nombre de composantes de T,
A le nombre de segments tracés par les joueurs à l'intérieur du triangle de base au cours de la partie.
La version « théorie des graphes » du théorème d'Euler nous apprend que
T + n - A = 1
Il n'est pas difficile de vérifier que 2•A = 6 + 3•(T-3) . On déduit de ces deux égalités que A = 3 n .
Conclusion : Le vainqueur est complètement déterminé par la parité du nombre n de points marqués par les joueurs à l'intérieur du triangle de base.
Le joueur qui commence est gagnant si et seulement si n est impair.
[1] BIGGS, N., LLOYD, E., WILSON,R., Graph Theory 1736-1936, Oxford University Press (1976).
[2] PONT, J.-C., La topologie algébrique des origines à Poincaré, Presses Universitaires de France (1974).
