Thermodynamique des gaz parfaits

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Enveloppe du Bâtiment Page 1

Chapitre 24

Sciences Physiques

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BTS

Thermodynamique des gaz parfaits

1 Le modèle du gaz parfait

1.1 Définition

On appelle gaz parfait un ensemble de molécules sans interaction entre elles en dehors des chocs élastiques. Les molécules ne s’attirent ou ne se repoussent pas, elles ne font que se cogner les unes aux autres.

Les gaz parfaits ne constituent en fait qu’un modèle qui constitue bien souvent une approximation acceptable. D’autres modèles sont possibles dont le plus connu est celui de Van der Waals.

1.2 Equation d’état des gaz parfaits

La constante des gaz parfaits a pour valeur :

1.3 Masse volumique et densité des gaz parfaits

: pression du gaz [Pa]

: volume du gaz [m³]

: quantité de matière du gaz [mol]

: constante des gaz parfaits [J.mol.K^-1] : température absolue [K]

: masse volumique [kg.m³] : masse molaire [kg.mol^-1] : pression du gaz [Pa]

: constante des gaz parfaits [J.mol.K^-1] : température absolue [K]

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Enveloppe du Bâtiment Page 2 La masse molaire moyenne de l’air vaut 29 g.mol^-1

On en déduit la formule :

2 Mélanges de gaz parfaits

2.1 Définition d’un mélange idéal

Un mélange de gaz parfait est dit idéal quand toutes les particules (qu’elles soient identiques ou non) ne subissent que des chocs élastiques et aucune autre interaction. La pression totale d’un mélange ne dépend alors pas de la nature des gaz présents, mais uniquement de la quantité totale de matière.

2.2 Fraction molaire du constituant d’un mélange

Quantité de matière totale dans le mélange :

Fraction molaire de chaque constituant :

2.3 Pression partielle d’un constituant

2.4 Masse molaire moyenne d’un mélange

La masse molaire moyenne d’un mélange est définie par :

2.5 Masse volumique et densité d’un mélange

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3 Propriétés thermoélastiques des gaz parfaits

3.1 Transformation isochore : loi de Charles

L’échauffement (ou refroidissement) à volume constant d’une quantité de matière fixe d’un gaz parfait permet d’écrire :

Une autre formulation de cette loi peut être utile :

3.2 Transformation isobare : loi de Gay-Lussac

L’échauffement (ou refroidissement) à pression constante d’une quantité fixe d’un gaz parfait permet d’écrire :

3.3 Transformation isotherme : loi de Mariotte

3.4 Transformation adiabatique : loi de Laplace

Lorsqu’une transformation est adiabatique et réversible, il existe une relation entre deux paramètres :

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3.5 Coefficient de dilatation des gaz

3.6 Coordonnées de Clapeyron

Les coordonnées de Clapeyron permettent de représenter les transformations réversibles. Cette transformation utilise le volume en abscisse et la pression en ordonnée

3.6.1 Transformations isothermes réversibles

3.6.2 Transformations isochores réversibles

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Enveloppe du Bâtiment Page 5 3.6.3 Transformations isobares réversibles

3.6.4 Transformations adiabatiques réversible

Le tracé de quelques isotherme superposées à la courbe précédente montre que les adiabatiques décroissent plus rapidement que les isothermes.

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4 1

^er

Principe de la thermodynamique pour les gaz parfaits

4.1 Energie interne

 Remarque : La variation d’énergie interne pour un gaz parfait ne dépend que de la quantité de matière et de l’écart de température entre l’état initial et final.

 Rappel : L’énergie interne est un terme « forfaitaire » comptabilisant l’ensemble des énergies microscopiques

4.2 Relation de Mayer

On peut démontrer les relations suivantes :

4.3 Enthalpie

 Rappel : La fonction enthalpie permet de simplifier le calcul des échanges d’énergie pour les transformations isobares. Cette fonction ne comptabilise pas les échanges d’énergie dus au travail des forces de pression (conséquence de la variation de volume)

: variation d’énergie interne *J+

: capacité thermique molaire à volume constant [J.mol^-1.K^-1]

: capacité thermique massique à volume constant [J.mol^-1.K^-1]

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5 Expression du travail des forces de pression

5.1 Représentation en coordonnées de Clapeyron

5.2 Transformation isochore

Expression générale du travail des forces de pression

Dans le cas d’une transformation isochore : dV =0 donc W = 0

W désigne l’énergie reçue par l’extérieur sous forme de travail des forces de pression *J+

5.3 Transformation isobare

: énergie reçue par l’extérieur sous forme de travail des forces de pression [J]

: variation de volume [m³]

: pression constante à laquelle se réalise la transformation [Pa]

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5.4 Transformation isotherme réversible

Ainsi :

5.5 Transformation adiabatique réversible

On peut démontrer que :

6 Energie échangée par transfert thermique

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7 Exemple de machine à cycle : la pompe à chaleur

Une pompe à chaleur est une machine thermique dans laquelle le fluide qui subit une transformation cyclique est du fréon R12 (CF2Cl2)

Description du cycle :

Le fluide caloporteur sort à l’état gazeux du serpentin de l’évaporateur E situé à l’extérieur.

(Pression PF et température TF de la source froide) – étape notée 6. Il a reçu de l’énergie thermique QF.

Il passe dans le compresseur qui le comprime à la pression PC . Cette compression rapide est isentropique (adiabatique) : le fréon s’échauffe – étape notée 2. Le compresseur a amené un travail W.

Le fréon arrive dans le serpentin du condenseur C situé à l’intérieur de l’habitation. Le gaz se refroidit jusqu’à la température TC de la source chaude et se liquéfie sous la pression PC. – étape notée 3.

Il passe dans une vanne de détente qui le ramène à la pression PD. La détente est adiabatique.

A l’arrivée dans le serpentin de l’évaporateur E, le fluide se vaporise sous la pression PD et à la température TF de la source froide.

Bilan énergétique :

Le fluide reçoit le travail W du compresseur

Le fluide cède à la source chaude la chaleur QC dans le condenseur où il se liquéfie Le fluide reçoit de la source froide la chaleur QF dans l’évaporateur pour se vaporiser Rendement :

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Chapitre 23

Sciences Physiques

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Exercices

 Exercice 1

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 Exercice 2 Etude d’une machine frigorifique

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 Exercice 3 : Détente isotherme d’un gaz parfait

1 m³ d’air (supposé gaz parfait), à la pression p1 = 10 atmosphères, subit une détente, à température constante ; la pression finale est p2 = 1 atmosphère.

Déterminer le travail échangé par le gaz avec le milieu extérieur, au cours de cette détente, ainsi que la quantité de chaleur échangée avec le milieu extérieur. On rappelle que 1atm = 10⁵ N/m²

 Exercice 4 : Compression adiabatique d’un gaz parfait

Un récipient, fermé par un piston mobile, renferme 2g d’hélium (gaz parfait, monoatomique) dans les conditions (p1, v1). On amène le gaz dans les conditions (p2, v2). On donne p1 = 1 atm, v1 = 10L et p2 = 3 atm.

1. Déterminer : 2. Le volume final v2 ; 3. Le travail reçu par le gaz ;

4. La variation d’énergie interne du gaz ;

5. En déduire l’élévation de température du gaz, sans calculer la température initiale T1.

 Exercice 5 : Equation de la statique des fluides

Deux vases A1 et A2 de sections S1 = 50 cm² et S2 = 10 cm², dont les bases sont dans un même plan horizontal, communiquent par un tube fin de volume négligeable, muni d’un robinet R initialement fermé. On verse un litre de mercure dans A1 et 0.5 litre de mercure dans A2.

Déterminer les déplacements x1 et x2 des deux niveaux de mercure lorsqu’on ouvre le robinet.