8 Conclusion et perspectives Conclusion Perspectives... 76

(1)

Table des matières

1 Introduction générale 1

1.1 Introduction . . . 1

1.2 Présentation du laboratoire d’accueil . . . 2

1.2.1 Description générale du laboratoire LIRMM . . . 2

1.2.2 Les départements du LIRMM . . . 2

1.2.3 L’équipe DEXTER . . . 3

1.3 Contexte et problématique . . . 3

1.4 Cahier des charges et Objectifs . . . 4

2 Etat de l’art 5 2.1 Les systèmes mécaniques sous-actionnés . . . 5

2.2 Le pendule inversé classique . . . 6

2.2.1 Description du pendule . . . 6

2.2.2 Modèle dynamique . . . 6

2.2.3 Représentation d’état et linéarisation . . . 8

2.2.4 Analyse du système en boucle ouverte . . . 9

2.3 Le pendule inversé de Furuta . . . 10

2.3.4 Analyse en boucle ouverte . . . 13

2.4 Le pendule inversé Segway . . . 14

2.5 Le pendule inversé gyroscopique . . . 17

(2)

2.5.3 Représentation d’état . . . 19

2.6 Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie . . . 20

3 Etude du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie 21 3.1 Introduction . . . 21

3.2 Description du système . . . 22

3.3 Schéma de principe . . . 23

3.4 Modèle dynamique non linéaire . . . 24

3.4.1 Principe mécanique . . . 25

3.4.2 Lagrangien . . . 26

3.4.3 Dynamique du pendule . . . 27

3.5 Représentation d’état et linéarisation . . . 28

3.6 Analyse du système en boucle ouverte . . . 28

4 Solution1 :Approches de commande prédictive 30 4.1 Principe générale des techniques de commande prédictive . . . 30

4.2 Approche1 : La Commande Prédictive Généralisée (GPC) . . . 33

4.2.1 Principe de la commande . . . 33

4.2.2 Formulation de La GPC avec état final nul . . . 34

4.2.3 Modèle de représentation . . . 37

4.3 Approche2 : La commande Prédictive non linéaire . . . 37

4.3.1 Principe de la commande prédictive non linéaire . . . 37

4.3.2 La génération des trajectoires . . . 38

4.3.3 L’optimisation . . . 39

5 Application des approches prédictives sur le pendule inversé 40 5.1 Application de La GPC sur le Pendule inversé . . . 40

5.1.1 Simulations dans le cas nominal . . . 40

Résultats de Simulations . . . 40

Interprétations des résultats . . . 40

5.1.2 Test de Robustesse de la commande . . . 42

Robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques. . . 42

Robustesse vis-à-vis des non-linéarités . . . 43

5.1.3 Expérimentation : Application en temps réel . . . 44

Scénario1 : Cas nominal . . . 44

(3)

Table des matières

Scénario2 : Cas de rejet des perturbations ponctuelles . . . 44

Scénario3 : Cas de rejet des perturbations persistantes. . . 45

Scénario4 : Combinaison de deux types de perturbations . . . 45

5.2 Application de La commande prédictive non linéaire sur le Pendule inversé . . 46

Résultats de Simulations . . . 46

Interprétations des résultats . . . 47

5.2.2 Robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques . . . 47

6 Solution 2 :Approches de commande adaptative 53 6.1 Principe générale des approches adaptatives . . . 53

6.2 Approche1 : La commande adaptative à modèle de référence(MRAC) . . . 56

L’estimation des paramètres . . . 57

Calcul d’un correcteur RST robuste . . . 58

6.3 Approche2 : La commande par retour d’état adaptative . . . 60

Principe de la commande . . . 60

Modèle de représentation . . . 60

Estimation des paramètres . . . 61

7 Application des approches adaptatives sur le pendule inversé 62 7.1 Application de la commande MRAC sur le Pendule inversé . . . 62

Résultats des simulations . . . 62

Interprétation des résultats . . . 62

Robustesse vis-à-vis des variations des paramètres . . . 64

7.2 Application de La commande par retour d’état adaptative sur le Pendule inversé 65 7.2.1 Simulations dans le cas nominal . . . 65

Résultats des simulations . . . 65

Interprétation des résultats . . . 66

Robustesse vis-à-vis des variations des paramètres . . . 68

(4)

8 Conclusion et perspectives 76 8.1 Conclusion . . . 76 8.2 Perspectives . . . 76

(5)

Table des figures

2.1 Le pendubot . . . 5

2.2 Schéma du principe de pendule inversé classique [20] . . . 6

2.3 Schéma de principe de pendule inversé de Furuta[17] . . . 11

2.4 Photo d’un prototype segway . . . 14

2.5 Modélisation du segway [3] . . . 15

2.6 Le pendule gyroscopique [2] . . . 17

2.7 Modélisation du pendule gyroscopique [15] . . . 18

3.1 Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie [13] . . . 21

3.2 Vue de la plate forme expérimentale du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie . . . 22

3.3 Illustrations des points d’équilibre . . . 25

3.4 Modèle mécanique équivalent . . . 26

4.1 Stratégie de la commande prédictive [12] . . . 32

4.2 Structure de base de la commande prédictive [4] . . . 33

5.1 Dynamique du pendule et de volant d’inertie pour le cas de la GPC . . . 41

5.2 Couple et puissance mécanique . . . 42

5.3 Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la GPC . . . 43

5.4 Robustesse vis-à-vis des incertitudes du paramètre I . . . 43

5.5 Evolution des états de système non linéaire dans le cas de la GPC . . . 44

5.6 La commande et la puissance de système non linéaire dans le cas de la GPC . 45 5.7 Résultats d’expérimentation de cas nominal . . . 46

5.8 Résultats d’expérimentation du cas de rejet de perturbations ponctuelles . . . 47

5.9 La perturbation persistante sur le pendule inversé . . . 48

5.10 Résultats d’expérimentation du cas de rejet de perturbations persistantes . . . 48

5.11 La combinaison de deux types de perturbations sur le pendule inversé . . . 49 5.12 Résultats d’expérimentation du cas de rejet de la combinaison des perturbations 49

(6)

5.13 L’évolutions des états du système pour le cas de la commande non linéaire . . 50

5.14 L’évolutions du couple et de la puissance pour le cas de la commande non linéaire 51 5.15 L’évolutions du paramètre d’optimisation . . . 51

5.16 Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la commande non linéaire . . . 52

5.17 Test de robustesse de la commande prédictive non linéaire . . . 52

6.1 Principe des systèmes de commande adaptative [5] . . . 54

6.2 Commande adaptative supervisée [10] . . . 54

6.3 Commande adaptative à gain préprogrammé [5] . . . 55

6.4 Correcteur auto-ajustable [5] . . . 55

6.5 Commande adaptative à modèle de référence [5] . . . 56

6.6 Structure d’un régulateur RST [8] . . . 58

6.7 Commande par retour d’état linéaire [8] . . . 60

7.1 Dynamique du pendule et de volant d’inertie dans le cas de la commande MRAC 63 7.2 Couple et puissance mécanique dans le cas de la commande MRAC . . . 64

7.3 Evolution des paramètres du pendules inversé dans le cas de la commande MRAC 65 7.4 Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la commande MRAC . . . 66

7.5 La sortie du système . . . 66

7.6 La commande du système . . . 67

7.7 Evolution des états de système non linéaire dans le cas de la commande MRAC 68 7.8 Couple et puissance mécanique de système non linéaire dans le cas de la commande MRAC . . . 69

7.9 Evolution des paramètre de système non linéaire dans le cas de la commande MRAC . . . 69

7.10 La position angulaire du pendule inversé . . . 70

7.11 Evolution des paramètres de système . . . 70

7.12 Dynamique du pendule et de volant d’inertie dans le cas de la RE adaptative . 71 7.13 Couple et puissance mécanique dans le cas de la RE adaptative . . . 71

7.14 ’évolution des paramètres du pendules inversé dans le cas de la RE adaptative 72 7.15 Plage d’utilisation du moteur dans le cas de la RE adaptative . . . 72

7.16 Robustesse vis-à-vis des incertitudes du paramètre I pour la RE adaptative . . 73

7.17 Evolution des états de système non linéaire . . . 74

7.18 Couple et puissance mécanique de système non linéaire . . . 75

7.19 Evolution des paramètre de système non linéaire . . . 75

(7)

(8)

Introduction générale

1.1 Introduction

Devant les problèmes délicats de modélisation et de commande de systèmes complexes, les outils utilisés deviennent de plus en plus pointus. L’un des axes les plus importants de recherche au sein du LIRMM concerne la commande de systèmes complexes.

Le travail envisagé dans le cadre de ce stage rentre dans le contexte de conception de lois de commande pour la stabilisation des systèmes mécaniques sous-actionnés.

Dans ce contexte notre choix s’est porté sur le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie.

C’est un système mécanique sous actionné largement étudié dans la communauté automaticienne, vu sa dynamique non linéaire et instable. La commande à concevoir, doit être capable de stabiliser le pendule inversé autour de son point d’équilibre instable et de le maintenir dans cet état.

Pour atteindre cet objectif, deux solutions sont proposées : la première consiste à proposer des lois de commande issues des techniques prédictives ( commande prédictive généralisée(GPC) , et commande prédictive non linéaire), la deuxième quant à elle consiste à proposer des commandes issues des techniques adaptatives ( commande adaptative à modèle de référence (MRAC) , et commande par retour d’état adaptative).

Ces approches seront appliquées en simulation (environnement matlab), puis validées en temps réel sur la plate forme expérimentale du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie dispo- nible au LIRMM. La comparaison entre ces deux familles d’approches, selon différents critères (rapidité, robustesse, . . .),permettra de choisir la meilleur à appliquer sur le système réel.

(9)

1.2. Présentation du laboratoire d’accueil

1.2 Présentation du laboratoire d’accueil

1.2.1 Description générale du laboratoire LIRMM

Le Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier (LIRMM) est une Unité Mixte de Recherche (UMR)de l’Université Montpellier 2 (UM2) et du Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS).

Le LIRMM couvre un large spectre de compétences dans les domaines des Sciences et Tech- nologies de l’Information et de la Communication (STIC). Ces activités de recherche sont réparties au sein de trois départements scientifiques de recherche :

– Informatique (INFO) – Microélectronique (MIC) – Robotique (ROB)

1.2.2 Les départements du LIRMM

Le département informatique :

Les thématiques de ce département intègrent l’essentiel de la recherche menée actuellement en informatique :

Algorithmique : bioinformatique, cryptographie, graphes, réseaux ;

Bases de Données et Systèmes d’Information : intégration de données, fouille de don- nées, maintien de la cohérence ;

Génie Logiciel : langages de programmation, objets, composants, modèles ;

Intelligence Artificielle : apprentissage, contraintes, représentation des connaissances, sys- tèmes multi-agents ;

Interaction Homme/Machine : hypermédia, langage naturel, visualisation, Web séman- tique et e-learning.

Le département microélectronique :

Ce département mène depuis plusieurs années des recherches de pointe dans les domaines de la conception et du test de systèmes intégrés et de microsystèmes, et plus précisément, sur les aspects ayant traits à la modélisation et à la méthodologie. Les activités de recherche conduites au sein du département de Microélectronique s’articulent autour de deux équipe-projets qui lui sont propres ainsi qu’une équipe-projet commune avec le département Robotique :

– Conception et test de systèmes microélectroniques (SysMIC) ;

– DEambulation et Mouvement ARtificiel (DEMAR) et Modélisation et commande du sys- tème sensori-moteur humain, neuroprothèses.

(10)

Le département robotique :

Ce département mène des recherches en automatique/robotique, traitement du signal et de l’image, productique et informatique industrielle. Les activités de recherche conduites au sein du département Robotique s’articulent autour de cinq équipes projets :

– DEMAR : (DEambulation et Mouvement ARtificiel) et Modélisation et commande du sys- tème sensori-moteur humain, neuroprothèses ;

– DEXTER : Conception, commande, manipulation, robotique parallèle, robotique médicale ; – ICAR : (Image, Computing and Augmented Reality) Image, signal, vision, modélisation 3D,

informatique graphique, réalité virtuelle ;

– NERO : (NEtwork RObots) Commande collaborative de flottilles de véhicules sous-marins et terrestres ;

– IDH : (Interaction Digital Humain)

1.2.3 L’équipe DEXTER

L’équipe-projet DEXTER se positionne résolument suivant un axe mécatronique avec pour objectif de concevoir, réaliser et commander des robots performants et robustes destinés à la manipulation. Les thèmes scientifiques abordés sont la définition de méthodologies de conception, le développement de protocoles d’estimation et la synthèse de lois de commandes. Les outils théoriques développés sont validés et mis en oeuvre dans le domaine de la robotique parallèle pour des applications de manipulation rapide et de la robotique médicale pour des applications de manipulation fine.

L’équipe possède dans les deux domaines de la robotique parallèle et médicale une visibilité et une lisibilité nationale et internationale.

Les contributions majeures de l’équipe sont donc réparties en 4 thèmes : – Robots médicaux et chirurgicaux ;

– Robots parallèles et redondance ;

– Robots parallèles à forts débattements angulaires ; – Identification et commande de robots.

L’équipe est composée de 9 chercheurs/enseignants chercheurs et 13 thésards.

1.3 Contexte et problématique

Mon travail s’inscrit dans le cadre d’un projet de Mastère réalisé au sein de l’équipe DEXTER du laboratoire d’Informatique de Robotique et de Microélectronique de Montpellier(LIRMM).

Il consiste à appliquer différentes lois de commandes sur le système du pendule inversé stabilisé

(11)

1.4. Cahier des charges et Objectifs

par volant d’inertie. Ce système est conçue au sein du LIRMM. Il est très utile dans les laboratoires d’automatiques. En effet, il présente l’avantage d’avoir une dynamique proche de celles de systèmes beaucoup plus complexes tels que les fusées, les avions à décollage vertical (PVTOL) , certains robots bipèdes , les bâteaux . . . De plus il s’avère être l’outil idéal pour tester rapidement et à moindre coût différentes techniques de commande allant de la plus classique à la plus novatrice.

Notre travail alors consiste à développer des lois de commandes (prédictives et adaptatives) qui agissent sur le volant pour amener le pendule de sa position de repos à sa position d’équilibre instable et de le maintenir dans cet état.

1.4 Cahier des charges et Objectifs

Le travail à réaliser consiste à développer des lois de commande pour stabiliser le pendule inversé à volant d’inertie. Cette étude devra respecter le cahier de charge suivant :

– Les lois de commande développées ,telles que la commande prédictive généralisée (GPC), la commande adaptative à modèle de référence (MRAC) et la commande par retour d’état adaptative, sont des approches linéaires qui doivent être appliquées sur un système linéaire, or le pendule inversé à volant d’inertie est un système non linéaire quant doit le linéariser.

– les lois de commandes développées doivent être capable de stabiliser le pendule inversé à volant d’inertie autour de sa position d’équilibre instable et de le maintenir dans cet état – Les lois de commandes développées doivent satisfaire une certaine robustesse vis-à-vis de

non linéarité système vu quand applique une approche de commande linéaire sur un système initialement non linéaire (linéarisé autour de l’équilibre)

– Les lois de commandes développées doivent satisfaire une certaine robustesse vis-à-vis des incertitudes paramétriques.

– Les lois de commandes adaptatives développées doivent être robustes vis-à-vis des variations des paramètres de systèmes quant mesure à chaque pas d’échantillonnage.

(12)

Etat de l’art

2.1 Les systèmes mécaniques sous-actionnés

Les systèmes mécaniques sous-actionnés sont définis comme étant des systèmes dont le nombre d’actionneurs est inférieur au nombre de degrés de liberté [19].

La conception de ces systèmes peut être plus économique, plus simple et plus fiable que les systèmes complètement actionnés mais leur control est généralement plus complexe [19].

Il existe plusieurs systèmes sous actionnés dans la robotique tels que Le pendubot (cf.figure 2.1) , l’acrobot et les pendules inversés [20].

Figure 2.1 – Le pendubot

Le pendule inversé est un système classique très intéressant et largement étudié dans la com- munauté automaticienne, vu sa dynamique non linéaire et instable. Il a toujours constitué un défi intéressant pour le contrôle .

Ils existent plusieurs types des pendules inversés : tels que les pendules inversés classiques, de

(13)

2.2. Le pendule inversé classique

Furuta, gyroscopiques . . .On détaillera dans ce qui suit les principes,les modèles dynamiques et les comportements en boucles ouvertes correspondants à chaque types de ces pendules inversés.

2.2 Le pendule inversé classique

2.2.1 Description du pendule

Le pendule inversé classique (cf. figure 2.2) est un système mécanique sous actionné à deux degrés de liberté et un seul actionneur. Il est constitué d’un chariot libre en translation le long d’un rail de guidage, et un pendule pesant solidaire du chariot et libre en rotation [20].

Le mouvement du pendule se limite quant à lui au plan vertical formé par le chariot et la piste.

Par une force F (cf. figure 2.2) appliquée au chariot et variable à chaque pas du temps, son principe de base consiste à maintenir le pendule inversé en position d’équilibre instable en faisant en sorte que l’angle θ qu’il fait avec la verticale soit le plus proche possible de la consigne θd = 0 (position verticale) [20].

Figure2.2 – Schéma du principe de pendule inversé classique [20]

2.2.2 Modèle dynamique

En considérant une tige rigide de masse négligeable. On définit donc : – θ : l’angle entre la tige et la verticale,

– m : la masse du pendule, – M : la masse du chariot, – l : la longueur de la tige,

– g : l’accélération de la pesanteur.

(14)

On peut établir les équations du mouvement à partir de la mécanique lagrangienne [14] : en notant x(t) la position du chariot, θ(t) : l’angle du pendule par rapport à la verticale , le système étant soumis à la gravité g et à une force F, extérieure et selon l’axe x, le lagrangien est défini par :

L=T −V (2.1)

Avec :

– T : l’énergie cinétique totale de système, – V : l’énergie potentielle totale de système.

On a ainsi :

L= 1

2M V₁²+1

2mV₂²−mglcosθ (2.2)

AvecV₁ la vitesse du chariot etV₂ celle de la masse m.

On peut exprimerV₁ etV₂ à partir de x etθ :

V₁² = ˙x² (2.3)

V₂² = ( ˙x²+lθcosθ)˙ ²+ (lθsinθ)˙ ² (2.4) Ce qui peut s’écrire encore :

V₂² = ˙x²+ 2 ˙xlθcosθ˙ +l²θ˙² (2.5) Le lagrangien résultant est alors donné par :

L= 1

2(M +m) ˙x²+mlθcosθ˙ + 1/2ml²θ˙²−mglcosθ (2.6) Les équations de la dynamique du système sont obtenues en se basant sur l’équation d’Euler Lagrange :

d dt

∂L

∂q˙ − ∂L

∂q =Q_i (2.7)

Avec

– q(t) : vecteur des coordonnées généralisées ; – q(t)˙ : vecteur des vitesses généralisées ; – Q_i : vecteur des forces généralisées ; – L :le lagrangien.

(15)

2.2. Le pendule inversé classique

Les équations d’Euler-Lagrange qui dépendent des coordonnées généralisées indépendantes de notre système ( xet θ ) sont les suivantes :

d dt

∂L

∂x˙ − ∂L

∂x =F (2.8)

d dt

∂L

∂θ˙ − ∂L

∂θ = 0 (2.9)

En simplifiant ces équations, on obtient les équations non-linéaires du mouvement du pendule : (M +m)¨x+mlθcosθ¨ −mlθsinθ˙ =F (2.10) ml(−gsinθ−xcosθ¨ +lθ) = 0¨ (2.11)

2.2.3 Représentation d’état et linéarisation

La dynamique non-linéaire du système va être linéariser autour de l’équilibre afin d’obtenir un système qui s’écrit sous la forme suivante de la forme suivante :x˙ =Ax+Bu. En prenant comme vecteur d’état x= [ xx θ˙ θ˙ ]^T etu=F .

Le système dynamique non-linéaire peut s’écrire sous la forme :x˙ =f(x(t), u(t)), en dévelop- pant la fonction f en série de Taylor du premier ordre autour de l’équilibre (x₀ est le vecteur nul) , on peut écrire alors le système linéarisé sous la forme suivante [16] :

˙

x=Ax+Bu (2.12)

avec :

A= ∂f

∂x|x=x₀et B = ∂f

∂u|x=x₀ (2.13)

La représentation d’état du système autour de sa position d’équilibre instable est donné par :







˙

x=Ax+Bu y=Cx

(2.14)

avec :

A =







0 1 0 0

0 0 ^−mg_M 0

0 0 0 1

0 0 ^(M+m)g_{M l} 0





 , B =





 x

˙ x θ θ˙







et C =h

0 0 1 0 i

(2.15)

(16)

Paramètre Valeur M[Kg] 0.5

m[Kg] 0.2 l[m] 0.2 g[ms⁻²] 9.81

Table 2.1 – Paramètres du pendule inversé classique

2.2.4 Analyse du système en boucle ouverte

Afin d’étudier le comportement de système en boucle ouverte, on doit savoir les valeurs nu- mériques des paramètres de système qui se résument dans le tableau 2.4 :

Etude de la stabilité en boucle ouverte :

Les pôles du système (valeurs propres de la matrice A) en boucle ouverte sont calculés en cherchant les solutions de l’équation caractéristique det(A− λI) = 0 [11]. Dans le cas du pendule inversé classique, l’équation caractéristique s’écrit :λ²(λ²+^(M_{M l}^+m)g) = 0

Cette équation admet un pôle nul donc le pendule inversé classique est un système instable.

La commandabilité du système :

On dit que le système continu est commandable à l’instant t₁ s’il est possible de trouver un vecteur d’entrée U(t) (avec t > t₁ ), qui permet d’atteindre à partir de l’état X(t₁) un état X(t₂) quelconque en un temps finit₂−t₁ [11].

On définit la matrice de commandabilité C, de dimensionn,de la façon suivante :

C = [B AB A²B . . . Aⁿ⁻¹B] (2.16) Le système est dit complètement commandable si et seulement si :rang(C) = dim(X) =n),La matrice C est alors dite de rang plein [11].

Dans le cas du pendule inversé classique :C = [B AB A²B A³B] avecn = 4. Soit :

C =







0 2 0 26.16

2 0 26.16 0

0 −6.6667 0 −91.56

−6.6667 0 −91.56 0







(2.17)

det(C) = 46= 0 ⇒ Rang(C) = 4 =n

⇒ Le système est donc complètement commandable.

L’observabilité du système :

(17)

2.3. Le pendule inversé de Furuta

On dit que le système continu est observable à l’instant t₁ si à partir de la connaissance du vecteur de sortie Y et du vecteur d’entrée U, il est possible en un temps fini t₂ > t₁ de déterminer l’état X(t1) [11].

On définit la matrice d’observabilité O, de dimension n, de la façon suivante :

O =





 C CA

... CAⁿ⁻¹







(2.18)

Le système est dit complètement observable si et seulement si : rang(O) = dim(X) = n),La matrice O est alors dite de rang plein [11].

Dans le cas du pendule inversé classique :O =





 C CA CA² CA³







, avec n = 4. Soit

O =







0 0 1 0

0 0 0 1

0 0 45.78 0 0 0 1.047 0







(2.19)

det(O) = 0 ⇒ Rang(O)< n

⇒ Le système n’est pas observable.

2.3 Le pendule inversé de Furuta

2.3.1 Description du pendule

Le pendule inversé de Furuta (cf. figure2.3) a été conçu par K. Furuta. C’est un système à deux degrés de liberté et un actionneur. Le bras actionné en rotation permet une course infinie ce qui facilite la conception du contrôle.

A l’autre extrémité du bras vient s’ajouter un pendule libre en rotation dans le plan vertical orthogonal au bras [17].

La rotation du bras actionné permet de balancer le pendule inversé de Furuta , qui se déplace librement dans le plan perpendiculaire à celui du bras rotatif, jusqu’à atteindre la position d’équilibre.

(18)

Figure 2.3 – Schéma de principe de pendule inversé de Furuta[17]

2.3.2 Modèle dynamique

La figure 2.3 représente le schéma du principe du pendule inversé de Furuta ainsi que ses paramètres :

– θ₁, θ˙₁ etθ¨₁ sont la position, la vitesse et l’accélération angulaire du bras rotatif, – θ₂, θ˙₂ etθ¨₂ sont la position, la vitesse et l’accélération angulaire du pendule,

– J1 et J2 sont respectivement les moments d’inertie du bras et du pendule autour de leur centre de masse,

– l₁ et l₂ sont respectivement les distances qui séparent les centres de rotation du bras rotatif et du pendule de leurs centres de masse,

– m₁ etm₂ sont les masses respectives du bras et du pendule, – g est l’accélération de pesanteur, g = 9.81ms⁻²;

– L1etL2 sont respectivement les longueurs du bras et du pendule, – τ_e est le couple moteur.

Les équations de la dynamique de système sont obtenues en se basant sur l’équation d’Euler- Lagrange (2.7). L’énergie cinétique totale de système est la somme de l’énergie cinétique du bras rotatif et celle du pendule.

Avec :

– L’énergie cinétique du bras rotatif s’écrit : T1 = 1

2m1L²₁θ˙1 2+1

2J1θ˙1

2 (2.20)

(19)

2.3. Le pendule inversé de Furuta

– L’énergie cinétique du pendule est donnée par : T₂ = 1

2J₂θ¨₂²+ 1

2m₂[(L₁θ˙₁+1 2

θ˙₂cosθ₂)²+ (l₂θ˙₂sinθ˙₂)²] (2.21) L’énergie potentielle totale du système est la somme des énergies potentielles du bras et celle du pendule.

– L’énergie potentielle du bras rotatif V₁ est nulle ; – L’énergie potentielle du pendule est :

V₂ =m₂gl₂cosθ₂ (2.22)

le lagrangien de système est définit comme suit :

L=T₁+T₂−V₁−V₂ (2.23)

L’application de l’équation de lagrange donne les équations de la dynamique qui s’écrivent : (J₁ +m₂L²₁) ¨θ₁+ (m₂L₁l₂cosθ₂) ¨θ₂−(m₂L₁l₂sinθ₂) ˙θ₂² =τ_e (2.24)

(m₂L₁l₂cosθ₂) ¨θ₁+ (J₂+m₂l₂²) ¨θ₂+ (m₂l₂gsinθ₂) = 0 (2.25)

2.3.3 Représentation d’état et linéarisation

En prenant comme vecteur d’état x = [ θ₁ θ˙₁ θ₂ θ˙₂ ]^T et u = τe et en considérant le principe de linéarisation autour du point de l’équilibre instable x₀ = [ 0 0 0 0 ]^T, on trouve la représentation d’état du système qui s’écrit sous la forme suivante :







˙

x=Ax+Bu y=Cx

(2.26) Posons

– h₁ =J₁+m₂L²₁; – h2 =m2L1l2; – h₃ =J₂+m₂l₂²; – h₄ =m₂l₂g .

Les matrices d’état du pendule inversé de Furuta sont définies alors par :

A=







0 1 0 0

0 −h3c1 h2h4 h2c2

0 0 0 1

0 _h^h²^c¹

lh3−h²₂ − ^h⁴

h3−^h

2 2 h1

− ^c²

h3−^h

2 2 h1





 , B =





 0

h3

hlh3−h²₂

0

−h₂ hlh3−h²₂







etC =

"

1 0 0 0 0 0 1 0

#

(2.27)

(20)

Paramètre Valeur Paramètre Valeur m₁[Kg] 0.83 l₁[m] 0.3 m₂[Kg] 0.1 l₂[m] 0.1

L1[m] 0.6 J1[Kgm⁻²] 0.00208 L₂[m] 0.3 J₂[Kgm⁻²] 0.001 τ_e[N m] 0.0981 g[ms⁻²] 9.81

Table 2.2 – Paramètres du pendule de Furuta

2.3.4 Analyse en boucle ouverte

Les valeurs de paramètres de système se résument dans le tableau 2.2 : Etude de la stabilité en boucle ouverte :

L’équation caractéristique du pendule inversé de Furuta est :λB(λ) = 0. La présence d’un pôle nul pour cette équation montre que le système du pendule inversé de Furuta est instable.

La matrice de commandabilité correspondante au pendule inversé de Furuta est la suivante : C = [B AB A²B A³B]avec n= 4. Soit :

C =







0 2.93 −1.4401 0.70778 2.93 −1.44 0.7078 −0.3479

0 0 0 0

−8.78 −4.46 −6.58 −5.5397







(2.28)

det(C) = 46= 0 ⇒ Rang(C) = 4 =n.

La matrice d’observabilité du pendule inversé de Furuta est la suivante :

O =







1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 −4.915 14.65 0

0 0 0 0

0 0.2416 −7.203 0

0 0 0 0







(2.29)

(21)

2.4. Le pendule inversé Segway

2.4 Le pendule inversé Segway

2.4.1 Description du pendule

Le segway (cf.figure 2.4) est un véhicule à deux roues en auto balance, il est capable de rouler sur une surface plane. Son principe est basé sur le développement de résultat dynamique du pendule inversé. La capacité de balance sur deux roues est très efficace pour la mobilité et pour la facilité de changement de direction dans un espace serré. Le prototype est équipé de quelques capteurs pour mesurer l’angle, la vitesse de rotation et la vitesse linéaire de déplacement [9].

Figure 2.4 – Photo d’un prototype segway

2.4.2 Modèle dynamique

La figure 2.5 représente le paramétrage cinématique ainsi que les paramètres du segway : Les paramètres du segway sont les suivants :

– J(N m²) : Moment dŠinertie dŠune roue par rapport à son axe , – K(N m²) : Moment dŠinertie du chassis par rapport lŠaxe des roues, – Met m sont respectivement les masses du châssis et de la roue , – R(m) : rayon de la roue ,

– h(m) : Hauteur du chassis , – θ(rad): angle de rotation , – C est le couple moteur ,

– g est l’accélération de pesanteur, g = 9.81ms⁻².

(22)

Figure 2.5 – Modélisation du segway [3]

LŠétude mécanique, faisant intervenir les paramètres du segway, sŠeffectue simplement en utilisant les outils de mécanique du solide (théorèmes du moment et de la résultante cinétique, roulement sans glissement, etc) ainsi que la mécanique lagrangienne [16].

Les équations du mouvement du segaway sont les suivante : (K+ 2m+ 2J

h²)¨x+M h(¨θcosθ−θ˙²) = 2C

R (2.30)

(K+M h²)¨θ+M h(¨xcosθ−M ghsinθ =−2C (2.31)

2.4.3 Représentation d’état et linéarisation

En prenant comme vecteur d’état x = [ xx θ˙ θ˙ ]^T etu = C et en considérant le principe de linéarisation autour du point de l’équilibre instablex₀ = [ 0 0 0 0 ]^T, on trouve la représenta- tion d’état du système qui s’écrit sous la forme suivante :







˙

x=Ax+Bu y=Cx

(2.32)

Les matrices d’état du Segway sont définies alors par :

A=







0 1 0 0

0 0 g(1− ⁴₃L^M^chassis_X ) 0

0 0 0 1

0 0 ^gM^chassis_X 0





 , B =







0

4LY

3X − _M ¹

chassisL

0

Y X







et C=

"

1 0 0 0 0 0 1 0

# (2.33)

(23)

2.4. Le pendule inversé Segway

2.4.4 Analyse en boucle ouverte

L’étude du système en boucle ouverte nécessite la connaissance des paramètres du système qui se résume dans le tableau 2.3 :

Paramètre Valeur Mchassis[Kg] 90

M_roue[Kg] 7 m[Kg] 0.7

R[m] 0.2

L[m] 1

Table 2.3 – Paramètres du Segway

Les valeurs propres de la matrice d’état A sont :4.3955,−4.3955 et une racine double nulles.

La présence de deux pôles nuls et un pôle positif montre l’instabilité du segway.

La matrice de commandabilé de système s’écrit sous la forme suivante :C = [B AB A²B A³B]

avec n= 4. Soit :

C =







0 0.237 0 255.36

0.237 0 255.36 0

0 −16 0 −309.12

−16 0 −309.12 0







(2.34)

det(C) = 46= 0 ⇒ Rang(C) = 4 =n.

La matrice d’observabilité de système est la suivante :

O =







1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

0 0 −15.96 0 0 0 19.32 0 0 0 0 −15.96

0 0 0 19.32







(2.35)

(24)

det(O) = 4 6= 0 ⇒ Rang(O) = 4 =n.

⇒ Le système est donc observable.

2.5 Le pendule inversé gyroscopique

2.5.1 Description du pendule

Il s’agit d’un pendule avec une masse symétrique (disque) fixé à l’extrémité qui est libre de tourner sur un axe parallèle à l’axe de rotation du pendule. C’est un système donc à deux degrés de liberté. Le disque est actionné par un moteur à courant continu et le couple générée par l’accélération angulaire du disque peut être utilisé pour activer le système de control[15].

Figure 2.6 – Le pendule gyroscopique [2]

2.5.2 Modèle dynamique

La figure 2.7 sert à la modélisation du pendule gyroscopique : Les paramètres du pendule gyroscopique sont les suivants : – θ : l’angle formé entre la tige et la verticale ;

– m₁ : la masse du pendule ;

– I₁ : le moment d’inertie du pendule ; – I₂ : le moment d’inertie du disque ; – m2 : la masse du disque ;

– l1 : la longueur du pendule ; – g : l’accélération de la pesanteur.

(25)

2.5. Le pendule inversé gyroscopique

Figure 2.7 – Modélisation du pendule gyroscopique [15]

On peut établir les équations du mouvement à partir de la mécanique lagrangienne : en notant q1l’angle du pendule,q2 l’angle de la disque etτ le couple moteur. Le lagrangien est :L=T−V . Avec :

– T : l’énergie cinétique totale de système ; – V : l’énergie potentielle totale de système.

On a ainsi :

T = 1

2m₁v_G₁ +I₁q˙₁² +1

2m₂v_G₂ +I₂q˙₂² (2.36) V = (m₁l_c1 +m₂l₁)gcos(q₁) (2.37) On trouve alors les équations suivantes :

d₁₁q¨₁+d₁₂q¨₂+φ(q₁) = 0 (2.38) d21q¨1+d22q¨2 =τ (2.39) Avec :

d₁₁ =m₁l²_c1+m₂l²₁+I₁+I₂; d12 =d22 =d21=I2;

φ_q₁ =−(m₁l_c1+m₂l₁)gsinq₁ =mgsinq₁; m=m₁l_c1+m₂l₁ .

(26)

2.5.3 Représentation d’état

On prend comme vecteur d’état du système le vecteur : x= [ q₁ q˙₁ q˙₂ ]^T

On commence par la linéarisation des équations de mouvement autour de la position d’équilibre instable.

Pour θ = 0,sinθ 'θ.En remplaçant ces linéarisations dans le système d’équations on trouve la représentation d’état suivante :







˙ q₁

¨ q₁

¨ q₂







=







0 1 0

mg

d12−d11 0 0

−_d ^mg

12−d11 0 0











 q₁

˙ q₁

˙ q₂





 +







0

1 d12−d₁₁

d11

d12(d11−d₁₂)







C_θ (2.40)

y =h

1 0 0 i





 q₁

˙ q₁

˙ q₂







(2.41)

2.5.4 Analyse en boucle ouverte

L’étude de système en boucle ouverte nécessite la connaissance des paramètres de système qui se résume dans le tableau suivant :

Paramètre Valeur m₁(Kg) 0.02 m₂(Kg) 0.3

l₁(m) 0.125 lc1(m) 0.063 I₁(Kgm²) 47.10⁻⁶ l₂(Kgm²) 32.10⁻⁶

Table 2.4 – Paramètres du pendule gyroscopique

L’ équation caractéristique de système admet deux racines : 0 et 1.0609 ce qui implique l’in- stabilité du système.

La gouvernabilité du système :

La matrice de gouvernabilité de système s’écrit sous la forme suivante :Go = [B AB A²B]

(27)

2.6. Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

avec n= 3. Soit :

Go=







0 −208 0

−208 0 1.6491.10⁴ 208 0 −1.64991.10⁴







(2.42)

Rang(Go) = n= 3

⇒ Le système est entièrement gouvernable.

La matrice d’observabilité de système est la suivante :

Ob=







1 0 0

0 1 0

−79.1261 0 0







(2.43)

Rang(Ob) = 2 < n

⇒ Le système est est non observable.

2.6 Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est constitué d’un pendule libre en rotation autour d’un axe lié au sol, l’autre extrémité du pendule étant reliée à un disque actionné qui ne peut que tourner.

le principe de fonctionnement de ce pendule est assez simple ,la rotation de volant d’inertie provoque par les effets dynamiques qu’il induit, la rotation du pendule autour de sa liaison passive avec le bâti.

Le principe de base, le fonctionnement et la modélisation de ce pendule seront détaillés dans le chapitre 3.

(28)

Etude du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

3.1 Introduction

Le pendule inversé stabilisé par un volant d’inertie (cf. figure3.1) est un système constitué d’un volant d’inertie et d’un pendule. En effet la rotation de du volant d’inertie provoque par les effets dynamiques qu’elle induit la rotation du pendule autour de sa liaison passive avec le bâti [13]. Notre but est de trouver la meilleur commande qui agit sur le volant pour amener le pendule à sa position d’équilibre instable et de le maintenir dans cet état.

Dans ce chapitre, on s’intéresse à la description du pendule inversé, la modélisation mécanique ainsi que l’étude du système de pendule en boucle ouverte.

Figure 3.1 – Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie [13]

(29)

3.2. Description du système

3.2 Description du système

Architecture de la maquette

La maquette du pendule inversé (cf. figure 3.2) est constituée de cinq composants principaux : un calculateur, un inclinomètre, un groupe moteur/variateur/réducteur et deux codeurs.

PC de commande

Alimentation(12V)

Variateur de vitesse

Carte interface(MAGMA) Inclinomètre

Pendule

Volant d’inertie

Figure 3.2 – Vue de la plate forme expérimentale du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie

Le calculateur : appelé aussi PC de commande, est le coeur du système car c’est lui qui est en charge d’interroger les différents capteurs, de calculer la loi de commande et de piloter le variateur.

Le variateur de vitesse : doit être en mesure de fournir une puissance électrique de 200W ( caractéristiques du moteur), d’asservir le moteur en couple et de fonctionner en mode 4 quadrants (essentiel pour recycler l’énergie réactive produite par le moteur en phase de freinage).

Inclinomètre : est un capteur capable de mesurer la position angulaire du pendule par rapport à la verticale. Pour respecter l’intégrité de la maquette, il est inconcevable d’in- corporer un codeur incrémental sur l’axe de rotation du pendule pour la mesure de sa position angulaire (solution généralement adaptée pour ce type de mesure).

Moteur : Le dimensionnement du moteur électrique est étroitement lié au dimensionnement du volant d’inertie, étant donné qu’il est dédié exclusivement à son entraînement. Plus qu’un simple actionneur, c’est un moteur couplé avec un réducteur et un codeur incré- mental. Le réducteur permet dans le cadre de ce projet, de privilégier le couple aux

(30)

dépens de la vitesse de rotation. Le codeur incrémental ,quant à lui, est mesurer la position angulaire et par conséquent celle du volant d’inertie.

Système d’exploitation : Le temps d’exécution d’une tâche et sa répétitivité sont deux contraintes fortes dans le domaine de la commande temps-réel. Le non respect de l’une d’elles peut avoir des conséquences graves, aussi bien sur le comportement du système que sur son environnement direct. C’est à ce titre, que le système d’exploitation implémenté sur le calculateur est un système temps réel strict. Dans le cas de pendule inversé le noyau temps réel utilisé est le RTX(Real-time Extension for Control of Windows) de chez Ardence.

deux codeurs : pour mesurer l’angle du pendule et la position angulaire du volant d’inertie Récapitulatif des variables du système

Le tableau 3.1 regroupe l’ensemble des notations qui seront utilisées dans la modélisation (cf.

section3.4)du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie.

Variable Unité Description

C₁ N m Couple perturbateur

C₂ N m Couple appliqué du volant d’inertie sur le pendule

θ₁ rad Position angulaire du pendule

θ˙1 rad.s⁻¹ Vitesse angulaire du pendule θ¨₁ rad.s⁻² Accélération angulaire du pendule

θ₂ rad Position angulaire du volant

θ˙₂ rad.s⁻¹ Vitesse angulaire du volant θ¨2 rad.s⁻² Accélération angulaire du volant θ_r rad Position angulaire de référence θ˙_r rad.s⁻¹ Vitesse angulaire de référence θ¨_r rad.s⁻² Accélération angulaire de référence Table 3.1 – Récapitulatif des variables utilisées dans la modélisation

Le tableau 3.2 regroupe l’ensemble de ses paramètres géométriques et dynamiques :

3.3 Schéma de principe

Le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie (cf. figure3.1) est un système mécanique sous actionné. Dans , il dispose de deux axes de rotation et un seul actionneur (le volant d’inertie).

(31)

3.4. Modèle dynamique non linéaire

Paramètre Description Valeur unité

m₁ Masse du pendule 3.30810 Kg

m₂ Masse du volant 3.33081 Kg

l1 Distance pivot / centre de gravité du pendule 0.06 m l₂ Distance pivot / centre de gravité du pendule 0.044 m

i₁ Moment d’inertie du pendule 0.0314683 Kgm²

i₂ Moment d’inertie du volant d’inertie 0.0004176 Kgm²

E2 Épaisseur du volant d’inertie 0.02 m

R_E₂ Rayon extérieur du volant d’inertie 0.04 m

R_I₂ Rayon intérieur du volant d’inertie 0.03 m

g Accélération due à la gravité terrestre 9.81 ms⁻² Table 3.2 – Paramètres géométriques et dynamiques du système

La figure 3.3 montre que le système est constitué de trois corps : un bâti (0), une tige rigide ou pendule (1) et un volant d’inertie (2). La tige rigide est en rotation libre (liaison passive) autour du bâti alors que le volant d’inertie possède un axe de rotation solidaire de cette même tige. Le schéma de la figure3.3 met en exergue la géométrie du système dans un référentiel Galiléen [13]. Le pendule inversé présente deux points d’équilibres :

• Le point d’équilibre stable : qui correspond à l’état dans lequel le pendule est dirigé vers le bas. En l’absence d’une quelconque force de contrôle, le système reste naturellement dans cet état.

• Le point d’équilibre instable: qui correspond à l’état dans lequel le pendule est pointé vers le haut. Ce point d’équilibre est dit instable car en l’absence d’une force de contrôle, le pendule, sous l’effet d’une quelconque perturbation liée à son environnement, est incapable de rester dans cette position.

3.4 Modèle dynamique non linéaire

Afin d’élaborer le modèle dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, les hypothèses suivantes sont considérées :

– Hypothèse 1 : Les masses du pendule et de la roue d’inertie sont considérés comme étant des masses ponctuelles situées à leur centre de gravité (respectivementG1 et G2).

– Hypothèse 2 : L’étude de la dynamique du pendule inversé est réalisée en négligeant les phénomènes mécaniques liés aux frottements.

(32)

Figure 3.3 – Illustrations des points d’équilibre

– Hypothèse 3: La dynamique du moteur actionneur associée au volant d’inertie n’est pas prise en compte dans le cadre de la modélisation du système.

3.4.1 Principe mécanique

En appliquant le principe fondamental de la dynamique (PFD) , on peut démontrer très simplement la façon dont la partie actionné (volant d’inertie) agit sur l’angle du pendule afin de l’asservir en position verticale .

Cette démonstration s’appuie sur un modèle mécanique équivalent (cf. figure 3.4 le volant d’inertie est remplacée par une barre rectiligne pour modéliser de manière imagée le couple induit par sa rotation), pour en faciliter sa compréhension [13]. Les équations du principe fondamental de la dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie sont :

M~_oF~_A+M~_oF~_B+M~_oF~_G1+M~_oF~_G2 =X

M~_D (3.1)

Soit :

C~_{V I}+C~_P =X

M~_D (3.2)

avec :

C~_{V I} =M~_oF~_A+M~_oF~_B (3.3)

(33)

3.4. Modèle dynamique non linéaire

et

C~P =M~oF~G1 +M~oF~G2 (3.4) Le pendule est mis en mouvement lorsque le couple généré par le volant d’inertie C_{V I} est supérieur ou inférieur au moment résistant (M_D−M_P). La synthèse ci-après précise l’état du système en fonction de ces différences de moment :

- M_{M oment}~ =~0 le pendule en équilibre statique ; - M_{M oment}~ > ~0 le pendule est en phase ascendante ; - M_{M oment}~ < ~0 le pendule est en phase descendante.

Remarque: Dans la réalité, les forces mises en jeu pour mettre en rotation le volant d’inertie sont réparties d’une façon homogène sur la totalité de sa circonférence.

Figure 3.4 – Modèle mécanique équivalent

3.4.2 Lagrangien

Le modèle dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est obtenu en applicant le formalisme de Lagrange [?]. Cette approche nécessite le calcul des énergies cinétiques et potentielles des différents composants du système en fonction de coordonnées généralisées. Le Formalisme d’Euler-Lagrange repose sur l’équation de Lagrange :

d dt

∂L

∂q˙_i − ∂L

∂q_i =Q_i (3.5)

avec L=T −V – L : le lagrangien

– T : l’énergie cinétique totale du système

(34)

– V : l’énergie potentielle totale du système – Q_i= : Forces généralisées associées àq_i – q=

"

q₁ q₂

#

=

"

θ₁ θ₂

#

: le vecteur de coordonnées généralisées L’énergie cinétique totale T : T =TP +TV I, avec :

-T_P = ¹₂(m₁V_G1² +i₁θ˙₁²) , avec V_G1 =l₁θ˙₁ -T_{V I} = ¹₂(m₂V_G2² +i₂θ˙₂²), avec V_G2 =l₂θ˙₂ Donc :

T = 1

2(m₁l²₁+m₂l²₂+i₁) ˙θ₁+i₂( ˙θ₁+ ˙θ₂) (3.6) L’énergie potentielle totale V : V =VP endule+VV olantInertie, avec :

V_{P endule} =m₁l₁gcosθ₁ (3.7)

VV olantInertie =m₂l₂gcosθ₁ (3.8)

Donc :

V = (m1l1+m2l2)gcosθ1 (3.9)

L=T −V Donc :

L= 1

2Iθ˙²+i₂( ˙θ₁+ ˙θ₂)−mlg¯ cosθ₁ (3.10) Avec : ml¯ =m₁l₁ +m₂l₂ etI =m₁l²₁+m₂l²₂+i₁

3.4.3 Dynamique du pendule

Les équations de la dynamique du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie déduites des équations d’Euler-Lagrange décrivent l’accélération angulaire du pendule θ¨₁ et l’accélération angulaire du volant d’inertie θ¨₂.

θ¨₁ = 1

I[C₁ −C₂+ ¯mlgsinθ₁]:Accélération angulaire du pendule (3.11) θ¨₂ = 1

Ii2

[−i₂C₁+ (i₂ +I)C₂−i₂mlg¯ sinθ₁]:Accélération angulaire du volant d’inertie(3.12) Les équations de la dynamique du pendule inversé sont mises sous la forme :

G(x)¨x+H(x,x) ˙˙ x+I(x) = Q_x (3.13) Donc :

"

I +i₂ i₂ i₂ i₂

# "

θ¨₁ θ¨₂

# +

"

−mlg¯ sinθ₁ 0

#

=

"

C₁ C₂

#

(3.14)

(35)

3.5. Représentation d’état et linéarisation

3.5 Représentation d’état et linéarisation

La représentation d’état du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est obtenue par la linéarisation de son modèle dynamique autour du point d’équilibre instable [16]. En prenant comme vecteur d’état X = [ θ₁ θ˙₁ θ₂ θ˙₂ ]^T et U =C₁

Les équations d’état sont de la forme :







X˙ =AX+BC₁ Y =CX

(3.15)

Avec :

A=







0 1 0 0 a₂₁ 0 0 0 0 0 0 1 a42 0 0 0





 , B =





 0 b₁ 0 b2







etC =h

c₁ 0 0 0 i

(3.16)

Avec : a₂₁ = ^mlg^¯_I =−a₄₁ ,b₁ = _I¹ =−b₂ etc₁ = 1.

Remarque: Le couple perturbateur est considéré nul pour simplifier l’étude du pendule inversé.

3.6 Analyse du système en boucle ouverte

Les pôles du système en boucle ouverte sont calculés en cherchant les solutions de l’équation caractéristique det(A−λI) = 0. Dans le cas du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie, l’équation caractéristique est :λ(λ²−a21) = 0 et les pôles sont : 0; √

a21; −√ a21

La présence de pôles à partie réelle nulle ou positive, vient confirmer le fait que le pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est un système naturellement instable.

La gouvernabilité a un impact direct sur la conception de la loi de commande d’un système.

Un système est dit gouvernable, s’il existe une commande permettant d’amener le système depuis l’état x(t0)vers l’état x(t1).

Un système est entièrement gouvernable si le rang de sa matrice de gouvernabilité (Go = [B AB . . . Aⁿ⁻¹B])est égal à la dimension du système (n).

(36)

Dans le cas de notre système : C= [B AB A²B A³B] avecn = 4. Soit :

C=







0 22.7 0 −1078.6

−22.7 0 −10786 0 0 2417.4 0 1078.6 2417.4 0 1078.6 0







(3.17)

det(C) = 46= 0 ⇒ Rang(C) = 4 =n.

L’observabilité est une propriété fondamentale pour la conception d’un observateur d’état. Un système est dit observable, si la connaissance de son vecteur de sortie entre les instantst₀ ett₁ permet de déduire l’état x(t1). Un système est entièrement observable si le rang de sa matrice d’observabilité (Ob = [C^T[CA]^T . . .[CAn−1]^T]^T ) est égal à n la dimension du système.

La matrice d’observabilité du pendule inversé stabilisé par volant d’inertie est la suivante :

O =







1 0 0 0

0 1 0 0

47.4793 0 0 0 0 47.4793 0 0







(3.18)

(37)

Chapitre 4

Solution1 :Approches de commande prédictive

4.1 Principe générale des techniques de commande pré- dictive

Introduction à la commande prédictive

La commande prédictive est née à la fin des années 1970 et s’est considérablement développée depuis, à la foie dans la communauté de la recherche en automatique et dans l’industrie.

Le terme de commande prédictive ne désigne pas une stratégie de commande spécifique mais un ensemble de méthodes de l’automatique qui utilisent explicitement un modèle du processus à commander, afin d’obtenir le signal de commande par la minimisation d’une fonction de coût . Ces méthodes donnent des correcteurs linéaires qui ont pratiquement tous la même structure et qui se basent tous sur les idées suivantes [4] :

– Utilisation d’un modèle pour prédire les sorties du procédé des instants futurs (notion d’

horizon de prédiction) ;

– Calcul de la séquence des commandes qui minimise une fonction de coût dans le futur (notion d’ horizon de commande) ;

– Chaque instant d’échantillonnage, l’horizon de prédiction est déplacé vers le futur, et seule la première des commandes calculées est effectivement appliquée au système (notion d’ horizon fuyant).

Avantages et inconvénients de la commande prédictive

La commande prédictive présente un certain nombre d’avantages, par rapport aux autres méthodes, parmi lesquels on trouve [4] :

– son principe très intuitif et le réglage relativement facile de ses paramètres ;