Chapitre 28
Machine thermique
Objectifs
Appliquer les principes de la thermodynamique aux machines thermiques cycliques dithermes.
Introduire les notions de rendement et d'efficacité (ou coefficient de performance).
Connaître le théorème de Carnot.
Compétences requises
Cocher la case correspondante dans le tableau ci-dessous.
Je sais ...
… citer le premier principe
… citer le deuxième principe
… déterminer le travail des forces de pression
… ce qu'est une évolution isentropique
1. Machine thermique
On distingue les machines ditherme dont le but est d'obtenir un travail (moteur) de celles dont le but est d'obtenir un transfert thermique (réfrigérateur et pompe à chaleur). Toute évolution doit être, bien entendu, conforme au premier et deuxième principe de la thermodynamique.
Principe de fonctionnement d'une machine ditherme Cas d'une machine motrice ditherme
Le but d'une machine thermique motrice est de convertir de la chaleur en travail. Cela s'effectue par l'intermédiaire de l'écoulement d'un fluide. Le principe de fonctionnement d'une machine ditherme motrice est le suivant :
• elle reçoit de la part d'une source chaude un transfert thermique Qc,
• elle convertit une partie du transfert thermique en travail,
• elle transmet à une source froide de l'énergie par transfert thermique Qf. Schéma synoptique :
➢ Indiquer les signes des transferts thermiques algébriquement reçus Qc et Qf par le moteur thermique.
Cas d'une machine thermique réceptrice de type pompe à chaleur
La source chaude est le local dont on veut maintenir la température (plus grande que la température de l'atmosphère) ; la source froide est l'atmosphère extérieure ; un travail est reçu.
Source chaude
Source froide
PAC W : travail reçu transfert thermique
vers la source chaude
transfert thermique de la part de la source froide
Source chaude
Source froide
Moteur
thermique Wnet : travail récupérable par
l'utilisateur Qc : transfert thermique
de la part de la source chaude
Qf : transfert thermique vers la source froide
PCSI Thermodynamique
➢ Indiquer les signes des transferts thermiques algébriquement reçus Qc et Qf par la PAC.
Cas d'une machine thermique ditherme réceptrice de type réfrigérateur
Lors de son évolution, le fluide caloporteur d'un réfrigérateur reçoit un travail de la part du compresseur, reçoit de l'énergie par transfert thermique des aliments à refroidir et cède de l'énergie par transfert thermique à l'air ambiant.
➢ Réaliser un schéma synoptique illustrant les échanges d'énergies dans le cas du réfrigérateur et préciser la nature des sources.
Efficacité d'une machine thermique
On mesure la qualité de la machine thermique par son efficacité (notée e) e=énergie utile
énergie coûteuse .Selon le rôle de la machine thermique, ce rapport est nommé rendement ou efficacité. Dans le cas d'une machine thermique motrice, l'énergie utile correspond à un travail récupérable par l'utilisateur (travail net) et le coût énergétique correspond à la chaleur reçue de la part de la source chaude, son efficacité (ou encore rendement thermique η ) est emoteur=|W|
Qc .
Dans le cas d'une machine thermique réceptrice, l'énergie utile correspond à un transfert thermique récupérable par l'utilisateur et le coût énergétique correspond au travail fourni. On définit l'efficacité (ou encore le coefficient de performance thermique COP) par la relation eréceptrice=|Qutile|
W .
➢ Que vaut Qutile dans le cas d'une pompe à chaleur ? Et dans le cas d'un réfrigérateur ?
➢ On considère un moteur thermique d'efficacité 30 %. Calculer la puissance récupérable sachant que la puissance thermique reçue de la source chaude vaut 1,0 MW.
2. Inégalité de Clausius (1822-1888)
Inégalité de Clausius
L'inégalité de Clausius découle du deuxième principe. Pour un système qui évolue de façon cyclique
∫
initial final=initial
∂Q
T ≤0 (l'égalité correspond au cas où l'évolution cyclique est réversible). On se propose de retrouver cette relation dans le cas d'un système en contact avec deux sources de températures. D'après le deuxième principe,
ΔS=Séchangée+Scréée=
∫
δTQext
+Scréée=
⏟
ici
Qf Tf+Qc
Tc+Scréée où les indices f et c correspondent respectivement à la source froide et à la source chaude. L'évolution étant cyclique (l'état final correspond à l'état initial) et l'entropie S étant une fonction d'état ΔS = 0.
Comme Scréee 0 on en déduit Qf Tf+Qc
Tc≤0 ; Remarque :
Dans le cas où l'évolution est en plus réversible : Qf Tf+Qc
Tc=0 . Exemple 1 :
➢ Déterminer l'expression de l'entropie créée lors d'un évolution cyclique d'un système en contact successivement avec une source froide de température Tf et une source chaude de température Tc.
Exemple 2 :
Selon Clausius il est impossible de concevoir une machine décrivant un cycle qui n'aurait d'autre effet que le transfert thermique d'une source froide vers une source chaude.
On se propose de prouver cette assertion.
➢ Que vaut le travail dans le cas qui nous intéresse ? Quels sont les transferts thermiques possibles ?
➢ Pourquoi peut-on dire que la variation d'énergie interne du système lors du cycle est nulle ?
➢ Écrire la relation issue du premier principe et en déduire une relation entre Qf et Qc.
➢ Rappeler l'inégalité de Clausius pour un système en contact avec deux sources de températures.
➢ En déduire que Qf
(
T1f− 1
Tc
)
≤0 . Conclure.Exemple 3 :
Selon Kelvin-Planck, il est impossible de concevoir une machine décrivant un cycle qui n'aurait d'autre effet que de produire un travail et d'échanger de la chaleur avec une seule source de température.
On se propose de prouver cette assertion.
➢ Identifier les échanges d'énergies.
➢ Pourquoi peut-on dire que la variation d'énergie interne du système lors du cycle est nulle ?
➢ Quelle relation peut-on écrire entre Q et W dans le cas qui nous intéresse ?
➢ Écrire l'inégalité de Clausius pour un système en contact avec une seule source de température. Conclure.
Lyes KIOUS 2 Machine thermique
3. Machine de Carnot
La machine de Carnot (1796-1832) est une machine thermique de référence ; toutes les évolutions du fluide au sein de cette machine sont supposées réversibles.
Description du cycle de Carnot
Dans une machine de Carnot, le fluide décrit un cycle d'évolutions toutes réversibles décrites ci-dessous :
• transfert thermique Qc avec la source chaude à température constante Tc,
• détente isentropique,
• transfert thermique Qf avec la source froide à température constante Tf,
• compression isentropique,
Diagramme de Clapeyron d'un cycle de Carnot.
Extrait de bibnum.education
Travail algébriquement reçu par le système au cours d'un cycle
Le travail algébriquement reçu par le système au cours d'un cycle est l'aire du cycle du digramme de Clapeyron.
Animation
http://www.wontu.fr/animation-cycle-carnot.htm
Efficacité d'un moteur (rendement thermique) ditherme décrivant un cycle de Carnot
L'efficacité d'un moteur thermique (ou rendement thermique) dans le cas d'un cycle de Carnot vaut ηCarnot=1−Tf
Tc où Tf est la température de la source froide et Tc la température de la source chaude.
➢ Calculer le rendement d'un moteur ditherme effectuant un cycle de Carnot dans le cas où Tc = 373 °C et Tf = 27 °C.
Ordre de grandeur :
L'efficacité d'un moteur thermique est entre 20% à 30%. La « perte » de rendement d'une machine est liée à l'irréversibilité des processus.
On se propose de retrouver l'expression du rendement thermique d'une machine de Carnot. On considère le fluide qui décrit un cycle.
➢ Écrire la relation issue du premier principe.
➢ Pourquoi peut-on dire que la variation d'énergie interne du système lors du cycle est nulle ?
➢ Quels sont les transferts thermiques possibles ?
➢ Exprimer le travail en fonction des transferts thermiques.
➢ Pourquoi peut-on écrire ηCarnot=1+Qf Qc ?
➢ Pourquoi peut-on écrire Qf Tf+Qc
Tc=0 ? Retrouver alors l'expression du rendement de Carnot.
Efficacité d'un machine thermique réceptrice dans le cas d'un cycle de Carnot L'efficacité est définie par eréceptrice=|Qutile|
W où W est le travail reçu (énergie coûteuse du point de vue de l'utilisateur).
Cas d'une machine frigorifique :
Une machine frigorifique reçoit un transfert thermique de la part de la source froide : Qutile = Qf ; dans ce cas eRéfri=Qf
W .
➢ Montrer que l'efficacité d'une machine frigorifique qui évolue de façon réversible est eRefri ,Carnot= Tf
Tc−Tf . Cas d'une pompe à chaleur :
Une pompe à chaleur donne un transfert thermique à la source chaude : Qutile = – Qc; dans ce cas ePAC=−Qc
W .
➢ Montrer que l'efficacité d'une pompe à chaleur qui évolue de façon réversible est ePAC ,Carnot= Tc
Tc−Tf . Ordre de grandeur
efficacité d'une pompe à chaleur : 3 ; cela signifie que pour un apport de 1J en travail
PCSI Thermodynamique mécanique (ici énergie coûteuse) l'utilisateur en reçoit 3J en transfert thermique
utilisable.
Théorème de Carnot
L'efficacité d'une machine de Carnot est l'efficacité maximale que peut espérer atteindre une machine thermique une fois fixées les températures des sources chaude et froide.
➢ Prouver le théorème de Carnot dans le cas d'un moteur ditherme.
4. Diagramme pression-enthalpie
Dans le diagramme pression-enthalpie (P-h) sont représentés les différents états d'équilibre thermodynamique d'un corps) à une pression P donnée et à une enthalpie massique h donnée. S'y ajoute plusieurs courbes comme par exemple les isovolumes (volume massique constant), les isotherme (température constante), les isotitres (titre en vapeur constante pour un équilire liquide-vapeur) ainsi que les isentropiques.
On peut aussi repérer des zones de stabilité des phases liquide ou vapeur et le domaine de l'équilibre liquide-vapeur.
On retiendra que le modèle gaz parfait est satisfaisant dans le domaine du digramme pression-enhalpie quand les isothermes sont des portions verticales (pour un gaz parfait H= CpT).
Exemple :
On considère 100 g de réfrigérant R134 qui subit une détente isenthalpe de l'état initial (P1 = 20 bar, T1 = 90°C) à l'état final P2 = 6 bar. On donne le diagramme (P-h) du réfrigérant R134.
➢ Quelle est la variation de température du système lors de cette évolution ?
5. Étude d'une machine thermique réelle
cf. document joint « principe d'un réfrigérateur »
Lyes KIOUS 4 Machine thermique
Le compresseur impose une pression de 12 bars en sortie et doit avoir pression d’entrée définie à 1 bar environ. Cette pression à l'entrée se fixe en déterminant la longueur du capillaire qui induira une perte de charge (chute de pression du fait des phénomènes de viscosité) élevée dans le circuit pour faire passer la pression de 12 bars à 1 bar. La zone de travail dans laquelle évoluera le compresseur est donc située entre 1 et 12 bars. Le compresseur fournit une puissance P = 200 W à la machine.
Le condenseur devra se trouver sous 50 °C pour que la vapeur se liquéfie et la température est fixée à -26,5 °C au niveau de l'évaporateur par les caractéristiques propres au fluide employé et à la pression de fonctionnement. Ce sera la température minimale atteignable pour le liquide de refroidissement dans le réservoir.
Connaissant les différentes températures et pressions en chaque point du circuit, on peut déterminer l'allure globale du cycle de fonctionnement, ici en bleu avec 4 points spécifiques :
Description du cycle :
Point 1 : point correspondant à l'entrée du compresseur. La pression est de 1 bar puisqu'on l'a fixée ainsi et la température avoisine les -10 °C à 0 °C (résultat de l'évaporation complète du gaz dans l'évaporateur). On est donc dans la zone de 100 % de vapeur (vapeur surchauffée) car il faut éviter de ramener du liquide dans le compresseur sous peine de l'endommager. La traversée du compresseur amène l’état du fluide au point 2.
Point 2 : point correspondant à la sortie du compresseur. La transformation de (1) a (2) requiert une énergie qui est fournie par le compresseur. La pression en sortie de compresseur est de12 bars et la température avoisine les 80 °C (120 °C étant le maximum admissible par le compresseur). La compression de la vapeur étant rapide, elle est pratiquement adiabatique et engendre donc une forte montée de température. De ce point 2, le fluide est transféré vers le condenseur directement relié à la sortie. Le point 2 est donc également l'entrée du condenseur.
Point 3 : point correspondant à la sortie du condenseur. La pression y est toujours d'environ 12 bars (pertes de pression négligées à la traversée du condenseur) et la température a chuté à environ 30 °C qui est proche de la température de l'air ambiant (25 °C) qui ventile ce condenseur. Le condenseur a donc cédé à l'air ambiant une certaine puissance (enthalpie de liquéfaction essentiellement). La vapeur s'est donc refroidie et de ce fait s'est condensée à 100 % en liquide haute pression (liquide sous- refroidi). Le liquide obtenu poursuit son cycle vers le capillaire en passant de 3 à 4.
Point 4 : point correspondant à la sortie du capillaire. Le liquide se retrouve à cette sortie avec une pression qui a chuté de 12 bars à 1 bar, sa température ayant varié de 30 °C à -26,5 °C. Dans cette étape, une partie du liquide s'est progressivement transformée en vapeur. A la sortie du capillaire, on a environ 35 % de vapeur et 65 % de liquide (x = 0.35 sur le graphe). Ce mélange se retrouve dans l'évaporateur à basse pression (1 bar) et va donc s'évaporer naturellement à son tour dans ce volume. C'est cette réaction d'évaporation totale qui absorbera l'énergie environnante, assurant le refroidissement voulu. Au fur et à mesure de son évaporation, on se rapproche du point 1 et le cycle recommence...
Dans le cycle réel, l'allure sera légèrement différente à cause des pertes de pression dans les différents éléments, les paliers de condensation (2-3) et d'évaporation (4-1) ne seront plus tout à fait horizontaux.
L'intérêt du R134a est d'être facilement condensable à la température ambiante d'où son emploi très répandu pour les congélateurs. Le condenseur voit arriver du gaz HP, à la fin de sa traversée le gaz doit être redevenu liquide à 100 % pour être efficace et rentrer dans le capillaire.
Connaissant l'allure du cycle et les températures obtenues le long de celui-ci, on peut avoir un ordre d'idée des performances brutes. Pour cela on utilise les enthalpies (axe des abscisses) qui représentent l'énergie que peut absorber 1 unité de volume de R134a. On peut relever h1 = 400 kJ.kg-1 ; h2 = 460 kJ.kg-1 ; h3 = h4 = 240 kJ.kg-1 .
Pour calculer les puissances mises en jeu dans la machine, il faut connaître le débit massique (en kg/h) imposé par le compresseur. Le compresseur est donné pour débiter environ 10 kg/h de R134a. On peut confronter ce résultat aux informations données sur le cycle, avec une puissance du compresseur P = 200 W.
P = Dm.(h2 – h1) donne en effet : Dm = P / (h2 - h1) = 0.20 / (466 - 400) = 0,0030 kg/s soit environ 11 kg/h.
On obtient finalement un coefficient global de performances noté COP = (h2 - h4) / (h2 - h1) = (460 - 240) / (460 - 400) = 3,7.
Ce coefficient signifie qu'on est capable d'absorber environ 3,7 fois ce que l'on consomme en électricité. En contrepartie, le condenseur va devoir évacuer la totalité de l'énergie absorbée qui est la somme de ce que consomme le compresseur (moins ce qu'il dissipe dans l'air par sa carcasse) et de l’énergie échangée dans l'évaporateur. Celle-ci vaut (h2 - h3) = (h2 - h4).
Les valeurs obtenues en fonctionnement réel sont évidemment sujettes à variation car il faudrait connaître bien plus précisément les températures et les pressions à chaque point de notre cycle.
1 3 2
4
Transfert thermique cédé par le fluide dans le condenseur
Transfert thermique reçu par le fluide dans l’évaporateur
Travail fourni au fluide par le compresseur fluide R 134a
T = -26,5°C =
