Méthode de Newton

Méthode de Newton

Leçons :218, 223, 226, 228 Théorème 1

Soit I intervalle deR,a∈I et f : I →Rde classe C². Si f(a) =0et f⁰(a)>0, il existe J= [a−h,a+h]tel qu’on ait∀x ∈J,f⁰(x)>0et queJsoit stable parϕ:x 7→ x− f(x)

f⁰(x). Alors si x₀ ∈J, la suite définie par la relation de récurrence x_n+1 =ϕ(x_n)converge versa, et il existeC >0tel que∀n∈N,|x_n−a|² ¶C²ⁿ⁻¹|x₀−a|²ⁿ

De plus, si f⁰⁰(a)>0et x₀>a, la suite(x_n)est décroissante et x_n+1−a∼1

2 f⁰⁰(a)

f(a)(x_n−a)²

Démonstration.Comme f⁰est continue surI et f⁰(a)>0, on peut trouverJ= [a−h,a+h] tel que∀x ∈J,f⁰(x)>0.

De plus, six ∈J,ϕ(x)−a=x−a− f(x)−f(a)

f⁰(x) = f(a)−f(x)−(a−x)f⁰(x) f⁰(x) . Selon l’égalité de Taylor appliquée à la fonctionC² f entre a et x, il existez_x ∈[a,x] tel queϕ(x)−a=1

2

f⁰⁰(z_x)

f⁰(x) (x−a)². Ainsi, sim=min

J |f⁰|>0 (car f⁰ est continue et strictement positive surJ compact) et M =max

J |f⁰⁰|, on a|ϕ(x)−a|¶1 2

M

m|x−a|²=C|x−a|² En particulier, siCh² ¶h soith¶ 1

C,J est un intervalle stable parϕ. Quitte à prendre h plus petit, on suppose donc que cette hypothèse est vérifiée.

Ainsi, si x₀ ∈J, la suite(x_n)n est bien définie et vérifie∀n∈N,|x_n+1−a|¶C|x_n−a|². Par conséquent,C|x_n+1−a|¶(C|x_n−a|²)² donc une récurrence immédiate nous assure que

∀n∈N,|x_n−a|²¶C²ⁿ⁻¹|x₀−a|²ⁿ En particulier,(x_n)converge vers a.

Supposons à présent que f⁰⁰(a)>0. Par le même argument que pour f⁰, on peut sup- poser, quitte à remplacer J par un sous-intervalle, que ∀x ∈ J,f⁰⁰(x) > 0. Par suite, f⁰ est croissante sur J et en particulier, si x ¾ a, f⁰(x) ¾ f⁰(a) > 0 donc f elle-même est croissante. Ainsi,∀x>a,f(x)> f(a) =0.

On obtient donc∀x >a,ϕ(x) = x− f(x)

f⁰(x) <x. De plus si x ¾a, ϕ(x)−a= 1

2

f⁰⁰(z_x)

f⁰(x)(x−a)²¾0

cara¶z_x ¶x¹. Par conséquent, si x₀>a, la suite(x_n)est décroissante et∀n∈N,x_n¾ a.

De plus,∀n∈N,x_n+1−a=1 2

f⁰⁰(z_n)

f⁰(x_n)(x_n−a)² oùa¶z_n¶x_n donc comme x_n−−−−→

n→+∞ a,

il en va de même pour (z_n)et par continuité de f⁰ et f⁰⁰, on a

1. Cette inégalité exprime simplement le fait que, par convexité def, le graphe de f est au-dessus de ses tangentes.

Gabriel L^EPETIT 1 ENS Rennes - Université Rennes 1

x_n+1−a'1 2

f⁰⁰(a)

f⁰(a)(x_n−a)²

Exemple.Application à l’approximation d’une racine carrée : si y >0 et f : x 7→ x²−y, a = py alors si c > a et c² > c, l’intervalle J = [a,+∞[ est stable et si x₀ ∈ J, on a la majoration de l’erreur

0¶x_n−a¶2ax₀−a 2a

²ⁿ

En effet, soitF: x 7→ x− f(x)

f⁰(x) = x²+a²

2x .F(x)−a= (x−a)²

2x et F(x) +a=(x+a)² 2x , de sorte que F(x)−a

F(x) +a =x−a x+a

2

. Donc en notantϕ : x 7→ x−a

x+a bijection de]−a,+∞[

sur]− ∞, 1[, etG: x 7→x², on a F =ϕ⁻¹◦G◦ϕ.

Ainsi, si x₀ ∈ J, x_n+1 = F(x_n), pour toutn∈N, x_n = (ϕ⁻¹◦Gⁿ◦ϕ)(x₀)soit x_n−a x_n+a =

x₀−a x₀+a

‹2ⁿ

. D’où

1+ 2a x_n−a =



1+ 2a x₀−a

‹2ⁿ x0>a

¾ 1+

 2a x₀−a

‹2ⁿ

Une simplification immédiate nous fournit la majoration voulue.

Remarque. • Attention à bien adapter l’énoncé du théorème pour le rendre tout à fait général, les jurys y seront attentifs puisque c’est un développement très classique.

• L’énoncé du théorème peut être résumé en disant simplement que aest un point fixe superattractif deϕ.

• Une généralisation existe en dimension n (et a une preuve identique) : Newton- Raphson. Si f : U ⊂Rⁿ → Rⁿ est tel que D f(a) est inversible et f(a) = 0, alors a est un point fixe superattractif deϕ :x → x−(D f(x))⁻¹.f(x). (voir DEMAILLY 2006, p. 110).

Référence :François R^OUVIÈRE(2003).Petit guide de calcul différentiel. 2^eéd. Cassini p.

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Gabriel L^EPETIT 2 ENS Rennes - Université Rennes 1