Théorème de Borel-Lebesgue

Théorème de Borel-Lebesgue

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France

1. Ensembles compacts et ensembles précompacts

Définition 1.1. Un espace métrique (E, d) est un ensemble E muni d’une fonction dis- tance :

d: E×E −→ R+

(x, y) 7−→ d(x, y), sujette à satisfaire les trois axiomes suivants :

(i)Symétrie :d(x, y) =d(y, x)>0pour tousx, y ∈E; (ii)Vraie distance :d(x, y) = 0seulement lorsquex=y; (iii)Inégalité triangulaire :Pour tousx, y, z ∈E :

d(x, z) 6 d(x, y) +d(y, z).

Dans un espace métrique, les ouverts-modèles sont lesboules ouvertes : B(x, r) :=

y∈E: d(x, y)< r , de rayons variésr >0centrées en des points quelconquesx∈E.

Généralement, un sous-ensemble

O ⊂ E,

est unouvertsi en chacun de ses points, on peut centrer une boule ouverte de rayon assez petit pour qu’elle soit entièrement contenue dansO.

Définition 1.2. Un espace métrique(E, d)est ditcompacts’il satisfait la propriété, ditede Bolzano-Weierstrass, d’après laquelle, si on se donne une suite quelconque :

x_n∞

n=1

de pointsx_n ∈E, on peut toujoursextraireau moins une sous-suite : x_nk∞

k=1 avec 16n₁ < n₂ <· · ·< n_k < n_k+1 <· · · , qui admet une limite :

lim

k→∞xn_k =:x_∞ ∈ E appartenant encore àE.

Par exemple, on démontre que tout intervalle fermé borné [a, b] ⊂ R est compact. En dimension quelconque d > 1, on démontre aussi que tout sous-ensemble fermé borné K ⊂R^dest compact, et réciproquement d’ailleurs, que les compacts de R^d ne sont autres que les sous-ensembles fermés et bornés.

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2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d’Orsay, Université Paris-Sud

Définition 1.3. Un espace métrique (E, d) est dit précompact lorsque, pour tout ε > 0 arbitrairement petit, il existe un entierN =N_ε >1et des points :

x₁, . . . , x_N ∈ E,

tels queE est recouvert par lesN boules ouvertes de rayonεcentrées en ces points : E =B(x₁, ε)∪ · · · ∪B(x_N, ε).

Or la langue française nous dit que tout ce qui est «pré-» — par exemple un prélimi- naire qui précède prématurément le présage des préposés concernant l’examen prépara- toire — se situe avant la chose. Alors pour garantir que notre belle langue française ne se sente pas froissée, on a heureusement une :

Proposition 1.4. Tout espace métrique compact(E, d)est précompact.

Démonstration. Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existeε > 0tel queE n’est recouvert paraucunefamille finie de boules ouvertes de rayonε.

Partant donc d’un point quelconquex₁ ∈ E, il existe un pointx₂ ∈ E hors de la boule B(x₁, ε), et ainsi de suite indéfiniment :

∃x₂ ∈E

B(x₁, ε),

∃x₃ ∈E

B(x₁, ε)∪B(x₂, ε) ,

· · · ·

∃x_n+1 ∈E

B(x₁, ε)∪B(x₂, ε)∪ · · · ∪B(x_n, ε) ,

· · · · Mais commeE est compact, de cette suite infinie x_n∞

n=1, on doit pouvoir extraire au moins une certaine sous-suite :

xn_k

_∞

k=1

qui converge vers un certain pointx_∞∈E :

lim

k→∞x_nk =x_∞.

En particulier, cette sous-suite doit être de Cauchy puisqu’elle converge :

∃K =K_ε 1

k >K =⇒ d x_nk+1, x_nk

6 ε

2

.

Mais comme pour tous les entiers compris entrenketnk+1 > nk, à savoir les entiers : n_k+ 1, n_k+ 2, · · · , n_k+1−1, n_k+1,

on a su choisir choisir :

x_nk+1 6∈ B(x₁, ε)∪ · · · ∪B(x_nk, ε),

x_nk+2 6∈ B(x₁, ε)∪ · · · ∪B(x_nk, ε)∪B(x_nk+1, ε),

· · · ·

xn_k+1 6∈ B(x1, ε)∪ · · · ∪B(xn_k, ε)∪B(xn_k+1, ε)∪ · · · ∪B(xn_k+1−1, ε),

il vient que la distance entrex_nk et x_nk+1, lequel n’appartient pas à B(x_nk, ε), restait de factotoujours supérieure àε:

d x_nk+1, x_nk

> ε,

ce qui est la contradiction recherchée.

Proposition 1.5. Dans un espace métrique compact(E, d), soit une famille d’ouverts : Oi

i∈I

paramétrée par un ensemble quelconque d’indicesI, qui le recouvrent complètement :

E = [

i∈I

Oi.

Alors il existe un rayon strictement positifr > 0assez petit pour que toute boule ouverte de rayonrsoit contenue dans au moins un ouvert de la famille :

∀x∈E ∃i=i_x ∈I B(x, r) ⊂ Oi.

Démonstration. Raisonnons encore par l’absurde, et supposons au contraire que pour tout rayon arbitrairement petitr >0de la forme :

r = 1 n, avecn >1entier, il existe un certain mauvais point :

x_n ∈ E,

autour duquel la boule de rayon_n¹ n’est contenue dansaucunouvert de la famille : B x_n, _n¹

6⊂ Oi, (1.6)

quel que soiti∈I.

Bien entendu, la compacité de E nous permet alors d’extraire de ces x_n une certaine sous-suite :

x_nk∞

n=1

convergente :

lim

k→∞x_nk =:x_∞ ∈E.

Mais alors, puisqueEest recouvert par les ouvertsOi, ce point-limite appartient à au moins l’un d’entre eux :

∃i_∞ ∈I, tel que x_∞ ∈ Oi_∞. Or par ouverture deOi_∞, il existeδ >0assez petit pour que :

B(x_∞, δ) ⊂ Oi_∞.

Maintenant, nous pouvons choisir un entierK 1assez grand pour avoir simultané- ment :

k >K =⇒









1 nk 6 δ

3, d xn_k, x_∞) 6 δ

3. Pour de tels indicesk >K, l’inégalité triangulaire :

d y, x_∞

6 d y, x_nk

+d(x_nk, x_∞)

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d’Orsay, Université Paris-Sud

B(x_∞, δ) x_∞

x1

xn_k

B(x_∞, δ) x_∞

xn_k

B(xn_k, δ/3) B(xn_k, δ/3)

y

permet alors de vérifier — exercice mentalo-visuel — que : B x_nk, _n¹

k

⊂ B x_nk, ^δ₃

⊂ B(x_∞, δ)

⊂ Oi_∞,

ce qui contredit manifestement le choix desx_nfait par (1.6) ci-dessus ! Nous pouvons maintenant énoncer un théorème tellement fondamental qu’il est utilisé des milliers de fois dans tous les exercices d’Analyse en L1, en L2, en L3, en M1, en M2, sur la Lune, et sur Mars !

Théorème 1.7. [Borel-Lebesgue] De tout recouvrement d’un espace métrique compact (E, d):

E = [

i∈I

Oi, par une famillequelconqued’ouverts non vides :

Oi ⊂E,

indexée par un ensembleI de cardinal éventuellement arbitrairement grand, on peutex- traireun sous-recouvrementfini, à savoir il existe un nombre finin >1d’indices :

i1, . . . , in ∈ I tels que, en fait :

E = Oi1 ∪ · · · ∪Oin.

| {z }

un nombre fini d’ouverts suffit en fait pour recouvrir

Démonstration. Soit donc Oi

i∈I un tel recouvrement ouvert deE.

La Proposition 1.5 fournit un rayonr >0tel que toute boule ouverteB(x, r)de rayon ret de centre quelconquex∈Eest contenue dans au moins un ouvertOi:

∀x∈E ∃i(x)∈I tel que B(x, r) ⊂ Oi(x).

Mais de surcroît, avec ce même rayon r > 0, la précompacité de E assure d’après la Proposition 1.4 que parmi l’infinité de boules :

B(x, r)

x∈E,

un nombre fini suffit en fait pour recouvrirE, à savoir il existe un nombre finin > 1de pointsx₁, . . . , x_n ∈Etels que :

E = B(x₁, r)∪ · · · ∪B(x_n, r).

Alors il devient tout à fait clair que :

E = B(x₁, r)∪ · · · ∪B(x_n, r)

⊂ Oi(x1)∪ · · · ∪Oi(xn),

est effectivement recouvert par une sous-famille finie d’ouverts ! En exercice, nous proposons d’établir la réciproque, classique, de ce théorème.

2. Paradoxes historico-épistémologiques 3. Exercices

Exercice 1. On dit qu’un espace métrique(E, d)satisfait la propriété de Borel-Lebesguelorsque, de tout recouvrement :

E=[

i∈I

Oi

par des ouvertsOi⊂E, on peut extraire un sous-recouvrement ouvertfini : E=Oi1∪ · · · ∪Oin.

Montrer qu’un tel espace est toujours nécessairement compact.Indication: Montrer d’abord qu’une inter- section dénombrable de sous-ensembles fermés non videsF_n ⊃ F_n+1 emboîtés les uns dans les autres de manière décroissante est au final non vide :

\∞ n=1

Fn 6= ∅.

Partant d’une suite quelconque(xk)^∞_k=1de pointsxk ∈E, introduire ensuite les fermés : F_n:=

x_k ∈E: k>n (n>1), et montrer que tout point :

x_∞ ∈ \^∞

n=1

Fn

est limite d’une certaine sous-suite(xk_l)^∞_l=1. Exercice 2. EE

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