2éme Bac PC 2020/2021 etude-generale.com
Matiére : Mathématique Professeur : Yahya MATIOUI
Devoir Surveillé N 2 31/12/2020
Durée 1H Problème d’analyse
Soit f la fonction dé…nie par :
f(x) =x 2 p
x2 2x 1. Déterminer Df: (1pt)
a) Calculer limx ! 1f(x): (0;75pt)
b) Étudier la branche in…nie de la courbe (Cf) au voisinage de 1: (2pt)
b) Calculer limx !+1f(x); puis étudier la branche in…nie de la courbe (Cf) au voisi- nage de +1: (1;25 pt)
2. Étudier la dérivabilité de la fonction f à droite de 2 et à gauche de 0 puis interpréter géométriquement les résultats obtenus. (2;75pt)
a) Justi…er la dérivabilité de la fonction f sur ] 1;0[[]2;+1[ ; puis montrer que pour tout x de ] 1;0[[]2;+1[ : (2 pt)
f0(x) =
px2 2x (x 1) px2 2x
b) Montrer que : 8x2] 1;0[ : f0(x) 0 et 8x2]2;+1[ : f0(x) 0: (2pt) c) Dresser le tableau de variations de la fonction f: (1pt)
3. Tracer la courbe (Cf) dans un repère orthonormé (O;!i ;!j ):(1;5pt) 4. On considére la fonction g la restriction de la fonction f sur [2;+1[:
g(x) =f(x) ; x 2
a) Montrer que g admet une fonction réciproque g 1 dé…nie sur un intervalle J qu’on déterminera. (1;5 pt)
b) Calculer : (g 1)0(2 2p
2): (on donne : g(4) = 2 2p
2): (0;75pt) c) Déterminer g 1(x) pour tout x2J: (1;5pt)
d) Tracer la courbe (Cg 1) dans le méme repère orthonormé (O;!i ;!j ): (1 pt) FIN
+1 : Pour une bonne présentation de la copie.
