FORMATION D’IMAGES PAR UN SYSTÈME OPTIQUE
Un rayon lumineux définit donc une droite « immatérielle », il est l’instrument idéal pour effectuer des alignements, repérer des positions ou mesurer des angles.
Autre notion fondamentale, la formation des images est la première et la plus importante raison d’être de l’optique. La plupart des appareils de mesure sont munis de dispositifs de lecture optique qui améliorent la précision autant que la rapidité des mesures.
Un atout important des dispositifs optiques est la possibilité d’obtenir des images
« aériennes » permettant des contacts parfaits. Cette possibilité est largement utilisée, par exemple, pour assurer l’exacte coïncidence entre une image et une graduation de mesure dans des jumelles, et son avatar le plus récent est le dispositif « tête haute » permettant aux pilotes d’avion, et bientôt aux conducteurs d’automobiles, de voir leur cadrans de contrôle sans quitter des yeux l’espace environnant.
Ce chapitre traite de la condition d’obtention d’images nettes. Elle devra être homothétique de son objet correspondant. Un instrument d’optique sera de bonne qualité si l’image d’un point est un point, il sera dit stigmatique. Ci-dessous, la vision d’un fort astigmate :
L’œil n’est sensible qu’à la direction des rayons qui l’atteignent, il voit une « image » au point d’intersection de ces rayons.
Pour bien comprendre, l’œil voit la pièce en A’ :
position apparent position
réelle Chapitre 6
I – SYSTÈME OPTIQUE 1- Définition
Un système optique est un ensemble d’instruments d’optique (lentilles, miroirs …) susceptibles de dévier les rayons lumineux issus d’un objet.
2- Système optique centré
Si l’ensemble des instruments possède une symétrie de révolution autour d’un axe Δ, cet axe est appelé axe optique.
Propriété importante : un rayon lumineux arrivant suivant l’axe optique n’est pas dévié, cet axe représente la trace de ce rayon.
II – IMAGES ET OBJETS RÉELS ET VIRTUELS 1- Système dioptrique
Définition : un système dioptrique est un système optique par transmission.
Cas n°1 :
En sortie les rayons sont convergents, l’image peut se matérialiser sur un écran. Elle est réelle.
Cas n°2 :
Δ axe optique
système optique centré
système dioptrique écran
A A’
+
système dioptrique
A A’
+
En sortie, les rayons sont divergents, l’image ne peut pas se matérialiser sur un écran et n’existe pas réellement. L’image semble provenir de A’ : on dit que l’image est virtuelle.
Retenons :
Un objet est réel s’il est dans l’espace objet (son espace), il est virtuel partout ailleurs.
Une image est réelle si :
(i) elle est dans l’espace image (son espace), (ii) elle est projetable sur un écran,
(iii) elle est à l’intersection des rayons sortant du système optique.
Une image est virtuelle si :
(i) elle est dans l’espace objet (l’autre espace),
(ii) elle n’est pas projetable sur un écran, il faut regarder DANS l’instrument d’optique,
(iii) elle est à l’intersection des PROLONGEMENTS des rayons sortant du système optique.
Exemple de la lentille :
système dioptrique
espace objet espace espace image objet
et image virtuels +
sens de la lumière transmise sens de la lumière incidente
espace image espace objet
+
sens de la lumière transmise sens de la lumière incidente
espace objet
et image virtuels
lentille
2- Système catadioptrique
Définition : un système catadioptrique est un système optique par réflexion.
Objet et image sont réels s’ils sont dans l’espace réel. Inversement, objet et image sont virtuels s’ils sont dans l’espace virtuel.
3- Cas des lentilles et des miroirs
Lentilles : C’est le sens de propagation de la lumière qui définit les espaces objet et image, l’espace avant la lentille (le premier espace rencontré) est l’espace objet, l’espace après la lentille est l’espace image. L’objet est réel lorsqu’il est dans l’espace objet (autrement dit dans son espace), il est virtuel s’il se situe dans l’espace image. L’image est réelle si elle est dans l’espace image (son espace), elle est virtuelle si elle se situe dans l’espace objet
Miroirs : Objet et image sont réels s’ils sont dans l’espace réel. Inversement, objet et image sont virtuels s’ils sont dans l’espace virtuel (« l’autre côté » du miroir).
système catadioptrique +
sens de la lumière réfléchie
espace réel
sens de la lumière incidente
espace virtuel
O L
O L +
lentille divergente lentille convergente
F’ F
F F’
S +
miroir plan +
espace objet espace image espace objet espace image espace réel espace virtuel
III – STIGMATISME
1- Condition de stigmatisme rigoureux
Définition :Un système optique S est rigoureusement stigmatique pour le couple de points (A, A’) si tous les rayons issus du point A passent exactement par le point image A’, après traversée du système optique S. L’objet ponctuel A donne ainsi par le système optique S une image A’ ponctuelle.
Définition :Un point lumineux A donne par le système optique S une image A’. D'après le principe du retour inverse de la lumière, un objet placé en A’ donne par S le point A comme image : les points A et B sont dits points conjugués.
Schéma synoptique :
2- Stigmatisme approché
Le stigmatisme rigoureux est très rarement réalisé (sauf pour le miroir plan, mais celui-ci est idéal) mais nullement nécessaire en pratique car les récepteurs optiques ont une structure granulaire (cellules de la rétine de l’œil, grains de la plaque photographique, pixels).
Un système optique donne d'un point lumineux une image qui est un petit volume (une tache dans un plan) et non un point. L'image obtenue reste satisfaisante si les dimensions de ce volume sont inférieures à celles des grains du capteur. Dans ces conditions on dit qu'il y a stigmatisme approché.
écran
A A’
+
A A’
système optique
(2) images de
deux objets ponctuels (1) images de
deux objets ponctuels
(3) images de
deux objets ponctuels
Pour chaque objet ponctuel, les images obtenues en figures (1) et (2) par le système optique S sont considérées comme des points images par le récepteur (malgré leurs dimensions différentes)car elles sont recueillies sur un seul pixel. Elles peuvent être parfaitement séparées et l’image parfaitement résolue. Par contre l’image obtenue en figure (3) est une tache et non pas un point car elle est répartie sur plusieurs pixels. Sur cette figure, plusieurs points voisins de l’objet donnent des taches qui se superposent sur le récepteur et se brouillent : l’image est impossible à reconstituer (à résoudre) et apparait floue. Cette situation est optiquement inexploitable.
Conclusion : il y a stigmatisme approché lorsque la dimension de la « tache image » reste suffisamment petite pour être considérée ponctuelle par le récepteur. Elle doit être pour cela inférieure à la dimension d’un pixel.
Définition : il y a stigmatisme approché d’un système optique S pour un couple de points conjugués (A,A′) si tout rayon passant par le point objet A, passe au voisinage du point image A′ après avoir traversé le système optique S.
IV – APLANÉTISME
Ø Système optique S aplanétique :
Définition : Soit un système optique stigmatique possédant un axe de symétrie Δ appelé axe optique. Il y a aplanétisme si pour tout objet AB plan et perpendiculaire à Δ, son image A’B’ est plane et perpendiculaire à Δ.
Ø Système optique S non aplanétique :
Ø Conséquence sur la construction d’une image :
Pour un système optique aplanétique, il suffit d’obtenir la position de B’ pour représenter l’image A’B’ d’un objet AB : la représentation de A est obtenue par la projection orthogonale de B’ sur l’axe optique.
A
A’
+ B
B’
A
A’
+ B
B’
V – CONDITIONS DE L’APPROXIMATION DE GAUSS
Dans les conditions de Gauss, le système centré est stigmatique (l’image d’un point est un point) et aplanétique (l’image d’un objet étendu perpendiculaire à l’axe optique est perpendiculaire à l’axe optique).
Conditions de Gauss : les rayons lumineux sont paraxiaux, c’est à dire peu inclinés par rapport à l’axe optique et peu écarté de cet axe.
Réalisation pratique :
Grâce à la présence du diaphragme, l’inclinaison des rayons lumineux sur l’axe du système ne dépasse pas quelques degrés (α< 10°).
VI – FORMULES OU RELATIONS DE CONJUGAISON
Pour un système optique, la relation qui permet de localiser le point image A’ à partir de la position du point objet A constitue la relation de conjugaison de ce système optique.
1- Cas du miroir plan
Lorsque nous nous regardons dans un miroir plan, notre image parait exempte de défauts au sens où chaque point de l’objet donne dans le miroir un point image parfaitement défini.
A
A’
+ B
B’
diaphragme α
miroir plan A
A’
S objet réel
image virtuelle
a) stigmatisme et aplanétisme rigoureux
Pour établir le stigmatisme du miroir plan, il faut vérifier que tous les rayons issus d’un point objet A passent, après réflexion sur le miroir, par un même point image A’. Il s’agit bien ici d’un stigmatisme rigoureux car tous les rayons issus de A passent effectivement par le point image A’ indépendamment du point d’incidence I et de l’angle d’incidence i.
Nous pouvons donc écrire le schéma synoptique suivant :
A et A’ constituent un couple objet et image conjuguée.
Le miroir plan stigmatique possède un axe de symétrie Δ. Il y a aplanétisme rigoureux car pour tout objet AB plan et perpendiculaire à Δ, son image virtuelle A’B’ est bien plane et perpendiculaire à Δ.
b) Relation de conjugaison
Constatons que le triangle AIA’ est isocèle. Le point A’ vérifie ainsi :
SA + SA' = 0
Cette relation est toujours vraie même en dehors des conditions de Gauss, elle constitue la relation de conjugaison du miroir plan.
Observons que le point d’incidence I n’intervient pas dans cette expression, ce qui signifie que la position du point A’ est indépendante du rayon lumineux considéré. Nous établissons ainsi le stigmatisme rigoureux du miroir plan.
A A’ A
B B’
A’
S S
I S’
+
i - i
- i
Δ
A A’
miroir plan
2- Cas du dioptre plan
Nous allons interpréter l’illustration suivante :
Considérons un rayon lumineux transmis qui passe, au travers d’un dioptre plan, d’un milieu homogène d’indice ni vers un milieu homogène d’indice nt. Le second milieu est moins réfringent que le premier : nt < ni.
Le sens positif adopté pour les angles impose :
Ø i> 0 car orienté dans le sens positif choisi Ø r> 0 car orienté dans le sens positif choisi Ces angles appartiennent à l’intervalle 0,
2
⎡ π⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
A A’ S
+ I
i
r
i
ni nt
r
dioptre plan
Remarquons que dans ce cas les sinus, cosinus et tangente sont tous positifs. Il est utile d’avoir en tête le cercle trigonométrique :
Le sens positif adopté pour les axes impose pour les longueurs algébriques : AS> 0, A'S> 0 et
SI> 0 car elles sont orientées dans le sens positif choisi.
a) Stigmatisme approché
1. Ecrire au point d’incidence I les lois de Snell-Descartes
Lois de Descartes relatives à la réfraction en I :
- le rayon réfracté est dans le plan d’incidence (A, I, S) - ni sini = nt sinr
2. Pour établir la relation qui permet de localiser A’ à partir de A, établir le rapport SA ' SA en fonction de tani et tanr :
SI IS
tani= AS SA= et SI IS
tanr= A 'S SA '= ⇒ SA ' tan SA tan i
= r
3. Etablir ce rapport en fonction de nt, ni et de fonctions trigonométriques de l’angle i seulement.
tan sin
cos i i
= iet
i t
2 2
i 2 t
sin sin sin
tan cos 1 sin
1 sin
n i
r r n
r r r n
n i
= = =
− ⎛ ⎞
− ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 i 2 t i t
1 sin
SA ' tan sin
SA tan cos sin
n i
i i n
r i n i
n
− ⎜ ⎟⎛ ⎞
= = × ⎝ ⎠ ⇒
2 2 i
t t i
1 sin
SA '
SA cos
n i
n n
n i
− ⎜ ⎟⎛ ⎞
= × ⎝ ⎠ (1)
cosθ sinθ
1 - 1
1
θ
- 1
4. Conclure en commentant le schéma suivant :
La position de l’image virtuelle A’ est mal définie car elle dépend de l’angle d’incidence i et du point d’incidence I. Elle apparaît brouillée pour l’observateur.
5. Un poisson dans un aquarium peut pourtant nous apparaître net. Le dioptre qui sépare l’eau de l’air peut donc être stigmatique au prix d’une approximation.
Supposons les angles i et r faibles et exprimonsSA '
SA en fonction de nt et ni.
L’œil, de petite dimension, sélectionne les rayons qui sont dans les conditions de Gauss, on supposera puisque les angles sont faibles que sini≈0et cosi≈1. La relation (1) donne :
t i
SA ' SA
n
= n
La position de A’ est ainsi indépendante de I, l’intersection des rayons qui atteignent l’œil est une tache perçue par lui comme un point.
6. Relation de conjugaison dans les conditions de Gauss Schéma synoptique :
Relation de conjugaison :
i t
SA SA ' n = n A
ni
nt
A A’
dioptre plan
n n'
VII – LES MIRAGES OPTIQUES
L’œil n’est sensible qu’à la direction des rayons qui l’atteignent, il voit une « image » au point d’intersection de ces rayons.
Un milieu optique est caractérisé par un indice de réfraction n qui "détermine" la vitesse de la lumière dans ce même milieu :
= c n v
• n est l'indice du milieu, c’est une fonction décroissante de la température
• v est la vitesse de la lumière dans le milieu d’indice n
• c est la vitesse de la lumière dans le vide.
La lumière se propage plus lentement dans un milieu à indice fort. Or le principe de Fermat postule que le rayon lumineux choisit la trajectoire la plus rapide, il préfèrera donc les zones dont les indices sont les plus faibles.
Pour un gaz dilués, (n – 1) est proportionnel à la masse volumique, donc proportionnel à la pression et inversement proportionnel à la température. Selon la loi de Gladstone, (n – 1) est proportionnel à P/T.
Ainsi le rayon lumineux choisit à pression constante (la pression atmosphérique) les zones d’indice faible, c'est-à-dire les zones les plus chaudes.
1- Les mirages chauds (ou mirages inférieurs) Observations :
Interprétation des mirages inférieurs :
réflexion totale indice
température
Dans un milieu chaud (un désert par exemple), lorsqu'on regarde au niveau du sol, on remarque une sorte de grande nappe d'eau, qui semble s'éloigner au fur et à mesure qu'on avance. Le schéma ci dessous nous montre que les rayons provenant du ciel sont courbés au voisinage du sol, et remontent vers l'œil de l'observateur.
Le mirage est une illusion d'optique due à la réfraction des rayons lumineux émis par un objet dans des couches d'air de température et de densité différentes.
L'air chaud et moins dense à proximité du sol fait dévier et changer de convexité la trajectoire des rayons lumineux, comme s'ils étaient réfléchis sur un miroir. Lorsque ces rayons lumineux, qui ne sont plus rectilignes mais courbes, atteignent l'œil de l'observateur, ils semblent provenir du sol et l'observateur voit alors une seconde image, inversée.
Dans les mirages inférieurs, l'air au voisinage du sol est plus chaud, donc son indice est faible, donc le rayon se dirige vers le milieu d'indice le plus élevé. Le gradient d'indice est donc vertical et dirigé vers le haut. On voit donc le ciel au niveau du sable.
2- Les mirages froids (ou mirages supérieurs)
Dans un milieu froid (le cantal par exemple, voir photo), lorsqu'on regarde le ciel, on voit une montagne au loin. Plus on se rapproche, plus on a la surprise de la voir diminuer, pour devenir un simple rocher... La courbure se fait donc dans le ciel, et l'image observée est à l'envers.
Mirage supérieur exceptionnel au-dessus de la ville de Salers (1900 – cliché réalisé par l’abbé Gély)
Interprétation des mirages supérieurs :
Dans les mirages supérieurs, l'air à proximité du sol est froid, donc son indice est fort, donc le rayon se dirige vers ce milieu et se courbe dans l'air, moins froid. Le gradient d'indice est donc vertical et dirigé vers le bas.
réflexion totale indice
température
