L3S6 Math-Eco
Optimisation Non Lin´ eaire
Ann´ee 2011-2012 Contrˆole Terminal
Dur´ee : 2h Documents interdits ; calculatrice type coll`ege autoris´ee (non programmable).
Il sera tenu compte de la r´edaction et de la rigueur des justifications.
Le barˆeme est donn´e `a titre indicatif et pourra ˆetre modifi´e.
Exercice 1 (4 points) On consid`ere le probl`eme d’un consommateur qui cherche `a maximiser son utilit´e sous contrainte de budget. Il doit partager son revenuM entre la nourriture (N) et les habits (H), avec prixPN etPH, afin de maximiser la fonction d’utilit´e suivante :
U(N, H) =αln(N −N0) + (1−α) ln(H−H0).
Exercice 2 (6 points) Une entreprise produit deux types de widgets :Aet B. Soient X et Y la quantit´e de mod`elesA etB produits dans une semaine respectivement. Le mod`eleAn´ecessite2heures de temps machine par article, tandis que le mod`ele B requiert 1.5 heures de temps machine par article.
Chaque heure de temps machine coˆute2 euros, que ce soit pour le typeA ou pour le typeB. Le travail total et le coˆut mat´eriel (n’incluant pas les heures machine) pour produireX unit´es de typeA est4X−0.1X2+ 0.02X3, tandis que pour Y de type B, le coˆut est 4.5Y −0.1Y2+ 0.02Y3. Les courbes de demande pour les types A et B sont donn´ees par
X= 80−0.5PA+ 0.3PB, Y = 70 + 0.25PA−0.4PB,
o`u PA et PB sont les prix en euros de A et B respectivement. Les deux contraintes sur la production sont : il y a au maximum 80 heures de temps machine disponible par semaine (le reste du temps est requis pour la main- tenance) et l’entreprise doit produire au moins40 widgets par semaine.
Quelle est la quantit´e optimale de typesAetB que doit produire l’entreprise pour maximiser le profit ?
Exercice 3 (5 points) Un agent est localis´e en un point x(0) du segment [−1,1]. Il souhaite atteindre le point 0. Mais voyager est sujet `a des coˆuts convexes. Ainsi, voyager `a vitesse y coˆute y2. De plus, chaque p´eriode, l’agent paye un coˆut x2 pour ˆetre `a distance x du point 0. Ainsi, l’objec- tif de l’agent est de minimiser
Z ∞
0
e−ρt x(t)2+y(t)2 dt,
avec
x0(t) =y(t), x(t)∈[−1,1]
et x(0) donn´e.
1
Exercice 4 (5 points) On consid`ere le probl`eme d’une compagnie de p´etrole qui veut maximiser les profits d’un puits de p´etrole. Le revenu au temps t est donn´e par
R(t) =p(t)u(t),
o`u p est le prix du p´etrole et u est la quantit´e de p´etrole qui est extraite et vendue. La fonction de coˆut de la compagnie est quadratique en la quanti´e de p´etrole qui est extraite
C(t) = 0.05u(t)2.
La quantit´e de p´etrole qui reste dans le puits satisfait la relation
x(t+ 1) =x(t)−u(t).
Comme le p´etrole est une ressource non renouvelable, pomper une quantit´e u `a l’instant t signifie qu’il y aura exactement cette quantit´e en moins `a l’instant t+ 1.On suppose que la compagnie applique un facteur de d´ecˆote β= 0.9pour des sources de profits futurs. On suppose aussi que la compagnie compte sur ce que le puits soit ´epuis´e dans4ans, ce qui signifie quex4= 0.
La question est donc : combien de p´etrole doit ˆetre pomp´e aux temps t = 0, . . . ,3 pour maximiser le profit ? On suppose que
x(0) = 1000
et
p(0) = 20, p(1) = 22, p(2) = 30, p(3) = 25.
Le profit est donn´e par
3
X
t=0
βt(p(t)u(t)−0.05u(t)2).
2
El´ ements de correction
Exercice 1 On doit minimiser
−αln(N−N0)−(1−α) ln(H−H0), sous contraintes
−x≤0,−y≤0, N PN +HPH =M.
Pour simplifier, on oublie les contraintes de positivit´e. On obtient N −N0= −α
λPN
, H −H0 =−1−α λPH
, puis
M =PNN+PHH =PNN0+PHH0− 1 λ, et
N =N0+ α
PNM , H˜ =H0+1−α PH M ,˜ avec
M˜ =M −PNN0−PHH0.
Remarquons que l’on aN ≥N0 etH≥H0 et donc ˜M ≥0.
Exercice 2 On exprime d’abordPAetPB en fonction de X et Y : PA= 424−3.2X−2.4Y, PB= 440−2X−4Y.
Les couts sont donn´es par
CA= 2·2X+ 4X−0.1X2+ 0.02X3, CB= 2·1.5Y+ 4.5Y −0.1Y2+ 0.02Y3 Le profit est donn´e par
B =PAX+PBY−CA−CB= 416X+432.5Y−3.1X2−3.9Y2−4.4XY−0.02X3−0.02Y3 Les contraintes sont
X≥0, Y ≥0, 2X+ 1.5Y ≤80, X +Y ≥40.
On cherche donc `a minimiser
−416X−432.5Y + 3.1X2+ 3.9Y2+ 4.4XY + 0.02X3+ 0.02Y3, sous les contraintes
−X ≤0, −Y ≤0, 2X+ 1.5Y −80≤0, 40−X−Y ≤0.
On r´esoud le probl`eme d’optimisation et on trouve
x= 21.5684741698316, y= 24.5753677735579
On a 2X+1.5Y = 80 (contrainte active) et 40< X+Y (contrainte inactive).
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Exercice 3 On a u(t) =x0(t) On ecrit le Hamiltonien H = exp(−ρt)(x2+u2) +λu.
Le principe du minimum de Pontryagin nous dit que
λ0(t) =−Hx=−2 exp(−ρt)x, Hu = 2uexp(−ρt) +λ= 0 On obtient une equation diff d’ordre 2 pourx(t).
Exercice 4 On trouve
[x(0), x(1), x(2), x(3), x(4)] = [1000,794,566,260,0], [u(0), u(1), u(2), u(3)] = [206,227,308,260].
4
